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高考数学综合能力题30讲第25讲 建构函数模型的应用性问题


数学高考综合能力题选讲 25

建构函数模型的应用性问题
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
应用题是高考考查的重点,也是考生得分的难题,近年来该类试题的特点日趋鲜明:1. 应用题的信息来源真实可靠;2.应用题的个数明显在增加;3.注重考查学生动脑、动手能力 及应用的能力(如 2002 年文科 22 题)。从高考应用题来看,涉及函数、数列、不等式等高中 主要板块的内容,是历年高考命题的热点和重点. 解答函数型应用题, 一般先从建立函数的解析表达式入手, 通过研究函数的性质获得解 答.因此,这类问题的难点一般有两个:一是解析式的建立,二是数学知识的灵活应用.

梁丽平

范例选讲 例 1. 某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建成经营状况良好 q 的某种消费品专卖店, 并约定用该店 经营的利润逐步偿还债务(所有债务 60 均不计利息). 已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售量 q(百件)与 销售价 p(元/件)之间的关系用右 图中的一条折线(实线)表示;职工 每人每月工资为 600 元, 该店应交付 24 的其它费用为每月 13200 元. 1 (Ⅰ) 若当销售价 p 为 52 元/件 时,该店正好收支平衡,求该店的职 40 58 81 p 工人数; (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工, 则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费品的价格定为多少元? 讲解 本题题目的篇幅较长,所给条件零散杂乱,为此,不仅需要划分段落 层次, 弄清每一层次独立的含义和相互间的关系, 更需要抓住矛盾的主要方面. 由 题目的问题找到关键词—— “收支平衡”“还清所有债务” 不难想到, 、 , 均与 “利 润”相关. 从阅读和以上分析,可以达成我们对题目的整体理解,明确这是一道函数型 应用题.为此,首先应该建立利润与职工人数、月销售量 q、单位商品的销售价 p 之间的关系,然后,通过研究解析式,来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量,所以,先考虑月利润.

(Ⅰ)设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名.则 { EMBED Equation.DSMT4
| S ? q ? p ? 40 ? ? 100 ? 600m ? 13200 .

又由图可知: . 所以, 由已知,当时, ,即 , 解得.即此时该店有 50 名职工. (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则月利润 . 当时,求得时,S 取最大值 7800 元. 当时,求得时,S 取最大值 6900 元. 综上,当时,S 有最大值 7800 元. 设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,有 . 解得. 所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元. 点评 求解数学应用题必须突破三关: (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审 题,找出关键词、句,理解其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型. 例 2. 一位救生员站在边长为 100 米的正方形游泳池 ABCD 的 A 处(如图) ,发现 C 处有一位溺水者.他跑 到 E 处后,马上跳水沿直线 EC 游到 C 处,已知救生员 跑步的速度为米/分,游泳的速度为米/分. 试问,救生员选择在何处入水才能最快到达 C 处,所用 的最短时间是多少?

A E

D

C 讲解:理解本题并不难:应该建立时间 t(分)关于 B 某个变量的函数关系式,然后,通过求最值的方法来解 决问题. 难点在于变量的选择,当然,我们可以选择以 AE 的长度 x(米)作为变量, 但此时,求最值较为困难. 注意到:AE 和 EC 的长度,可以方便的用角表示,不必用到根号,所以我 们可以尝试以作为变量. 设,则,所以,

等号当且仅当,即,即时成立. 此时,.也即,救生员应该在 AB 边上距 B 米处入水,才能最快到达 C , 处,所用的最短时间为.

点评 (1)恰当选择变量,有助于简化数学过程; (2)本题中,若以为自 变量,也可通过三角代换(或移项、平方、判别式等)来求得最值. 例 3.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些 次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,次品率 P 与日产量 x(件)之间大体 满足关系: .
注:次品率,如表示每生产 10 件产品,约有 1 件为次品.其余为合格品.

已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损元,故 厂方希望定出合适的日产量. (Ⅰ)试将生产这种仪器每天的盈利额 T(元)表示为日产量 x(件)的函 数; (Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润? 讲解: (Ⅰ)当时, ,所以,每天的盈利额. 当时, ,所以,每日生产的合格仪器约有件,次品约有件.故,每天的盈利 额 综上,日盈利额(元)与日产量(件)的函数关系为: . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,每天的盈利额为 0. 当时, . 为表达方便,令,则.故 . (等号当且仅当,即时成立) .所以, (1)当时, (等号当且仅当时成立) . (2) 当时,由得,易证函数在上单调递增(证明过程略) 所以, . .所以, . 即. (等号当且仅当时取得) 综上,若,则当日产量为 88 件时,可获得最大利润;若,则当日产量为时, 可获得最大利润. 点评 基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段. 高考真题 1. (1997 年全国高考)甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 c 千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分 和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 b;固定 部分为 a 元. (Ⅰ)全程运输成本把 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数 的定义域; (Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 2. (2000 年全国高考) 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月 一日起的 300 天内, 西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P=;写出图二表示的种植 成本与时间的函数关系式 Q=; (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天) 3. (2003 年北京春季高考)某租赁公司拥有汽车 100 辆. 当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出. 当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增 加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收 益是多少? [ 答 案 与提示 :1. (Ⅰ) (Ⅱ)当 时,行驶速度应为 ,当 时,行驶速度应 ; 为. 2. (Ⅰ) (Ⅱ)从 2 月 1 日起的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最 ; 大. 3. (Ⅰ)88 辆; (Ⅱ)当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月 收益最大.最大月收益是 307050 元.]


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