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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):9.5古 典 概 型


课时跟踪检测(六十二) 古 典 概 型

1.(2012· 惠州调研)一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 个球,然后放 回袋中再取出 1 个球,则取出的 2 个球同色的概率为( 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 2 D. 5 )

2.甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,

把乙猜出的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若|a-b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找 两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 5 B. 9 7 D. 9 ).

3.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,?,18 的 18 名火炬手.若从中任 选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( 1 A. 51 1 C. 306 1 B. 68 1 D. 408 )

4.(2011· 安徽高考)从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为项点的 四边形是矩形的概率等于( 1 A. 10 1 C. 6 ) 1 B. 8 1 D. 5

5.(2012· 宁波模拟)设 a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数 f(x)=x3+ax-b 在区间[1,2] 上有零点的概率为( 1 A. 2 11 C. 16 ) 5 B. 8 3 D. 4

x2 y2 6.(2012· 豫南九校联考)从 - =1(其中 m,n∈{-1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双 m n 曲线、抛物线)方程中任取一个,则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为( 1 A. 2 2 C. 3 4 B. 7 3 D. 4 )

7.(2012· 上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两 个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示). 8.(2012· 重庆高考)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和 其它三门艺术课各 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为 ________(用数字作答). 9. (2012· 江苏高考)现有 10 个数, 它们能构成一个以 1 为首项, -3 为公比的等比数列, 若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________. 10.在研究性学习小组的一次活动中,甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担 H、I、J、K 四项不同的任务,每项任务至少安排一位同学承担. (1)求甲、乙两人同时承担 H 任务的概率; (2)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率.

11.(2012· 福州模拟)已知 A、B、C 三个箱子中各装有 2 个完全相同的球,每个箱子里 的球,有一个球标着号码 1,另一个球标着号码 2.现从 A、B、C 三个箱子中各摸出 1 个球. (1)若用数组(x,y,z)中的 x,y,z 分别表示从 A、B、C 三个箱子中摸出的球的号码, 请写出数组(x,y,z)的所有情形,并回答一共有多少种; (2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和,猜中有奖,那么猜什么数获奖的可能性 最大?请说明理由.

12.(2012· 南昌模拟)从某小组的 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人去参加一项公益活动. (1)求所选 2 人中恰有一名男生的概率; (2)求所选 2 人中至少有一名女生的概率.

1.(2012· 广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0

的概率是( 4 A. 9 2 C. 9

) 1 B. 3 1 D. 9

2.在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P,Q,M,N 分别是线段 OA,OB,OC,OD 的中点,在 A,P,M,C 中任取一点记 为 E,在 B,Q,N,D 中任取一点记为 F.设 G 为满足向量 OG = OE +

??? ?

??? ?

??? ? OF 的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概
率为________. 3.如图,在某城市中,M,N 两地之间有整齐的方格形道路网,其 中 A1、A2、A3、A4 是道路网中位于一条对角线上的 4 个交汇处.今在道 路网 M,N 处的甲、乙两人分别要到 N,M 处,他们分别随机地选择一 条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达 N,M 处为止. (1)求甲经过 A2 到达 N 处的方法有多少种; (2)求甲、乙两人在 A2 处相遇的概率; (3)求甲、乙两人相遇的概率.





课时跟踪检测(六十二) A级 1.选 A 把红球标记为红 1、红 2,白球标记为白 1、白 2,本试验的基本事件共有 16 个,其中 2 个球同色的事件有 8 个:红 1,红 1,红 1、红 2,红 2、红 1,红 2、红 2,白 1、 8 1 白 1,白 1、白 2,白 2、白 1,白 2、白 2,故所求概率为 P= = . 16 2 2.选 D 甲想一数字有 3 种结果,乙猜一种数字有 3 种结果,基本事件总数 3×3=9. 设“甲、乙心有灵犀”为事件 A,则 A 的对立事件 B 为“|a-b|>1”,即|a-b|=2,包 含 2 个基本事件, 2 2 7 ∴P(B)= ,∴P(A)=1- = . 9 9 9 3. B 基本事件总数为 C3 , 选 18 选出 3 人的编号组成以 3 为公差的等差数列的基本事件 为(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9),?,(12,15,18),共 12 组. 12 1 故所求概率 P= 3 = . C18 68 4.选 D 在正六边形中,6 个顶点选取 4 个,共有 15 种结果.选取 的 4 点能构成矩形只有对边的 4 个顶点(例如 AB 与 DE),共有 3 种,故 3 1 所求概率为 = . 15 5 5.选 C 因为 f(x)=x3 +ax-b,所以 f′(x)=3x2 +a.因为 a∈

?f?1?≤0, ? {1,2,3,4}, 因此 f′(x)>0, 所以函数 f(x)在区间[1,2]上为增函数. 若存在零点, ? 则 ? ?f?2?≥0,

解得 a+1≤b≤8+2a.因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有 a=1,2≤b≤10,故 b=2,b =4,b=8;a=2,3≤b≤12,故 b=4,b=8,b=12;a=3,4≤b≤14,故 b=4,b=8,b= 11 12;a=4,5≤b≤16,故 b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为 . 16 x2 y2 6.选 B 方程 - =1(其中 m,n∈{-1,2,3})表示圆锥曲线时,对应的(m,n)共有以 m n 下 7 种可能情况:(-1,-1),(2,-1),(2,2),(2,3),(3,-1),(3,2),(3,3).其中(2,2), 4 (2,3),(3,2),(3,3)对应的方程表示焦点在 x 轴上的双曲线的方程,因此所求概率为 . 7
2 7.解析:三位同学每人选择三项中的两项有 C3C2C2=3×3×3=27(种)选法,其中有且 3 3

仅有两人所选项目完全相同的有 C2C1C1=3×3×2=18(种)选法. 3 3 2 18 2 故所求概率为 P= = . 27 3 2 答案: 3 8.解析:基本事件是对这 6 门课排列,故基本事件的个数为 A6.“课表上的相邻两节 6 文化课之间至少间隔 1 节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”, 利用“插空法”, 可 得其排列方法种数为 A3A3.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化 3 4 A3A3 1 3 4 课之间至少间隔 1 节艺术课”发生的概率为 6 = . A6 5 1 答案: 5 9.解析:由题意得 an=(-3)n 1,易知前 10 项中奇数项为正,偶数项为负,所以小于 6 3 8 的项为第一项和偶数项,共 6 项,即 6 个数,所以 P= = . 10 5 3 答案: 5 10.解:(1)记“甲、乙两人同时承担 H 任务”为事件 A,那么 P(A)= 1 即甲、乙两人同时承担 H 任务的概率是 . 40 A4 1 4 (2)记“甲、乙两人同时承担同一项任务”为事件 B,那么 P(B)= 2 4= , C5A4 10 9 所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是 P( B )=1-P(B)= . 10 11.解:(1)数组(x,y,z)的所有情形为(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2), (2,2,1),(2,2,2),共 8 种. (2)记“所摸出的三个球号码之和为 i”为事件 Ai(i=3,4,5,6),易知,事件 A3 包含有 1 个 A3 1 3 = , C2A4 40 5 4


基本事件,事件 A4 包含有 3 个基本事件,事件 A5 包含有 3 个基本事件,事件 A6 包含有 1 1 3 3 1 个基本事件,所以,P(A3)= ,P(A4)= ,P(A5)= ,P(A6)= .故所摸出的两球号码之和为 4 8 8 8 8 或 5 的概率相等且最大. 故猜 4 或 5 获奖的可能性最大.
2 12.解:从 2 名女生,3 名男生中任选 2 人有 C5=10 种,即共有 10 个基本事件.

(1)设“所选 2 人中恰有一名男生”为事件 A,则 A 包含 C1· 1=6 个基本事件. 3 C2 6 3 3 ∴P(A)= = ,即所选 2 人中恰有一名男生的概率为 . 10 5 5
1 (2)设“所选 2 人中至少有一名女生”为事件 B,则 B 包含 C2+C1C3=7 个基本事件. 2 2

7 7 ∴P(B)= ,即所选 2 人中至少有一名女生的概率为 . 10 10 B级 1.选 D 由个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数分别为一奇一偶.若个位 数为奇数时,这样的两位数共有 C1C1=20 个;若个位数为偶数时,这样的两位数共有 C1C1 5 4 5 5 =25 个;于是,个位数与十位数之和为奇数的两位数共有 20+25=45 个.其中,个位数是 5 1 0 的有 C1×1=5 个.于是,所求概率为 = . 5 45 9 2.解析:基本事件的总数是 4×4=16,在 OG = OE + OF 中,当 OG = OP + OQ ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ???? ??? ???? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ? OG = OP + ON ,OG = ON + OM ,OG = OM + OQ 时,点 G 分别为该平行四边形
的各边的中点,此时点 G 在平行四边形的边界上, 而其余情况中的点 G 都在平行四边形外, 4 3 故所求的概率是 1- = . 16 4 3 答案: 4 3.解:(1)甲经过 A2,可分为两步;
1 第一步,甲从 M 到 A2 的方法有 C3种.

第二步,甲从 A2 到 N 的方法有 C1种; 3 所以甲经过 A2 到达 N 处的方法有(C1)2=9 种. 3 (2)由(1)知,甲经过 A2 的方法数为 9;乙经过 A2 的方法数也为 9. 所以甲、乙两人在 A2 处相遇的方法数为 9×9=81; 81 81 甲、乙两人在 A2 处相遇的概率为 3 3= . C6C6 400 (3)甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在 A1、A2、A3、A4 处相遇,他们在 Ai(i=1,2,3,4) 处相遇的走法有(Ci3 1)4 种方法,所以(C0)4+(C1)4+(C2)4+(C3)4=164,故甲、乙两人相遇的 3 3 3 3 164 41 概率为 = . 400 100



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