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广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


汕头市金山中学 2015—2016 年上学期 高一数学期末考试试题
分值:150 分 是符合题目要求的. 1、若 sin ? ? A. ? 时量:120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

4 3
?

4 ,且 ? 是第二象限角,则 tan? 的值为( 5 3 3 4 B. C. ? D. ? 4 4 3

? ? ? ?



2、与 ?463 终边相同 的角可表示为( A. k ? 360 ? 436 ? k ? Z ? C. k ? 360 ? 257 ? k ? Z ?
?

B. k ? 360 ?103 ? k ? Z ?
?

D. k ? 360 ? 257 ? k ? Z ?
? ?

3、已知 ?ABC 中, a ? 4, b ? 4 3, A ? 30? ,则 B 等于( A. 30
?


? ?

B. 30 或150

?

?

C. 60

?

D. 60 或120

4、在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cos C 的值为( A.



2 3

B. ?

2 3

C.

1 4

D. ?

1 4


4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为( 3 ? ? ? ? A. B. C. D. 6 4 3 2 ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? 6、在 ?ABC 中, AB ? c , BC ? a , CA ? b ,下列推导不正确的是( )
5、如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( A.若 a? b ? 0 ,则 ?ABC 为钝角三角形

??

B. a? b ? 0 ,则Δ ABC 为直角三角形 D. c? a ? b ? c ? 0 ,则 ?ABC 为正三角形

??

b ? b? c ,则 ?ABC 为等腰三角形 C. a?

??

??

? ? ? ?

?

?

7、设向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ,则 a ? tb ? t ? R ? 的最小值为(

? ?

?

?

? ?

?

?



A.

3 2

B.

1 2

C.1

D.2

8、在 ?ABC 中,已知 cos A ? A、

16 65

5 3 ,sin B ? ,则 cos C 的值为( ) 13 5 56 16 56 16 B、 C、 或 D、 ? 65 65 65 65

1

9 、 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 , A, B, C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

??? ? ???? ??? ? ??? ? ? AB A C? ? ? ???? ? , ? ? [0, ??) .则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的( O P? O A ? ? ? ??? ? | A B | | A C?|
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心



10、为了得到函数 y ? sin ? x ?

? ?

??

? 的图像,可将函数 y ? sin x 的图像向左平移 m 个单位长 3?


度或向右平移 n 个单位长度( m, n 均为正数) ,则 m ? n 的最小值是( A.

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

5? 3

2 2 2 11 、 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 且 b ? c ? bc ? a ? 0 , 则

as i n ?C? ? 3? 0 b?c
A.

的值为(



1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

? f ? x? , x ? 0 ? 12、已知函数 f ? x ? ? a log2 x ? 1 ( a ? 0 ) ,定义函数 F ? x ? ? ? ,给出下列命题: ? ? f ? ?x? , x ? 0

① F ? x? ? f ? x? ; ②函数 F ? x ? 是偶函数; ③当 a ? 0 时, 若0 ? m ? n ?1 , 则有 F ? m? ? F ? n ? ? 0 成立;④当 a ? 0 时,函数 y ? F ? x ? ? 2 有 4 个零点.其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13、 已知二次函数 y ? x 2 ? 2mx ? 1在区间 ? 2,3? 内是单调函数, 则实数 m 的取值范围是 14、已知 sin 2? ? .

24 ? ?? ? , 0 ? ? ? ,则 2 cos ? ? ? ? = 25 2 ?4 ?

.

15、 如图在 ?ABC 中,AB ?

3 6 , CD ? 5, ?ABC ? 45? , ?ACB ? 60? , 则 AD ? 2
A

.

B C D

2

16、设函数 y ? f ? x? 的定义域为 D ,若对于任意的 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 ? 2a 时,恒有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2b , 则 称 点 ? a, b ? 为 函 数 y ? f ? x ? 图像的对称中心.研究函数 f ? x ? ? x3 ? sin x ? 2 的 某 一 个 对 称 中 心 , 并 利 用 对 称 中 心 的 上 述 定 义 , 可 得 到
? 19 ? ? 19 ? f ? ?1? ? f ? ? ? ? ??? ? f ? ? ? f ?1? ? ? 20 ? ? 20 ?
或计算步骤. 17、已知函数 f ? x ? ? 2sin( x ? .

三、解答题:本大题共5小题,每题14分,共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程

1 3

?
3

).

(1)求 f ? x ? 的单调增区间; (2)设 ? , ? ? ?0,

6 ?? 16 ? ?? ? , f ? 3? ? ? ? ? , f ? 3? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. ? 5 2? 17 ? 2? ?

18 、 在 ?ABC 中 , 角 A 为 锐 角 , 记 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c. 设 向 量

m ? ( c oA s ,s Ai nn ? )( , c oA s ?,

π s Ai n且 m ) ,与 n 的夹角为 . 3

(1)求 m ? n 的值及角 A 的大小 ; (2)若 a ? 7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

19、已知函数 f ? x ? 是二次函数,且满足 f ? 0 ? ? 1, f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 x ? 5 ; 函数 g ? x ? ? a
x

? a ? 0且a ? 1? .
1 ,且 g ? ? f ? x ?? ? ? k 对 x ???1,1? 恒成立,求实数 k 的取值范围. 4

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若 g ? 2 ? ?

3

?x ? b (其中 b ? 0 , ? ? 0 )的最大值 ? 为 2, 直线 x ? x1 、x ? x2 是 y ? f ( x) 图象的任意两条对称轴, 且 | x1 ? x2 | 的最小值为 .
20、已知函数 f ( x) ? 2 sin ?x ? cos?x ? 2b cos
2

2

(1)求 b , ? 的值; (2)若 f (a ) ?

2 5? ? 4a) 的值. ,求 sin( 3 6

2 21、已知函数 f ( x) ? ax ?

1 x ? c ? a、c ? R? 满足条件:① f (1) ? 0 ;②对一切 x ? R , 2

都有 f ( x) ? 0 . (1)求 a 、 c 的值; (2)若存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 在区间 ? m, m ? 2? 上有最小值-5,求出 实数 m 的值.

4

汕头市金山中学 2015—2016 年上学期 高一数学期末考试答案 1—12 ACDDA DAABB 13. ? ??,2? ??3, ??? AC 14.

7 5

15. 7

16. 82

17.解: (1)若 f ? x ? 单调递增,则 ?

?
2

? 2 k? ?


5? ?? ? 6k? ? x ? ? 6k? 2 2

?

1 ? ? x ? ? ? 2k? , k ? Z . 3 3 2


.

f ? x?











5? ? ? ? ? ? 6k? , ? 6k? ? ? k ? Z ? . ? 2 ? 2 ?
(2) f ? 3? ? 所以 cos ? ?

? ?

??

? ?? ?? 16 ?1 ? ? ? 2sin ? (3? ? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? ?2cos ? ? ? . 2? 2 3? 2? 17 ?3 ?

8 . 17

3 ?? 6 ?1 f ? 3? ? ? ? ? 2sin ? (3? ? ? ) ? ? ? 2sin ? ? .所以 sin ? ? . 5 3? 5 ?3
因为 ? , ? ? ?0,

15 4 ? ?? 2 , cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? , ,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? ? 17 5 ? 2? 13 . 85

所以 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 18 解: (1)? m ? cos A ? sin A ? 1, n ?
2 2

cos 2 A ? (? sin A) 2 ? 1,

π 1 ? . ? m ? n= cos2 A ? sin 2 A ? cos 2 A , 3 2 π 1 π π ? cos 2 A ? . ? 0 ? A ? , 0 ? 2 A ? π, ? 2 A ? , A ? . 2 2 3 6 π (2)(法一) ? a ? 7, c ? 3 , A ? , 及 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , 6 1 ? 7 ? b2 ? 3 ? 3b , 即 b ? ?1 (舍去)或 b ? 4. 故 S ? bc sin A ? 3. 2

? m ? n= m ? n ? cos

(法二) ? a ? 7, c ? 3 , A ?

c sin A 3 π a c ,及 ? ? ,?sin C ? .?a ? c , 6 sin A sin C a 2 7

?0 ? C ?

5 π 2 , cos C ? 1 ? sin A ? 2 2 7.

π 1 3 2 ? sin B ? sin(π ? A ? C ) ? sin( ? C ) ? cos C ? sin C ? 6 2 2 7. a sin B 1 ?b ? ? 4 .故 S ? bc sin A ? 3. sin A 2
5

19.解: (1)设 f ? x ? ? mx2 ? bx ? c ? m ? 0? . ? f ? 0? ? c ? 1.? f ? x ? ? mx2 ? bx ? 1.

? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? m ? x ? 1? ? b ? x ? 1? ? 1 ? mx 2 ? bx ? 1 ? 2mx ? m ? b ? 2 x ? 5.
2

? m ? 1, b ? 4 .

? f ? x ? ? x2 ? 4 x ? 1 .
1 1 ?1? f ? x ?? ?? ? (2)? g ? 2 ? ? a ? .? a ? .? g ? ? ? 4 2 ?2?
2 x 2 ? 4 x ?1

.

? f ? x ? 开口向上,对称轴为 x ? ?2 . ? f ? x ? 在 ??1,1? 上单调递增.
?g ? ? f ? x ?? ? min
6

? f ? x ?max ? f ?1? ? 6 .

?1? ?? ? . ? 2?

6

1 ?1? ?k ? ? ? ? ? 2 ? 64.
20.解: (1)? f ? x ? ? sin 2? x ? b cos 2? x.

? f ? x ?max ? 1 ? b 2 ? 2.? b ? 0.? b ? 3.

?? ? ? f ? x ? ? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin ? 2? x ? ? . 3? ?
又? T ? ? ?

2? .? ? ? 1. 2?

?? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
(2)? f

?? ? ? 2sin ? ? 2? ?
? 2? 3

??

2 ?? 1 ? ? ? .?sin ? 2? ? ? ? . 3? 3 3? 3 ?

又? cos ? 4? ?

? ?

?? 7 ? 2? ? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 3? 9 ? ?
7 ? ??? . 9 ?

? 3? ? 2? ?? 2? ? 5? ? ? ?sin ? ? 4? ? ? sin ? ? ? 4? ? ?? ? ? cos ? 4? ? 3 ?? 3 ? 6 ? ? ?2 ?

6

21. 解: ( 1 )当 a ? 0 时, f ( x ) ? ?

1 1 1 x ? c .由 f (1) ? 0 得: ? ? c ? 0 ,即 c ? ,∴ 2 2 2

1 1 f ( x) ? ? x ? .显然 x >1 时, f ? x ? <0,这与条件②相矛盾,不合题意. 2 2 1 2 ∴ a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? x ? c 是二次函数. 2

?a ? 0, ? 由于对一切 x ? R ,都有 f ( x ) ? 0 ,于是由二次函数的性质可得 ?? 1 ?2 ??- ? -4ac ? 0. ?? 2 ? ?a ? 0, 1 1 ? 即 ? ??? 由 f (1) ? 0 得 a ? c ? ,即 c ? ? a , 1 2 2 ac ? ? 0. ? 16 ?
1 1 1? 1? ?1 ? 1 ? ? 2 ? 0, 代入 (*) 得a? ? a? ? . 整理得 a ? a ? 即?a ? ? ? 0. 而?a ? ? ? 0, 2 16 4? 4? ?2 ? 16 ? ? 1 1 ∴ a ? .c ? . 4 4 1 1 2 1 1 (Ⅱ)∵ a ? c ? , ∴ f ( x) ? x ? x ? . 4 4 2 4 1 1 ?1 ? ∴ g ( x) ? f ( x) ? mx ? x 2 ? ? ? m ? x ? . 该 函 数 图 象 开 口 向 上 , 且 对 称 轴 为 4 4 ?2 ? 1 1 ?1 ? x ? 2m ? 1 . 若 存 在 实 数 m 使 函 数 g ( x) ? f ( x? ) m? x 2? x ? ? ?m? x 在 区 间 4 4 ?2 ?
2 2

?m, m ? 2? 上有最小值-5
∴ g ? m? =-5,即

① 当 m <-1 时, 2m ? 1 < m ,函数 g ( x) 在区间 ? m, m ? 2? 上是递增的,

而在 区间 ? 2m ? 1, m ? 2? 上是递增的, ∴

1 2 ?1 1 ? m ? ? ? m ? m ? ? ?5 , 4 4 ?2 ? 7 7 7 解得 m =-3 或 m = .∵ >-1, ∴ m = 舍去. 3 3 3 ② 当-1≤ m <1 时, 函数 g ( x) 在区间 ? m, 2m ? 1? 上是递减的, m ≤ 2m ? 1 < m +1, 1 1 1 2 ? ? 2m ? 1? ? ? ? ? m ? ? 2m ? 1? ? ? ?5 . 4 4 ?2 ? 1 1 1 1 21 或 m = ? ? 21 ,均应舍去. 解得 m=? ? 2 2 2 2 ③当 m ≥1 时, 2m ? 1 ≥ m +2,函数 g ( x) 在区间 ? m, m ? 2? 上是递减的,

g ? 2m ? 1? =-5,即

∴ 解得

g ? m ? 2? =-5,即

1 1 1 2 ? ? m ? 2? ? ? ? ? m ? ? m ? 2 ? ? ? ?5 . 4 4 ?2 ?

m = ?1 ? 2 2 或 m = ?1 ? 2 2 ,其中 m = ?1 ? 2 2 应舍去. 综上可得,当 m =-3 或 m = ?1 ? 2 2 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 在区间 ? m, m ? 2? 上有
最小值-5
7


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