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三维设计2014届高考数学理总复习课件第十章:第二节 用样本估计总体


[知识能否忆起]

一、作频率分布直方图的步骤

1.求极差(即一组数据中 最大值 与 最小值 的差).
2.确定 组距 与 组数 . 3.将数据 分组 . 4.列 频率分布表 . 5.画 频率分布直方图 .

二、频率分布折线图和总体密度曲线

1.频率分布折线图:连接频率分布直方图中各


长方形上端的 中点 ,就得频率分布折线图. 2.总体密度曲线:随着 样本容量 的增加,作图时 所分的组数 增加, 组距 减小,相应的频率折线图会 越来越接近于 一条光滑曲线 ,即总体密度曲线.

三、样本的数字特征 数字 定 义

特征
众数

一组数据中,出现次数 最多 的数据叫做这组 数据的众数. 最中间 将一组数据按大小依次排列,把处在_______ 位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 叫做这组数据的中位数.,在频率分布直方图中, 相等 中位数左边和右边的直方图的面积

中位数

.

数字 特征





样本数据的算术平均数.即 x = 平均数 1 (x1+x2+…+xn) . n 1 2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]. S n 方差 其中s为标准差
四、茎叶图 茎叶图的优点是可以保留原始数据,而且可以随时记 录,方便记录与表示.

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)在如图所示的茎叶图 表示的数据中,众数和中位数分别是 ( A.23与26 B.31与26 )

C.24与30

D.26与30

解析:观察茎叶图可知,这组数据的众数是31,中位 数是26. 答案:B

2.(教材习题改编)把样本容量为20的数据分组,分组区 间与频数如下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;

[40,50),5;[50,60),4;[60,70],2,则在区间[10,50)
上的数据的频率是 A.0.05 C.0.5 B.0.25 D.0.7 ( )

解析:由题知,在区间[10,50)上的数据的频数是 2+3 14 +4+5=14,故其频率为 =0.7. 20 答案:D

3.(2012· 长春模拟)从某小学随机抽取100名同学,将他们 的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图由图 中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为 ( )

A.20 C.30

B.25 D.35

解析:由题意知a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1, 则a=0.03,故学生人数为0.3×100=30. 答案:C

4.(教材习题改编)甲、乙两人比赛射击,两人所得的平均 环数相同,其中甲所得环数的方差为5,乙所得环数如 下:5、6、9、10、5,那么这两人中成绩较稳定的是 ________.
解析: x =7,s2 =4.4, 乙
2 则 s甲>s2 ,故乙的成绩较稳定. 乙

答案:乙

5.(2012· 山西大同)将容量为n的样本中的数据分为6组, 绘制频率分布直方图,若第一组至第六组的数据的频 率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之 和为27,则n=________.
2+3+4 解析:依题意得,前三组的频率总和为 = 2+3+4+6+4+1 9 27 9 ,因此有 = ,即 n=60. n 20 20

答案:60

1.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的
面积相等,由此可以估计中位数的值,而平均数的估计值等 于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和,众数是最高的矩形的中点的横坐标. 2.注意区分直方图与条形图,条形图中的纵坐标刻度

为频数或频率,直方图中的纵坐标刻度为频率/组距.
3.方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了 偏差的程度,虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度 上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.

用样本的频率分布估计总体分布

[例1] (2012· 广东高考)

某校100名学生期中考
试语文成绩的频率分布直方 图如图所示,其中成绩分组 区间是:[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中a的值; (2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩

的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数 学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成 绩在[50,90)之外的人数. 分数段 x∶y [50,60) 1∶1 [60,70) 2∶1 [70,80) 3∶4 [80,90) 4∶5

[自主解答]

(1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03+

0.04)×10=1,解得a=0.005.

(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为
55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+ 95×0.005×10=73(分).

(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80), [80,90)各分数段的人数依次为 0.005×10×100=5,0.04×10×100= 40,0.03×10×100=30,0.02×10×100=20. 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依 1 4 5 次为 5,40× =20,30× =40,20× =25. 2 3 4 故数学成绩在[50,90)之外的人数为 100-(5+20+40+25)=10.

在本例条件下估计样本数据的众数.
解:众数应为最高矩形的中点对应的横坐标,故约 为65.

解决频率分布直方图问题时要抓住 (1)直方图中各小长方形的面积之和为1. 频率 (2)直方图中纵轴表示 ,故每组样本的频率为组 组距
频率 距× ,即矩形的面积. 组距 (3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数.

1.(2012· 深圳调研)某中学组

织了“迎新杯”知识竞赛,
从参加考试的学生中抽出 若干名学生,并将其成绩 绘制成频率分布直方图(如 图),其中成绩的范围是[50,100],样本数据分组为

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],已知样本
中成绩小于70分的个数是36,则样本中成绩在[60,90)内 的学生人数为________.

解析:依题意得,样本中成绩小于 70 分的频率是(0.010 + 0.020)×10= 0.3;样本 中成绩在 [60,90)内的 频率是 (0.020+0.030+0.025)×10=0.75,因此样本中成绩在 36×0.75 [60,90)内的学生人数为 =90. 0.3

答案:90

茎叶图的应用

[例 2]

(2012· 陕西高考)从甲、

乙两个城市分别随机抽取 16 台自动 售货机,对其销售额进行统计,统 计数据用茎叶图表示(如图所示). 设甲、乙两组数据的平均数分别为 x 甲、 x 乙,中位数分别 为 m 甲、m 乙,则 ( )

A. x 甲< x 乙,m甲>m乙 C. x 甲> x 乙,m甲>m乙

B. x 甲< x 乙,m甲<m乙 D. x 甲> x 乙,m甲<m乙

[自主解答]

1 x 甲= (41+43+30+30+38+22+25+ 16

345 27+10+10+14+18+18+5+6+8)= , 16 1 x 乙= (42+43+48+31+32+34+34+38+20+22 16 457 +23+23+27+10+12+18)= . 16 ∴ x 甲< x 乙. 又∵m甲=20,m乙=29,∴m甲<m乙.

[答案] B

由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点 同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点 是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失;第二

点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,
作图较繁.

2.(2012· 淮北模考)如图所示的茎叶图记录了一组数据, 关于这组数据,其中说法正确的序号是________.

①众数是9;②平均数是10;③中位数是9或10;④标 准差是3.4.

解析:由茎叶图知,该组数据为 7,8,9,9,9,10,11,12,12,13,∴ 9+10 众数为 9,①正确;中位数是 =9.5,③错;平均数是 x 2 1 = (7+8+9+9+9+10+11+12+12+13)=10,②正确; 10 1 方差是 s = [(7-10)2+(8-10)2+(9-10)2+(9-10)2+(9 10
2

-10)2 +(10-10)2 +(11-10)2 +(12-10)2 +(12-10)2 +(13 -10)2]=3.4,标准差 s= 3.4,④错.

答案:

①②

样本的数字特征

[例 3]

(1)(2012· 江西高考)样本(x1,x2,…,xn)的平

均数为-, x 样本(y1, 2, y …, m)的平均数为-(-≠-).若 y y x y 样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数-=α-+ z x -,其中 0<α<1,则 n,m 的大小关系为 ( (1-α) y 2 )

A.n<m C.n=m

B.n>m D.不能确定

(2)(2012· 山东高考)在某次测量中得到的A样本数据 如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是 A样本数据每个都加2后所得数据,则A,B两样本的下

列数字特征对应相同的是
A.众数 C.中位数 B.平均数 D.标准差

(

)

[自主解答]

x1+x2+…+xn y1+y2+…+ym (1) x = ,y= , n m

x1+x2+…+xn+y1+y2+…+ym z= , m+n n x +m y n m 则z= = x+ y. m+n m+n m+n n 1 由题意知0< < ,∴n<m. m+n 2

(2)对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样
本的方差和标准差,众数、中位数、平均数都发生改变. [答案] (1)A (2)D

(1)众数体现了样本数据的最大集中点,但无法客
观地反映总体特征. (2)中位数是样本数据居中的数. (3)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动 的大小.标准差、方差越大,数据越分散,标准差、

方差越小,数据越集中.

3.(2012· 淄博一检)一农场在同一块稻田中种植一种水稻,
其连续8年的产量(单位:kg)如下:450,430,460,440,450, 440,470,460,则该组数据的方差为 A.120 C.15 B.80 D.150 ( )

解析:根据题意知,该组数据的平均数为 450+430+460+440+450+440+470+460 =450,所以 8 1 该组数据的方差为 ×(02 +202+102+102+02+102+202 8 +102)=150.

答案:D

[典例] (2012· 山东高考)如图是根据部分城市某年6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直

方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分
组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5), [24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于

22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃
的城市个数为________.

[尝试解题]

最左边两个矩形面积之和为0.10×1+

0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右边矩形 面积为0.18×1=0.18,50×0.18=9. [答案] 9

1.忽视频率分布直方图中纵轴的含义为频率/组距, 误认为是每组相应的频率值,导致失误.

2.不清楚直方图中各组的面积之和为1,导致某组的
频率不会求. 3.不理解由直方图求样本平均值的方法误用每组的 频率乘以每组的端点值,而导致失误. 4.由直方图确定众数时应为最高矩形中点对应的横 1 坐标值,中位数应为左右两侧的频率均等各为 . 2

?针对训练
对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查,所得样本 的频率分布直方图如图所示,由图可知,这一批电子元件

中使用寿命在100~300 h的电子元件的数量与使用寿命在
300~600 h的电子元件的数量的比是 ( )

1 A. 2 1 C. 4
? ? ?2

1 B. 3 1 D. 6

解 析 : 寿 命 在 100 ~ 300 h 的 电 子 元 件 的 频 率 为 1 3 ? 4 1 ?×100= = ; + 000 2 000? 20 5 寿命在 300~600 4 ×100= . 5 1 4 1 则它们的电子元件数量之比为 ∶ = . 5 5 4
? 1 1 h 的电子元件的频率为?400+250+2 ?

3 ? ? 000?

答案:

C

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.(2012· 陕西高考)对某商店一个月内每天 的顾客人数进行了统计,得到样本的茎

叶图(如图所示),则该样本的中位数、
众数、极差分别是 A.46,45,56 ( )

B.46,45,53
C.47,45,56 D.45,47,53

解析:从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两 45+47 个数的平均数,即 =46,众数为 45,极差为 68 2 -12=56.

答案:

A

2.(2012· 济南调研)如图是2012年在某大 学自主招生面试环节中,七位评委为 某考生打出的分数的茎叶统计图,去 掉一个最高分和一个最低分后,所剩

数据的平均数和方差分别为(
A.84,4.84

)

B.84,1.6

C.85,1.6 D.85,4 解析:依题意得,去掉一个最高分和一个最低分后,所
1 1 剩数据的平均数为 80+ × 3+6+7)=85,方差为 (4× 5 5 × (84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6. 答案:C [3×


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