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均值不等式


2.4基本不等式

【考向分析】 1.考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题. 2.考查应用基本不等式解决实际问题. 【复习指导】 1.注重对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练. 2.训练过程中注意对等价转化、分类讨论思想的体会。

基础梳理 1.基本不等式: a+b ≥ ab 2

(1)基本不等式成立

的条件: a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当

a=b 时取等号.

2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥ b a (2) + ≥ a b

2ab (a,b∈R).

2 (a,b 同号).

3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 a+b ,几何平均数为 ab,基本不 2

等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 是
2 p

x=y

时,x+y 有最小 值

.(简记:积定和最小)

(2)如果和 x+y 是定值 p, 那么当且仅当
p2 是 4

x=y

时, 有最 大 值 xy

.(简记:和定积最大)

三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提 “一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值, 这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技 巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一 次的字母取值存在且一致.

双基自测 1 1.函数 y=x+ (x>0)的值域为( x A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞)
2.下列不等式:①a2+1>2a;② 中正确的个数是(

C

).

B.(0,+∞) D.(2,+∞)
a+b 1 ≤2;③x2+ 2 ≥1.其 x +1 ab

B

).

A.0 B.1 C.2 D.3

3.若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab 的最大值为( A. 1 2 B.1 C.2 D.4

A

).

1 4. 若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值, a=( 则 x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4

C

).

t2-4t+1 -2 5.已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t

题型一 利用基本不等式求最值
1 例1.?1?若x ? R,求y ? x ? 的值域 x ?1 1? ?2?若a ? 0, b ? 0, 求y ? ?a ? b ?? ? ?的最小值。 ?a b? ?8 2? ?3?若a ? 0, b ? 0, 求y ? ?a ? b ?? ? ?的最小值。 ?a b?

变式训练 1 1 (1)已知 x>0, y>0, 2x+y=1, + 的最小值为________; 且 则 x y (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2x 的最大值为________. 2 x +1

解析

(1)∵x>0,y>0,且2x+y=1,

1 1 2x+y 2x+y ∴x+y= x + y y 2x =3+x+ y ≥3+2 2. y 2x 当且仅当x= y 时,取等号. 2x 2 2 1 (2)∵x>0,∴f(x)= 2 = ≤ =1,当且仅当x= ,即x 1 2 x x +1 x+ x =1时取等号. 答案 (1)3+2 2 (2)1

方法总结
1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一 正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这 三个条件缺一不可. 2.在运用重要不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技 巧,使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件. 3.连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一 次的字母取值存在且一致.

题型二
例2

利用基本不等式证明简单不等式

已知 x>0,y>0,z>0. y z x z x y + + + 求证: x x y y z z ≥8.

证明 ∵x>0,y>0,z>0, y z 2 yz x z 2 xz ∴x+x≥ x >0, y+y≥ y >0, x y 2 xy z +z ≥ z >0, ?y z ??x z ??x y? 8 yz· xz· xy ∴?x+x??y+y?? z +z ?≥ =8. xyz ? ?? ?? ?

当且仅当 x=y=z 时等号成立.

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情 况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不 等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证 问题.

【训练2】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1. 1 1 1 求证: + + ≥9. a b c 证明 ∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c
?b a? ? c a? ?c b? =3+?a+b?+?a+c?+?b+c ? ? ? ? ? ? ?

≥3+2+2+2=9, 1 当且仅当a=b=c=3时,取等号.

考向三

利用基本不等式解实际问题

【例 3】?某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形 小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度 x 不得超过 5 m. 房屋正面的造价为 400 元/m2,房屋侧面的造价为 150 元/m2, 屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元,如果墙高为 3 m,且不 计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?

[审题视点] 用长度x表示出造价,利用基本不等式求最值 即可.还应注意定义域0<x≤5;函数取最小值时的x是否 在定义域内,若不在定义域内,不能用基本不等式求最值, 可以考虑单调性.

12 解 由题意可得,造价y=3(2x×150+ x ×400)+5
? 16? 900?x+ x ?+5 ? ?

800=

800(0<x≤5), +5 800≥900×2 16 x× x +5 800=13

则y=900 000(元),

? 16? ?x+ ? x? ?

16 当且仅当x= x ,即x=4时取等号. 故当侧面的长度为4米时,总造价最低.

解实际应用题要注意以下几点: (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等 式求得函数的最值; (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的 自变量的取值范围)内求解.

考向四

利用基本不等式解决恒成立问题 x ≤a 恒成立, 则 2 x +3x+1

【例 4】?(2010·山东)若对任意 x>0, a 的取值范围是________.

解析

x 若对任意x>0, 2 x +3x+1

≤a恒成立,只需求得y=

x x 的最大值即可,因为x>0,所以y= 2 = x2+3x+1 x +3x+1 1 ≤ 1 x+x +3 2 1 1 = ,当且仅当x=1时取等号,所以a的取值 1 5 x· x

?1 ? 范围是?5,+∞? ? ?

答案

?1 ? ? ,+∞? ?5 ?

当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时,可直接 求出这个最值(最值可能含有参数),然后建立关于参数的不等 式求解.

【训练3】

(2011· 宿州模拟)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若

xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是________. 解析 由x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy ,得xy≥8,于是由

m-2≤xy恒成立,得m-2≤8,m≤10,故m的最大值为10. 答案 10

1 2 1.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求 + 的最小值. a b
解: ∵a>0,b>0,且 a+b=1,

1 2 + 1 2 b 2a ∴ + = a b (a+b)=1+2+ + ≥ a b a b 3+2 b 2a · =3+2 2. a b a= 2-1, 即 b=2- 2

a+b=1, 当且仅当 b=2a, a b

时,

1 2 + 的最小值为 3+2 2. a b

2 (2)已知 0<x< ,则 y=2x-5x2 的最大值为________. 5 (3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为 ________. 1 (4)已知 x>1,则 f(x)=x+ 的最小值为________. x-1

解析

1 (1)∵x>1,∴f(x)=(x-1)+ +1≥2+1=3, x-1

当且仅当x=2时取等号. 1 (2)y=2x-5x =x(2-5x)= · (2-5x), 5x· 5
2

2 ∵0<x< ,∴5x<2,2-5x>0, 5
?5x+2-5x? ?2 ∴5x(2-5x)≤? ? ? =1, 2 ? ?

1 1 1 ∴y≤ ,当且仅当5x=2-5x,即x= 时,ymax= . 5 5 5

2 8 (3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴ y+x=1,
?8 2 ? 8y 2x ∴x+y=(x+y)?x+y ?=10+ + x y ? ? ?4y x? =10+2? x +y?≥10+2×2× ? ?

4y x x ·=18, y

4y x 当且仅当 x =y,即x=2y时取等号, 又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6, ∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18. 1 答案 (1)3 (2)5 (3)18

5.设 a>b>0,则 A.1 C.3 B.2 D.4

a2+

1 1 + 的最小值是( ab a?a-b?

).

解:

a2+

1 1 + ab a?a-b? 1 1 + ab a?a-b?

=a2-ab+ab+

1 1 =a(a-b)+ +ab+ ab a?a-b? ≥2 1 a?a-b?· +2 a?a-b? ab· 1 ab

=2+2=4. 1 1 当且仅当 a(a-b)= 且 ab= , ab a?a-b? 即 a=2b 时,等号成立,故选 D.


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