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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:2.6 对数与对数函数


2.6

对数与对数函数

第二章

2.6

对数与对数函数 -2-

考纲要求 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自 然对数或常用对数;了解 对数的发现历史以及对简化运算的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过

的 特殊点. 3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系,并知道对数函数是 一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反 函数.

第二章

2.6

对数与对数函数 -3-

1.对数的概念与性质
对数 的 定义 对数 的 性质 如果 ab=N(a>0,且 a≠1) ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 b=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数 (1) 负数和零 没有对数. (2)loga1= 0 (a>0,且 a≠1). (3)logaa= 1 (a>0,且 a≠1). (4)lo g = N (a>0,且 a≠1,N>0)

2.几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为 a(a>0,且 a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logaN lg N ln N

第二章

2.6

对数与对数函数 -4-

3.对数的运算 (1)对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(M· N)= ②loga =
M N

logaM+logaN ; logaM-logaN ;
(n∈R).

③logaMn= nlogaM (2)换底公式 logab=
c b (a>0,且 c a

a≠1;c>0,且 c≠1;b>0)

.

第二章

2.6

对数与对数函数 -5-

4.对数函数的图象和性质 (1)对数函数的定义 一般地,我们把函数 y=

logax(a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x

是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 想一想对数函数 y=logax 中为什么规定 a>0 且 a≠1 呢? 答案:根据对数式与指数式的关系知,y=logax 可化为 a =x,联想指
y

数函数中底数的范围,可知 a>0,且 a≠1.

第二章

2.6

对数与对数函数 -6-

(2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象和性质
函 数 y=logax(a>0,且 a≠1) a>1 0<a<1

图 象

定义域: 值域: 性 质 过定点 R

(0,+∞) (1,0) ,即 x=1 时,y= 增函数 ;当 x>1 (-∞,0) 0 单调性:在(0,+∞)上是 减函数 当 0<x<1 时,y∈ 时,y∈ (-∞,0) (0,+∞) ;当 x>1

单调性:在(0,+∞)上是 当 0<x<1 时,y∈ 时,y∈ (0,+∞)

第二章

2.6

对数与对数函数 -7-

5.指数函数与对数函数的关系 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数

y=logax(a>0,且 a≠1) 互为反函数.

第二章

2.6

对数与对数函数 -8-

基础自测
1.若 a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,则下列各式:
x 1 n logax;⑤ a =loga n n

①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;③logax=-loga ;④ n a x = x;⑥loga B.3 个
x-y x+y =-loga . x+y x-y

1 x

其中正确的有( ) A.2 个

C.4 个

D.5 个

关闭

由对数运算性质可知③⑤⑥正确.
关闭

B
解析 答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -9-

2.函数 y=

2-x x

的定义域是(

)

A.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤2}

B.{x|0<x<1,或 1<x<2} D.{x|0<x<1,或 1<x≤2}

D

2- ≥ 0, 由 > 0, ≠ 1, 得 0<x<1 或 1<x≤2.
解析

关闭

关闭

答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -10-

3.(2013 课标全国高考Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c

)

关闭

根据公式变形,a=
lg2 lg2

lg6

5 >lg 3,所以 < < ,即 c<b<a.故选 D. D lg7 lg5 lg3
解析

lg3 lg2

=1+

lg2 lg3

,b=

lg10 lg5

=1+

lg2 lg5

,c=

lg14 lg7

=1+

lg2 lg7

,因为 lg 7>lg
关闭

答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -11-

4.函数 y=lg

1 的大致图象为( |x+1|

)

关闭

因为 y=lg 是偶函数,在 x>0 时图象递减,在 x<0 时图象递增,且关于 y
| |

1

轴对称,则 y=lg 故选 D D.

1

| +1|

的图象是由 y=lg 的图象向左平移一个单位长度得到的.
| |

1

关闭

解析

答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -12-

5.函数 y=loga(x-1)+2(a>0 且 a≠1)的图象恒过一定点是 (2,2).

第二章

2.6

对数与对数函数 -13-

考点一 对数式的化简与求值
【例 1】 已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)= .

关闭

由已知可得,lg(ab)=1, ∴ f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg(a2b2)=2lg(ab)=2×1=2. 2
解析 考点一 考点二 考点三 误区警示

关闭

答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -14-

方法提炼 对数式化简求值的基本思路: n (1)利用换底公式及 loa m Nn= logaN 尽量地转化为同底的和、 差、 积、
m

商的运算; (2)利用对数的运算法则,将对数的和、差、倍数运算,转化为对数真数 的积、商、幂再运算; (3)利用约分、合并同类项,尽量地求出具体值.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第二章

2.6

对数与对数函数 -15-

举一反三 1 已知 a=log23+log2 3,b=log29-log2 3,c=log32,则 a,b,c 的大
小关系是( ) B.a=b>c D.a>b>c

A.a=b<c C.a<b<c

关闭

a=log23+log2 3=log23 3,b=log29-log2 3=log23 3,因此 a=b,而 log23 3>log22=1,log32<log33=1,所以 a=b>c,故选 B. B
解析 考点一 考点二 考点三 误区警示

关闭

答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -16-

考点二

对数函数的图象与性质

【例 2-1】 若函数 f(x)=loga(x+b)的大致图象如图,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)=ax+b 的大致图象是( )

关闭

本题主要考查指数函数、 对数函数的图象及图象的平移变换.考查了数 形结合思想.由已知函数 f(x)=loga(x+b)的图象可得 0<a<1,0<b<1.则 关闭 B g (x)=ax+b 的图象由 y=ax 的图象沿 y 轴向上平移 b 个单位而得到,故选 B.
解析 考点一 考点二 考点三 误区警示 答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -17-

【例 2-2】 已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0,且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的单调性 . x x (1)由 a -1>0,得 a >1. 当 a>1 时,x>0;当 0<a<1 时,x<0. ∴ 当 a>1 时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当 0<a<1 时,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时,设 0<x1<x2,则 1< 1 < 2 , 故 0< 1 -1< 2 -1,

关闭

∴ loga( 1 -1)<loga( 2 -1). ∴ f(x1)<f(x2). 故当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数. 类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
答案 考点一 考点二 考点三 误区警示

第二章

2.6

对数与对数函数 -18-

方法提炼 1.利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法: (1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的; (2)当外函数为对数函数时,找出内函数的定义域; (3)分别求出两函数的单调区间; (4)按照“同增异减”确定函数的单调区间. 提醒:研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第二章

2.6

对数与对数函数 -19-

2.图中各函数的底数 a,b,c,d 与 1 的大小关系可按下列规律进行记忆:

图中直线 y=1 与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数,所 以 0<c<d<1<a<b,在 x 轴上方由左到右底数逐渐增大,在 x 轴下方由左到右 底数逐渐减小.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第二章

2.6

对数与对数函数 -20-

举一反三 2 已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f
的值为 .

1 2 014

=4,则 f(2 014)

∵ f

1 2 014

+f(2 014)=alog2

1

2 014

+blog3

1

关闭

2 014

+2+alog22 014+blog32
关闭

014+2=4,∴ f(2 014)=0.

0

解析 考点一 考点二 考点三 误区警示

答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -21-

考点三 对数函数性质的综合应用
【例 3】 已知函数 f(x)=-x+log2
1 1 (1)求 f +f 的值; 1- 2 014 2 014 (1)f(x)的定义域是(-1,1),f(x)=-x+log2 ,
1+

1-x , 1+x

关闭

(2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时 ,函数 f(x)是否存在最小值?若 -1 1+ 1- 1- f ( -x ) =x+ log =( -x ) + log = + log 2 2 ,请说明理由. 存在,求出 f(x)的最小值 ;若不存在 2 1+ =-f(x).即 1- 1+ f(x)+f(-x)=0. 1 1 所以 f +f =0.
(2)令 t=
2 014 1- 1+

=-1+

2 014 2

所以 f(x)=-x+log2

1+ 1-

在(-1,1)内单调递减,y=log2t 在 t>0 上单调递增, 在(-1,1)内单调递减.
1- 1+

1+

所以当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),函数 f(x)存在最小值 f(a)=-a+log2

.

答案 考点一 考点二 考点三 误区警示

第二章

2.6

对数与对数函数 -22-

方法提炼 1.求 f(a)+f(-a)的值,常常联想到函数的奇偶性,因此,解此类问题一般先 判断奇偶性,再求值. 2.求形如 f(2 014),f(2 013)的值往往与函数的周期有关,求此类函数值 一般先研究函数的周期性. 3.已知函数的最值或求函数的最值,往往探究函数的单调性.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第二章

2.6

对数与对数函数 -23-

举一反三 3 已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1.
(1)求 f(x)的定义域; + 1 > 0, ((1) 2)判断 f ( x ) 的奇偶性 , 并予以证明 ; f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则 1- > 0, (解得 3)当 -a>1 时 ,. 求使 f(x)>0 的 x 的取值范围 1<x< 1 故所求定义域为 {x|-1<x<1}..
关闭

(2)f(x)为奇函数. 证明如下:由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x).故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}上是增函数, 所以 f(x)>0?
+1 1 -

>1.解得 0<x<1.

所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}.
答案 考点一 考点二 考点三 误区警示

第二章

2.6

对数与对数函数 -24-

误区警示

易忽略对数函数单调性的限制条件而致误

【典例】 已知 y1=loga(x2-x),y2=loga(-2x)(a>0 且 a≠1),若 y1>y2,求 x 的取值 关闭 范围. 因为 y1>y2,所以 loga(x2-x)>loga(-2x). x 2 -x > 0 , 当 a>1 时,则 -2x > 0, 解得 x<-1; x 2 -x > -2x, x 2 -x > 0 , 当 0<a<1 时,则 -2x > 0, 解得-1<x<0. x 2 -x < -2x, 故 x 的取值范围为 a>1 时,x∈(-∞,-1); 0<a<1 时,x∈(-1,0).
答案 考点一 考点二 考点三 误区警示

第二章

2.6

对数与对数函数 -25-

反思提升 1.本题中易出现的错误有 2 种:(1)没有求函数定义域,把定义 域误当成了实数集 R;(2)函数单调性运用错误,没有对 a 进行分类讨论,误认 为 a>1. 2.在函数的转化过程中,或研究函数的性质时,一定要注意定义域优先 原则,还要注意转化过程是否等价,对含有参数的问题要有较强的分类讨论 意识.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第二章

2.6

对数与对数函数 -261 2 3

1.(2013 浙江高考)已知 x,y 为正实数,则( A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x· 2lg y lg y C.2lg x· =2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x· 2lg y

)

关闭

根据指数与对数的运算法则可知,2lg x+lg y=2lg x·2lg y,故 A 错,B 错,C 错;D 中,2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x·2lg y,故选 D. B
解析

关闭

答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -271 2 3

2.已知 a=5

2 3.4

,b=5

4 3.6

,c=

1 3 0.3 ,则( 5

)

关闭 A.a>b>c B.b>a>c 10 1 lo g 3 0.3 10 C. a>c>b D. c>a>b lo g -log 0.3 3 3, 解析: c= =5 3 =5 l og 3. 4>l og 2=1, l og 3. 6<l og 4=1, l og >l og 3=1,

5

2

2

4

4

3

3

3

又l og2 3. 4>l og2 >l og3 ,
10 3

10 3

10 3

所以 l og2 3. 4>l og3 >l og4 3. 6. 又因为 y=5 是增函数, 故 a>c>b.
关闭
x

C
解析 答案

第二章

2.6

对数与对数函数 -281 2 3

3.已知 f(x)=lg(x+1). (1)若 0<f(1-2x)-f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0≤x≤1 时,有 g(x)=f(x),求函数 y=g(x)(x∈[1,2])的解析式.
2-2 2-2 > 0, (1)由 得-1<x<1.由 0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg <1 得 +1 + 1 > 0,
关闭

1<

2-2 +1

<10.
2 3 1 3

因为 x+1>0,所以 x+1<2-2x<10x+10,- <x< . 由 -1 < < 1, - <x< ,
3 3 2 1

得- <x< .
3 3

2

1

(2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 因此 y=g(x)=g(x-2)=g(2-x) =f(2-x)=lg(3-x).
答案


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