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高中物理奥赛讲义:质点的直线无能运动


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高中物理奥赛讲义:质点的直线无能运动
[内容综述] 1.质点是物理学引入的第一个理想的模型。是科学的抽象。在讨论物体平动时,物体 各部分运动情况都相同,在研究其运动规律时,它的任何一点的运动,都可以代表整体的运 动,特别是讨论物体的范围远大于物体的线度时,这时物体的大小、形状都无关紧要,可以 把物体视为一个“有质量的点”质点。 2.

从匀速直线运动到匀变速直线运动的研究过程,体现了物理学的研究方法。 加速度为零,速度恒定且不为零的运动是匀速直线运动,其速度 v=s/t。 变速直线运动的速度不断变化,需引入一些新的物理量来描述它。这就是平均速度、瞬 时速度和加速度。应从中体会物理的研究方法、引入平均速度 (物体某段时间的位

移 s 与所用时间 t 之比) 实际就是把变速直线运动当作 , (以 为速度的) 匀速直线运动处理。 这是等效方法的运用。 等效的方法体现了用简单的研究复杂的、 用已知的研究未知的重要研 究方法。平均速度在所选时间间隔趋于零的极限就是瞬时速度,即 。进而引入表

述速度变化快慢的物理量加速度:



在变速直线中,首先选定加速度恒定的匀速直线运动来研究,其运动的平均速度

匀变速直线运动的基本公式有 速度公式 Vt=V0+at (1)

位移公式



(2)

(1)(2)两式消去 t 得 、

[要点讲解] 从匀变速直线运动可选用的四个公式看,公式中除时间 t 外,其它均为矢量,常用正、 负号来表明方向。四个公式共含五个物理量,有两个独立方程(公式) ,应用时需从题中找 到三个已知量(或关系) ,然后选择入手公式解。

图 1 是匀加速直线运动的 v-t 图线和匀减速直线运动的 s-t 图线。s-t 图线的斜率表示速
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度;v-t 图线的斜率表示加速度,图线与 t 轴所围的面积值等于位移的大小,利用图线可以 帮助分析解决问题。 作直线运动的物体这种形式发生变化的问题,描述两个物体运动的“追及”问题等,是解 决质点作直线运动的习题对能力要求较高。 例题分析 例 1 物体从静止开始,先以加速度 a1 作匀加速直线运动,接着以大小为 a2 的加速度 作匀减速运动,直到静止物体的点位移为 s,求物体运动的总时间。 分析与解答:物体运动形式变化时的速度是联系前、后两不同形式运动唯一的物理量, 设其为 V,无论是表达前、后两段运动的位移,正是表达时间,在选取用公式时都要把 V 考虑在内。设前、后两阶段的位移和时间分别为 S1、S2 和 t1、t2。依公式有

例 2 同一平直轨道上有同方向匀速运动的前后两个物体, 后面物体 2 的速度 V2 大于前面物 体 1 的速度 V1。为了不相撞,在两物体相距为 L 时物体 2 开始作匀减速运动,那么,它的 加速度至少应多大? 分析与解答:依题画出草图以示题意是必要的,见图 2。并着意寻找两物体的位移关系 和时间关系(同时) ,其中位移关系: 可作为解题的切入点,最后两物体速度均为 V1,这是题目的隐含条件,到相遇它们运 行的时间

(2) (1)式变为[引入(2)式]

得 说明:本题也可以采用相对运动的观点来解。即以物体 1 为参考物,物体 2 相对物体 1 的 速 度 为 ( V2-V1 ) 作 匀 减 速 直 线 运 动 , 经 位 移 L 速 度 减 为 零 ( 不 是 V1 ) 则 , ,

,可直接获得结论。 例 3 高 h 的电梯正以加速度 a 匀加速上升,忽然电梯的天花板有一螺钉脱落,螺钉落 到电梯底板所用的时间为___________。
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分析与解答:画出示意图,如图 3 所示。应注意到螺钉脱落后,是作竖直上抛运动,而不是 自由落体运动。 h2-h1=h

得 说明:若以电梯为参照物(认为 v=0) ,螺钉相对电梯的加速度为(g+a) (详细见“相对 运动”部分) ,这样可直接求出 。 例 4 两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度都是 v0。若前车突然 以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车过程 中所行的距离为 S,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行时保持的距离至 少多大了? 分析与解答:介绍三种解法? 解法一:注意到前后两车先后刹车的初速度都是 V0,加速度相同,最后停下的末速度

都是零。因此两车刹车过程所用时间 t 和位移 S 都相同题中已知 v0、s,所以



) 。同时可以判断出,只要后车也在前车刹车的位置开始刹车,两车就恰不相

撞。因此,原来两车的距 sx 就是在前车刹车的时间内,后车匀速行驶的距离,则

解法二:设两车匀速行驶时至少相距 sx。由于前车刹车到停,两车距离将缩短 s1;又 由于前车停下后车刹车减速到停下,两车距离又缩短 s2,且依解法一的分析可知 s2=s,依 题知 L= s1 + s2= s1+s (1) 又 s1= v0t-s (2)

式中 t 是前车减速到停下所用的时间,由 (1)式 L=2S。

,得

,所以(2)式中 s1=s,

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解法三:用 v-t 图像解,图 4 中(a)(b)分别是前、后车的 v-t 图像,都是从前车开始 、 刹车时开始计时的。 结合上面解法的分析,也可得到同样的结论。 例 5 小球 1 从高 h 处自由落下, 同时从其正下方的地面上, 以速度 v0 竖直上抛小球 2。 试就(1)小球 2 在上升过程中; (2)小球 2 在下落过程中与小球 1 在空中相遇,分别讨论 v0 的取值范围。

分析与解答:两球在空中相遇,它们位移的算数和等于 h,即

得 表明无论小球 2 是上升过程还是返回过程与小球 1 在空中相遇, 所用时间 t 的表达式均 为(1)式。当然 t 的大小取决于 v0 的取值。 小球 2 上升到最高点所用时间 t 上及到返回抛出点全程所用时间 T(=2t 上)分别为



(1)小球 2 上升过程中与小球 1 相遇,有 t≤t 上, 得 (2)小球 2 返回过程中与小球上在空中相遇,有 t 上<t<T



1.求证:作匀变速直线运动的物体。 (1)连续相同时间间隔的位移之差等于常量。 (2)某段时间的平均速度等于它在这段时间中间时刻的瞬时速度。 2.从四楼阳台竖直上抛一小球,小球达五楼阳台时的速度是小球返回达三楼阳台时速 度大小的一半。求小球抛出的速度。已知相邻阳台间的高度差为 h。
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3.甲、乙两物体同时、同地沿同一方向运动,甲以速度 V 作匀速直线运动,乙从静止 开始作加速度为 a 的匀加速直线运动。求: (1)两物体再次相遇所用的时间。 (2)再次相遇前两物体之间的最大距离。 4.长 L 的列车沿平直轨道作匀加速直线运动,并通过长为 2L 的桥。已知车头通过桥 头和桥尾时的速度分别是 V1 和 V2。那么,列车全部通过桥时的速度 V 多大?

5. 飞机起飞离开跑道后, 其速度的竖直方向的分量 Vy 随时间变化的 Vy-t 图像如图 5 所示, 飞机上升的最大高度为______________。

参考答案 1.证:依题作示意图(图 6) 。所选定的相同时间间隔为 T。

(1)

(vB-vA=aT) 式中加速度 a、T 均为常量。得证。 (2)从 A 到 C 这 2T 时间的平均速度

,或 又 vC=vB+aT,vA=vB-aT,vB=vn

得证。

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2. 简解: 依竖直上抛运动的对称性特征, 可视为小球从五楼阳台以速度 v 的竖直下抛运动, 依题小球达三楼阳台时的速度为 2v,有

(2v)2=v2+2g· 2h,

3. (1)

(2)

简解:△S=v 甲-v 乙

(1)甲、乙再次相遇,表明△s=0,可得 t1=0(舍) ;

(2)为使△s 最大,应有

,△s 最大为

4. 简解:列车全部过桥时,车头从通过桥头到此时前进取 L,设列车加速度为 a,参看图 7,有 ; ; 两式相减: (1) (2)

5.10000m
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提示:图线所围的面积。

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