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肇庆2016-2017学年第一学期期末高二数学(理科科)试题+答案


肇庆市中小学教学质量评估

2016—2017 学年第一学期统一检测题

高二数学(理科)
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试室 号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔在准考证号填涂区

将考号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)命题“ ?x ? 0 , ln x ? 0 ”的否定是 (A) ?x ? 0 , ln x ? 0 (C) ?x ? 0 , ln x ? 0 (B) ?x ? 0 , ln x ? 0 (D) ?x ? 0 , ln x ? 0

(2)过点 C (2, ?1) 且与直线 x ? y ? 3 ? 0 垂直的直线是 (A) x ? y ? 1 ? 0 (B) x ? y ? 1 ? 0 (C) x ? y ? 3 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0

x2 y 2 ? ? 1 的离心率是 (3)双曲线 16 9
(A)

5 4

(B)

5 3

(C)

7 4

(D)

25 16
1

(4)图 1 是一个组合体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的体积是 (A)

38? 3 13? 3

(B)

19? 3 11? 3

3

2 正视图

2 侧视图

(C)

(D)

俯视图

图1

高二数学(理科)试题 第 1 页 共 11 页

(5) “ x ? 1 ? 0 ”是“ x ? 1 ? 0 ”的
2

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)直线 4 x ? 3 y ? a ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 相交于 A、B 两点,且 AB ? 4 2 ,则 实数 a 的值是 (A) a ? ?5 或 a ? ?15 (C) a ? 5 或 a ? ?15 (B) a ? ?5 或 a ? 15 (D) a ? 5 或 a ? 15 A B C D

(7)如图 2,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系是 (A)平行 (C)相交且垂直 (8)已知椭圆 (A)4 (B)相交成 60° (D)异面直线 图2

x2 y 2 ? ? 1 过点 B(0, 4) ,则此椭圆上任意一点到两焦点的距离的和是 4 m
(B)8 (C)12 (D)16
2 正视图 2 1 1 俯视图 侧视图 1 1
1 1

(9)一个几何体的三视图如图 3 所示(单位:cm) , 则该几何体的表面积是 (A)4 cm
2

(B)
2

43 cm2 2
2

图3

(C) 23 cm

(D)24 cm

(10)已知过点 (?2, 0) 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是 (A) ?2 2, 2 2 (C) ? ?

?

?

(B) ? 2, 2 (D) ? ? , ?

?

?

? ? ?

2 2? , ? 4 4 ? ?

? 1 1? ? 8 8?

(11) m, n 是空间两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面.有以下四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ④若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n . 其中真命题的序号是 (A)①② (B)②③ (C) ③④ (D)①④

高二数学(理科)试题 第 2 页 共 11 页

(12)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 5 相交于 A 、 B 两点,已知点 M ( ? 则 MA ? MB 的值是 (A) ?

7 , 0) , 3

???? ????

9 4

(B)

9 4

(C) ?

4 9

(D)

4 9

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (13)已知直线 l1 : 3x ? y ? 2 ? 0, l2 : x ? my ? 3 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 m 的值等于 ▲ . (14)如图 4,在圆 x2 ? y 2 ? 16 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足,当点 P 在圆上运动时,则线段 PD 的中点 M 的轨迹方程为 ▲ .

y M x
图5 图4
俯视图

正视图

侧视图

(15) 某四面体的三视图如图 5 所示, 则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于 ▲ . (16)有一球内接圆锥,底面圆周和顶点均在球面上,其底面积为 4? ,已知球的半径 R ? 3 , 则此圆锥的体积为 ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. (17) (本小题满分 11 分) 已知斜率 k ?

1 且过点 A(7,1) 的直线 l1 与直线 l2 : x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于点 M. 2

(Ⅰ)求以点 M 为圆心且过点 B(4, ?2) 的圆的标准方程 C; (Ⅱ)求过点 N (4, 2) 且与圆 C 相切的直线方程.

(18) (本小题满分 11 分) 如图 6,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , E , F , G, H 分别是 AD1 、 CD1 、 BC 、 AB 的中点. (Ⅰ)求证: E , F , G, H 四点共面; (Ⅱ)求证: GH ? B1D .
高二数学(理科)试题 第 3 页 共 11 页

(19) (本小题满分 12 分) 已知 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左右焦点,点 P 是双曲线上任一点, a2 9

且 | PF 1 | ? | PF 2 | ? 2 ,顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为 L. (Ⅰ)求双曲线 C 的渐近线方程和抛物线 L 的标准方程; (Ⅱ)过抛物线 L 的准线与 x 轴的交点作直线,交抛物线于 M、N 两点,问直线的斜 率等于多少时,以线段 MN 为直径的圆经过抛物线 L 的焦点?

(20) (本小题满分 12 分) 如图 7,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , ?ADP 是等腰直角三角 形, ? APD 是直角, AB ? AD, AB ? 1 , AD ? 2, AC ? CD ? 5 . (Ⅰ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅱ)求平面 PCD 与平面 PAB 所成二面角的平面角的余弦值.
D C B C 图7 A P

(21) (本小题满分 12 分) 如图 8,直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90? , AB ? BC 且 ?ABC 的面积等 于 ?ADC 面积的

1 . 梯形 ABCD 所在平面外有一点 P , 满足 PA ? 平面 ABCD ,PA ? AB . 2

(Ⅰ)求证:平面 PCD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)侧棱 PA 上是否存在点 E ,使得 BE / / 平面 PCD ? 若存在,指出点 E 的位置并证明;若不存在,请说明理由; (22) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 G 的中心在平面直角坐标系的原点,离心率 e ?

1 ,右焦点与圆 C : 2

x2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 的圆心重合.
(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设 F 1 、 F2 是椭圆 G 的左焦点和右焦点,过 F2 的直线 l : x ? my ? 1与椭圆 G 相 交于 A、B 两点,请问 ?ABF1 的内切圆 M 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值 及直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.
高二数学(理科)试题 第 4 页 共 11 页

2016—2017 学年第一学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 A 6 A 7 B 8 B 9 C 10 C 11 B 12 D

(12)解析:将 y ? k ( x ? 1) 代入 x2 ? 3 y 2 ? 5 中得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0

?? ? 36 k 4 ?4 (k 32 ? 1 )k(23 ? 5? ) k 24 8?
x1 ? x2 ? ?

, 2 ?0

0

6k 2 3k 2 ? 5 x x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ???? ???? 7 7 7 7 所以 MA ? MB ? ( x1 ? , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3
7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3

7 49 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k2 3 9

? (1 ? k 2 ) ?
二、填空题 (13) ?

3k 2 ? 5 7 6k 2 49 2 ? ( ? k )( ? ) ? ? k2 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9

?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 4 ? ? k2 ? . 2 3k ? 1 9 9
x2 y2 ? ?1 16 4

1 3

(14)

(15) 2 3

(16)

4 3? 5 ? 3

?

?



4 3? 5 ? 3

?

?

(答 1 个得 3 分,答 2 个得 5 分)

高二数学(理科)试题 第 5 页 共 11 页

(15)解析:由三视图知该几何体为棱锥 S﹣ABD,其中 SC⊥平面 ABCD;四面体 S﹣ABD 的四个面中 SBD 面的面积最大,三角形 SBD 是边长为 2 2 的等边三角形,所以此四面体的 四个面中面积最大的为

3 ?8 ? 2 3 . 4

2 (16)解析:由 ? r ? 4? 得圆锥底面半径为 r ? 2 ,如图设 OO1 ? x ,

则x?

R2 ? r 2 ? 32 ? 22 ? 5 ,圆锥的高 h ? R ? x ? 3 ? 5 或 h ? R ? x ? 3 ? 5
4 3? 5 ? 1 1 Sh ? ? 4? ? (3 ? 5) ? 3 3 3

所以,圆锥的体积为 V ?

?

?

或V ?

4 3? 5 ? 1 1 Sh ? ? 4? ? (3 ? 5) ? 3 3 3

?

?

三、解答题 (17) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)依题意得,直线 l1 的方程为 y ? 1 ? 由?

1 ( x ? 7) ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 . 2

(2 分)

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? 1 ,解得 ? . 即点 M 的坐标为 M (1, ?2) . ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? y ? ?2
2

(4 分) (5 分) (6 分)

2 设圆 C 的半径为 r ,则 r ? BM

? (4 ? 1) 2 ? (?2 ? 2) 2 ? 9 .
2

所以,圆 C 的标准方程为 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 9 .
2

(Ⅱ)①因为圆 C 过点 B(4,-2) ,所以直线 x=4 为过点 N(4,2)且与圆 C 相切的直线. (8 分) ②设过点 N (4, 2) 且与圆 C 相切的直线方程的斜率为 k1 , 则直线方程为 k1 x ? y ? 2 ? 4k1 ? 0 . (9 分)

高二数学(理科)试题 第 6 页 共 11 页



k1 ? 2 ? 2 ? 4k1 k12 ? 1

? 3 , 得 k1 ?

7 , 即 7x ? 2 4 y? 20 ? 24

是 0 圆 C 的一条切线方程. (10 分)

综上,过点 N (4, 2) 且与圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 相切的直线方程为 7 x ? 24 y ? 20 ? 0 和

x?4
(11 分)

.

(18) (本小题满分 11 分) 证明: (Ⅰ)如图,连结 AC. ∵ E , F 分别是 AD1 、 CD1 的中点,∴ EF ? AC . ∵ G , H 分别是 BC 、 AB 的中点,∴ GH ? AC . ∴ EF ? GH . ∴ E , F , G, H 四点共面。 (Ⅱ)连结 BD. ∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体,∴ AC ? BD, AC ? DD 1. ∵ BD ? DD1 ? D , BD, DD1 ? 平面 BDD1B1 ,∴ AC ? 平面 BDD1B1 . 又∵ GH ? AC ,∴ GH ? 平面 BDD1B1 , 又∵ BD1 ? 平面 BDD1B1 ,∴ GH ? B1D . (7 分) (9 分) (10 分) (11 分) (1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由双曲线的定义可知, 2a ? 2 ,即 a ? 1 . (1 分) (2 分) (3 分)

y2 ? 1. ∴双曲线的标准方程为 x ? 9
2

∴双曲线的渐近线方程 y ? ?3x . 双曲线的右顶点坐标为 A ?1,0 ? ,即抛物线 L 的焦点坐标为 A ?1,0 ? , ∴抛物线 L 的标准方程为 y ? 4 x ,
2

(5 分) (6 分) (7 分)

(Ⅱ)抛物线 y ? 4 x 的准线与对称轴的交点为 (?1, 0) .
2

设直线 MN 的斜率为 k,则其方程为 y ? k ( x ? 1) .

高二数学(理科)试题 第 7 页 共 11 页

由?

? y ? k ( x ? 1) ? y ? 4x
2

2 2 2 2 ,得 k x ? 2 k ? 2 x ? k ? 0 .

?

?

∵直线 MN 与抛物线交于 M、N 两点, ∴ ? ? 4(k 2 ? 2)2 ? 4k 4 ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 1 . 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,抛物线焦点为 F(1,0), ∵以线段 MN 为直径的圆经过抛物线焦点,∴MF⊥NF. ∴ (9 分) (10 分) (8 分)

y1 y ? 2 ? ?1 ,即 y1 y2 ? x1x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 0 . x1 ? 1 x2 ? 1

又 x1 ? x2 ? ?

2(k 2 ? 2) 2 2 , x1 x2 ? 1 , y1 y2 ? 4x1 ? 4x2 ? 16 且 y1 , y2 同号, k2
(11 分)



2(k 2 ? 2) 1 2 ? ?6 . 解得 k 2 ? ,∴ k ? ? . 2 2 2 k
2 时,以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点. 2

即直线的斜率等于 ?

(12 分)

(20) (本小题满分 12 分) 解:取 AD 的中点 O,连结 OP,OC, ∵ ?ADP 是等腰直角三角形, ? APD 是直角,∴ PO ? AD . ∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,∴ PO ? 平面 ABCD . ∴ PO ? OA , PO ? OC ,又∵ AC ? CD ,∴ OC ? AD . 即 OC , AD, PO 两两垂直. (2 分)

以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 由条件知, OC ?

AC 2 ? AO 2 ?

5 ? 1 ? 2 , PO ? 1 .

2

故 O, A, B, C, D, P 各 点 的 坐 标 分 别 为 : O(0, 0, 0), A(0,1, 0) , B(1,1,0), C (2,0,0) ,

??? ? ??? ? ??? ? ???? D(0, ?1,0), P(0,0,1) ,所以, AB ? (1,0,0), AP ? (0, ?1,1), PB ? (1,1, ?1) , DC ? (2,1,0) , ??? ? (4 分) DP ? (0,1,1) . ???? ? ?2 x ? y ? 0 ?n?DC ? 0 (Ⅰ)设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? ? ?y ? z ? 0 ? ?n?DP ? 0
高二数学(理科)试题 第 8 页 共 11 页

令 x ? 1 ,则 y ? ?2, z ? 2 ,故 n ? (1, ?2, 2) 是平面 PCD 的一个法向量.

(6 分)

i s ?1o c s? , 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ?1 , 则n

??? ? ??? ? n?PB 1? 2 2 ? 3 ? n PB ? ? ? , ??? ? ? 3 9? 3 n ? PB
(8 分)

即直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为

3 . 3

??? ? ? m ? AB ?0 ? x1 ? 0 ? (Ⅱ)设平面 PAB 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ??? ,即 ? . ? ? y ? z ? 0 m ? AP ? 0 ? 1 1 ? ?
令 y1 ? 1 ,则 z1 ? 1,故 m ? (0,1,1) 是平面 PAB 的一个法向量. 设平面 PCD 与平面 PAB 所成角的二面角的平面角为 ?2 ,则 cos ? 2 ? 所以平面 PCD 与平面 PAB 所成二面角的平面角的余弦值 0. (10 分)

n?m 0?2?2 ? ? 0, n?m 9? 2
(12 分)

(21) (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ CD ? PA . 又 ?ABC 的面积等于 ?ADC 面积的 ∴ AB ? BC ? (1 分)

1 , 2
(2 分)

1 AD . 2

在底面 ABCD 中,∵ ?ABC ? ?BAD ? 90? , AB ? BC ? ∴ AC ? CD ?

1 AD , 2
(4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

2 AD ,∴ AC ? CD . 2

又∵ PA ? AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . 又 CD ? 平面 PCD , ∴平面 PCD ⊥平面 PAC . (Ⅱ)取 PA 的中点 E ,使得 BE ∥ 平面 PCD . 证明如下: 取 PD 的中点是 F ,连结 BE , EF , FC , 则 EF / / AD ,且 EF ?

1 AD . 2

(8 分) (9 分)

由已知 ?ABC ? ?BAD ? 90? ,∴ BC / / AD .

高二数学(理科)试题 第 9 页 共 11 页

又 BC ?

1 AD ,∴ BC / / EF ,且 BC ? EF . 2
(10 分) (11 分)

∴四边形 BEFC 为平行四边形, ∴ BE ∥ CF . ∵ BE ? 平面 PCD , CF

? 平面 PCD ,∴ BE ∥ 平面 PCD .

(12 分)

(22) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的圆心为 (1, 0) . (1 分)

x2 y 2 设椭圆 G 的方程 2 ? 2 ? 1 , a b
则 c ? 1, e ?

c 1 ? ,得 a ? 2 . a 2

(2 分) (3 分) (4 分)

2 2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 2 ?1 ? 3 ,

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 G 的方程 4 3

(Ⅱ)如图,设 ?ABF1 内切圆 M 的半径为 r ,与直线 l 的切点为 C,则三角形 ?ABF1 的面积 等于 ?ABM 的面积+ ?AF 1M 的面积+ ?BF 1M 的面积. 即 S△ ABF1 ?

1 1 ( AB ? AF2 ? BF2 )r ? [( AF1 ? AF2 ) ? ( BF1 ? BF2 )]r ? 2ar ? 4r . 当 2 2
(5 分)

S△ABF1 最大时, r 也最大, ?ABF1 内切圆的面积也最大.
设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ( y1 ? 0, y2 ? 0 ), 则 S△ ABF1 ?

1 1 F1 F2 ? y1 ? F1F2 ? y2 ? y1 ? y2 . 2 2

(6 分)

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y2 ,得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 , ? ?1 ? 3 ?4

?3m ? 6 m2 ? 1 ?3m ? 6 m2 ? 1 解得 y1 ? , y2 ? . 3m2 ? 4 3m2 ? 4
∴ S△ ABF1 ?

(7 分)

12 m2 ? 1 . 3m2 ? 4

(8 分)

2 2 2 令 t ? m ? 1 ,则 t ? 1 ,且 m ? t ? 1 ,

高二数学(理科)试题 第 10 页 共 11 页

有 S△ ABF ? 1

12t 12t 12 . ? 2 ? 3(t ? 1) ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t
2

(9 分)

令 f (t ) ? 3t ? ,因为 f (t ) 在 [1, ??) 上单调递增,有 f (t ) ? f (1) ? 4 . ∴ S△ ABF1 ? 面积为

1 t

(10 分)

12 3 ? 3 . 即当 t ? 1 , m ? 0 时, 4 r 有最大值 3 ,得 rmax ? ,这时所求内切圆的 4 4
(11 分)

9 ?. 16 9 ?. 16

∴存在直线 l : x ? 1 , ?ABF1 的内切圆 M 的面积最大值为

高二数学(理科)试题 第 11 页 共 11 页


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