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福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中联考数学(文)试题


第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题: (本题共12 小题,每小题5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 )

1. 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} ,集合 B ? N ,则 A ? B =(
A.{0,1} B.{1} C.1


D.{-1,0,1,2} )

i 2.已知复数 z ? ( i 为虚数单位)则复数 z 在复平面对应的点位于( 1? i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限 )

3. “△ ABC 的三个角 A,B,C 成等差数列”是“△ ABC 为等边三角形”的( A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4. 等差数列 {an } 中,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 a5 等于( A.3 B.4 C.5 D.6 5. 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的区间为( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4)

D.(4,5)

6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a, b, c ,若 a ? A.30° B.30°或 105° C.60°

3, b ? 2 , B ? 45? ,则角 A= ( )
D.60°或 120°

7.在 ?ABC 中, AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 AC 的中点 ,则 BE ? ( BA ? BC ) =( A.3 B.

??? ?

??? ??? ? ?



3 2

C.-3

D. ?

3 2
) .

3), 8. a 、b 为平面向量, 已知 a ? (4, 2a ? b ? (3,18) , a 、b 夹角的余弦值等于 则 (
8 16 16 C. D. ? 65 65 65 ??? 2 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 9.在△ABC 中,若 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB ,则△ABC 是(
A. B. ? A.等边三角形 10. 已 知 定 义 B.锐角三角形 在 C.钝角三角形 的 函 数

8 65

)

D.直角三角形 是 偶 函 数 ,

R



f ( x)



x ? R都 有f (2 ? x) ? f (2 ? x),当f (?3) ? ?2

时, f (2013 ) 的值为( D.-4
)



A.-2
11. 在数列 {an } 中, a1

B. 2

C.4

1 ? 2 , an?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an =( n

A.2+(n-1)lnn

B 2+lnn

C. 2+nlnn

D.1+n+lnn

12. 式子 ? (a, b, c) 满足 ? (a, b, c) ? ? (b, c, a ) ? ? (c, a, b) , 则称 ? (a, b, c) 为轮换对 称 式.给出如下三个式子:① ? (a, b, c) ? abc ; ② ? (a, b, c) ? a ? b ? c ; ③
2 2 2

? ( A, B, C ) ? cos C ? cos( A ? B) ? cos 2 C ( A, B, C 是
的内角) .其中,为轮换对称式的个数是( ) A. 0 B. C. 2 D.

1

3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应横线上。 ) 13. 如果复数 z ? a ? a ? 2 ? (a ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为
2 2

14. 抛物线 y ? 4 x 在点 P ?
2

?1 ? ,1? 的切线方程是____________ ?2 ?
; 数列 ?an ?

? n, n为奇数 ? * 15.已知数列 ?an ? 的递推公式 an ? ?a , n为偶数 ? N ) , a2 ? a ? 则 4 2 (n 5 ? n ? 2
中第 8 个 5 是该数列的第 项 16. 如图所示,f ( x) 是定义在区间 [?c, c](c ? 0) 上的奇函数, 令 g ( x) ? af ( x) ? b ,并有关于函数 g ( x) 的四个论断: ① 若 a ? 0 , 对 于 [? 1, 1内 的 任 意 实 数 m, n( m n , ] ? )

g (n) ? g (m) ? 0 恒成立; n?m ②函数 g ( x) 是奇函数的充要条件是 b ? 0 ; ③任意 a ? R , g ( x) 的导函数 g ?( x) 有两个零点; ④若 a≥ b ? 0 ,则方程 g ( x) ? 0 必有 3 个实数根; 1,
其中,所有正确结论的序号是________ 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a

?

? ? ? ? ? (1, y ), b ? (1,?3), 且(2a ? b ) ? b
?

(1)求

a ,并求 a 在 b 上的投影

?

(2)若 k a ? 2b // 2a ? 4b ,求 k 的值,并确定此时它们是同向还是反向?

?

??

?

18. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, cos B ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 AB ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

2 ? 1 , sin( ? C ) ? . 2 2 2

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? (n ? N ) 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 5, S3 ? 9 .
?

(I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)设等比数列 ?bn ? (n ? N ) ,若 b2 ? a2 , b3 ? a5 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn
?

(Ⅲ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n a n a n ?1

20. 本小题满分 12 分) a =(2cos x ,1), b =(cos x , 3 sin2 x ), f ( x) = a ·b ,x ? R. ( 设

?

?

?

?

? ],求 x 的值; 2 ? ⑵ 若函数 g ( x) = cos(? x ? ) ? k ( ? ? 0, k ? R )与 f ( x) 的最小正周期相同, g ( x) 的 且 3
⑴ 若 f ( x) =0 且 x ? [ 0 , ? 图象过点( ,2),求函数 g ( x) 的值域及单调递增区间. 6

21. (本小题满分 12 分) 岛 A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只,正以每小时 10 海里的速度向东南方向航行, 观察站即刻通知在岛 A 正南方向 B 处巡航的海监船前往检查. 接 到通知后,海监船测得可疑船只在其北偏东 75°方向且相距 10 海里的 C 处,随即以每小时 10 海里的速度前往拦截.

(I)问:海监船接到通知时,距离岛 A 多少海里? (II)假设海监船在 D 处恰好追上可疑船只,求它的航行方向及其航行的时间.

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? , a 是大于零的常数.
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 ?1 , 2 ? 上为单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明: 曲线 y ? f ( x) 上存在一点 P , 使得曲线 y ? f ( x) 上总有两点 M , N , MP ? PN 且 成立

2013-2014 学年第一学期高三数学(文)半期试卷参考答案
一.选择题:

二、填空题:

三、解答题: 17.解: (1) 2a ? b ? (3,2 y ? 3) ???1 分

? ? ? a ? (1, 2),?| a |? 5 ,????4 分

? ? ? ? (2a ? b) ? b,? y ? 2 ????2 分 ? ? ? ? ? ? a 在 b 上的投影为 a ? b ? ? 10 ???6 分
b 2

? ? (2)法一:? k a ? b ? (k ? 2,2k ? 6), 2a ? 4b ? (?2,16) ????8 分

? ? ? ? ? (ka ? 2b) / /(2a ? 4b) ? k ? ?1 ????10 分

? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ka ? 2b ? (1, ?8),? ka ? 2b ? ? (2a ? 4b) ? 此时ka ? 2b与2a ? 4b反向 ?12 分 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 法二:? (ka ? 2b) / /(2a ? 4b) ? ka ? 2b=? (2a ? 4b) ????8 分
1 ? ? ? ? ? ? k ? 2? ?? ? ? ????10 分? 此时ka ? 2b与2a ? 4b反向 ?12 分 ?? ?? 2 ? 2 ? ?4? ? k ? ?1 ?
18.解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,因为 cos B ?

2 ? 1 , sin( ? C ) ? , 2 2 2 2 1 3 , cosC ? , sin C ? 所以 sin B ? . …………………………(3 分) 2 2 2
所以 sin A ? sin[? ? ( B ? C )] ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C

?

2 1 2 3 2? 6 ? ? ? ? . ……………………(6 分) 2 2 2 2 4

(Ⅱ)根据正弦定理得:

AB AC , ? sin C sin B

所以 AC ?

AB 2 3 2 ? sin B ? ? ? 2 2 . ……………………(9 分) sin C 2 3 2

? S?ABC ?

1 1 2? 6 ? 3 ? 3 . ……………12(分) AB ? AC ? sin A ? ? 2 3 ? 2 2 ? 2 2 4
解得 ? a 1 ? 1 ?????(2 分) ? ?d ? 2

? a3 ? a1 ? 2d ? 5 19.解: (Ⅰ)法一: ? ? 3? 2 ? s3 ? 3a1 ? 2 d ? 9 ?

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1????????????(4 分)
法二:由 S3 ? 9 ,得 3a2 ? 9 ,所以 a2 ? 3 . 又因为 a3 ? 5 ,所以公差 d ? 2 . 从而 an ? a2 ? (n ? 2)d ? 2n ? 1 . ????????(2 分) ?????????(3 分) ???????(4 分)

(Ⅱ)由上可得 b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 ,所以公比 q ? 3 , 从而, b1 所以. Tn ?

?1

??????????(6 分) ???????(8 分)

b1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 3n ) 1 n ? ? (3 ? 1) 1? q 1? 3 2

(Ⅲ)由(Ⅰ)知, a n ? 2n ? 1 . ∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ????10 分 a n a n ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1)? 2? ?

? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 n ???????????(12 分) (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 20 解: (1) f ( x) = a · b = 2cos x ? 3 sin 2 x ?

? ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x = 2sin(2 x ? ) ? 1 ???3 分 6 ? 由 f ( x) ? 0 得 2sin(2 x ? ) ? 1 =0 6 ? ? ? 7? ? ? 1 ? ? 7? ∴ sin(2 x ? ) ? ? ∵ x ? [ 0 , ]∴ 2 x ? ? ? , ∴ 2x ? ? 6 ?6 6 ? 2 6 2 6 6 ? ? ∴ x ? ????6 分 2 2? ? ? ? (2)由(1)知 T ? ? ∴ ? ? ? 2 ? g ( )? c o s ( ? ? k ? ∴ 2 ? 1 ??8 分 ) k ? 6 3 3 ? ? ∴ g ( x) = cos(2 x ? ) ? 1 cos(2 x ? ) ? ? ?1,1? 3 3

∴ g ( x) 的值域为 ? 0, 2 ? ,单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

(k ? z ) .????12 分

------4 分 (Ⅱ) f ? ? x ? ? 3x ? 4ax ? a ,若函数 f ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上为单调递增,
2 2

则 f ? ? x ? ? 3x ? 4ax ? a ? 0 在 x ? ?1, 2? 上恒成立,
2 2

当0 ? 当1 ?

2a 3 ? 1 ,即 0 ? a ? 时,由 f ? ?1? ? 3 ? 4a ? a 2 ? 0 得 0 ? a ? 1 ; 3 2
a2 2a 3 ? 2a ? ? 2 ,即 ? a ? 3 时, f ? ? ? ? ? ? 0 ,无解; 3 3 2 ? 3 ?



2a ? 2 ,即 a ? 3 时,由 f ? ? 2 ? ? 12 ? 8a ? a 2 ? 0 得 a ? 6 . 3

综上,当函数 f ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上为单调递增时, 0 ? a ? 1 或 a ? 6 .--------10 分
2 2 (Ⅲ) f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x ? 2ax ? a x , f ? ? x ? ? 3x ? 4ax ? a ,
2 3 2 2

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

a , x2 ? a , 3

a a f ? x ? 在区间 ( ??, ) , ( , a) , (a, ??) 上分别单调递增,单调递减,单调递增, 3 3
于是当 x ?

a 4a 3 a 时,有极大值 f ( ) ? ; 3 27 3

当 x ? a 时,有极小值 f ? a ? ? 0 .

a 4 3 2a 2 , a ) , B(a, 0) , AB 的中点 P ( , a3 ) , 3 27 3 27 ???? ??? ? 4 4 3 设 M ( x , y) 是图象任意一点,由 MP ? PN ,得 N ( a ? x , a ? y) , 3 27 4 4 4 3 2 2 4 因为 f ( a ? x) ? ( a ? x) ? 2a( a ? x) ? a ( a ? x) 3 3 3 3 4 3 3 4 3 ? a ? x ? 2ax 2 ? a 2 x ? a ? y, 27 27 ???? ??? ? 由此可知点 N 在曲线 y ? f ( x) 上,即满足 MP ? PN 的点 N 在曲线 C 上.
记 A( 所以曲线 y ? f ( x) 上存在一点 P ( 且 MP ? PN 成立 .

2a 2 3 , a ) ,使得曲线 y ? f ( x) 上总有两点 M , N , 3 27
----------------------------------14 分


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