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第三章柯西积分


第三章 柯西积分(25)

一、内容摘要
1. 复变积分的概念及其简单的性质。 复变积分的定义:与普通实变函数积分相似,设 l 是复平面上 a 点到 b 点的一条 光滑(或分段光滑)曲线, 复变函数
z k ?1 z k
f (z) 在l

上连续。把曲线 l 任意分为 n 个弧段

: z

0 ? a , z1 , z 2 , ? , z k ?1 , z k , ? , z n ? b ,在每个弧段 z k ?1 z k 上任意取一点

? k ? ? z k ?1 , z k ? 求和:

?

n

f ( ? k )( z k ? z k ? 1 ) ?

k ?1

?

n

f (? k ) ? z k

,当 n ? ? 时,即每个弧段 上的积分,记作:

k ?1

长趋于 0 时,若和的极限存在,则称此极限为函数

f (z) 在l

? ?

f ( z ) dz ? lim

l

n? ?

? ?
n

n

f (? k ) ? z k

. 将 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ), dz ? dx ? idy 代 入 式,得 ? f ( z ) d z ? ? u d x ? vd y ? ? vd x ? u d y .
l l l

k ?1

f ( z ) dz ? lim

l

n? ?

f (? k ) ? z k

k ?1

复积分的基本性质: (1) 若 l 分为 l 1 , l 2 , ? l n 段,则 ?
f ( z )dz ?
l

?

f ( z )dz ?
l1

?

f ( z )dz ? ?
l2

?

f ( z )dz
ln

.即全

路径的积分等于各段路径上积分之和。 (2) ? ? f 1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? d z ?
l

?

l

f1 ( z ) d z ?

?

l

f2 ( z )dz

,即几个函数和的积分等于各个函数

积分的和。 (3) ? a f ( z ) d z ? a ? f ( z ) d z .
l l

(4) ? f ( z ) d z ? ? ? f ( z ) d z .其中曲线 l ? 与 l 的走向相反。
l l
?

(5)

? f ? z ? dz
l

?

?

f
l

?z?

d z .其中 ds ? dz ?

dx

2

? dy

2

,是积分曲线 l 的弧元。

(6)

? f ? z ? dz
l

? Ml

,其中 M 是 f ( z ) 在积分曲线上取值的上界,即 f ( z )

? M

,l

是积分曲线的线长。 2. 柯西积分定理及其推广 单连通区域的柯西定理:若函数
f ( z ) 在单连通区域 G

内解析,则沿 G 内任何一
f ( z )dz ? 0

条分段光滑的闭合围道 l ( l 可以是区域的边界)的积分,即 ? ? 域的柯西积分: 若
f ( z ) 是复连通区域 G

.复连通区

l

内的单值解析函数,则

? ?

f ( z )dz ?

l0

?? ?
k ?1

n

f ( z )dz

.

lk

上式中,所有的积分围道的走向都是逆时针(或都是顺时针)的。其中的
l 0 , l 1 , l 2 , ? l n 是构成复连通区域 G

的边界的各个分段光滑的闭合曲线, l 1 , l 2 , ? l n 包

含在 l 0 的内部,并且所有的积分路径走向相同。 不定积分或原函数:在区域 D 内满足 F
D
'( z ) ? f ( z )

的函数 F ( z ) 称为

f ( z ) 在区域

内的一个不定积分或原函数。

3. 柯西积分公式及其推广 Cauchy 积分公式:设
a
f ( z ) 在有界区域 G

上单值解析, G 的边界是分段光滑曲线,
d?

为 G 内任意一点,则

f (z) ?

?? ? 2? i
l

1

f (? ) ?a

,通常写为 ? ?

f (z) z?a

d z ? 2? i. f ( a )



l

定理:如果 且
f
(n)

f ( z ) 在有界区域 G

上单值解析, 则在 G 内 或? ?
f (? ) (? ? z )
n ?1

f ( z ) 的任意阶导数都存在,
(n)

(z) ?

? ? 2? i

n!

f (? ) (? ? z )
n ?1

d?

d? ?

2? i n!

.f

(z) .

l

l

二、习题
1.填空题

(1) I = ? ?

dz z?3

=________, 其 中 C 为 正 向 圆 周 z ? 1.

C

(2) I = ? ??

2z ?1 z ?z
2

dz

=________, ? 为包围圆周 z ? 1 的任意简单闭合曲线。

(3) I = ? ?

co s z z
3

C ? C1 ? C 2

dz

=________,其中 C 1 : z ? 2 为正向, C 2 : z ? 3 为负向。
z 2

(4) I = ? ?

co s ? z

l

? z ? 1?

5

dz

=_________, I = ? ?

e
2

l

? z ? 1?

d z . =____________,其中的积分围

道 l 是圆: z ? 1 . (5) I
?

?

b a

z co s z d z

2

=________.
1? i

2.分别沿 y

? x

与 y ? x 2 算出积分 ? ( x 2 ? iy ) dz 的值。
0

3.沿指定曲线的正向计算下列各积分:
e
z

(1) ? ?

C

z?2

dz, C : z ? 2 ? 1 .

(2) ? ?

1 z ?a
2
iz

C

2

dz, C : z ? a ? a

.

(3) ? ?

e
2

C

z ?1

dz , C : z ? 2i ?

3 2

.

(4) ? ?

z z?3

dz, C : z ? 2 .

C

(5) ? ?

1 ( z ? 1)( z ? 1)
2 3

dz, C : z ? r ? 1 .

C

(6) ? ?

1 ( z +1)( z ? 4 )
2 2

dz, C : z ?

3 2

.

C

(7) ? ?

sin z z

dz, C : z ? 1 .

C

(8) ? ?

sin z (z ?

C

?
2

dz, C : z ? 2 . )
2

4. 计算下列积分: (1) ? ( ?
C

4 z ?1 2i

?

3 z ? 2i

) d z , 其 中 C: ? 4为 正 向 z



(2) ? ?

C

z ?1
2

d z , 其 中 C: - 1 ? 6为 正 向 z



(3) ? ? 5. 设

1 z?i

dz, 其 中 C 为 以 ?

1 2

,?

6 5

i为 顶 点 的 正 向 菱 形



C

f ( z ) 在区域 D

内解析, C 为 D 内的任意一条正向简单闭曲线,证明:对
f ?( z ) z ? z0 dz ?

在 D 内,但不在 C 上的任意一点 z 0 ,等式: ? ?

C

? ?

f (z) ( z ? z0 )
2

dz

成立。

C

6.利用积分估值定理,证明: (1)

? ?x
i ?i

2

? iy

2

?
?

? 2

,积分路径是直线段。

(2)

? ?x
i ?i

2

? iy

2

??

,积分路径是联 ? i 到 i 的右半圆周。

(3)证明

?

2?i ?i

dz z
2

? 2

,积分路径是直线段。

7. 计算 ? z ?1

dz z

,?

dz
z ?1

z

,?

dz
z ?1

z

,?

dz
z ?1

.

z

8.由积分 ?
?
0

dz
c

z?2

之值证明:

?

1 ? 2 co s ? 5 ? 4 co s ?

d? ? 0

,其中 c 取单位圆周。

9.设 C 表示圆周 x 2 ? y 2 ? 3, f ( z ) ?

?

3?
c

2

? 7? ? 1

? ?z

,求 f ' ? 1 ? i ? .

10.设

f (z) 在 z ? a ? R

内解析,试证明对任何 r (0 ?
i?

r ? R)

,都有

f '( a ) ?

?r ?

1

2? 0

R e ? f ? a ? re ?

?e

? i?

?d ? ?

.

三、参考答案
1.填空题 (1)0. (2) 4 ? i . (3)0.
? i
5

(4) ?

12

, i? 2 sin ? 1 ?
?

?

? ?
? 4 ?

.

(5)

1 2

? sin b

2

? sin a

2

?.
( x ? iy ) d z ?
2

2.解:沿 y
? ? 1 6 ? 5 6 i

? x

,?

1? i 0

?

1 0

( x ? ix ) d ( x ? ix ) ? (1 ? i ) ? ( x ? ix ) d x
2 2 0

1

沿 y ? x2 , ? 3.解:

1? i 0

( x ? iy ) d z ? ? ( x ? ix ) d ( x ? ix ) ? (1 ? i ) ? x (1 ? 2 ix ) d x ? ?
2 2 2 2 2 0 0

1

1

1 6

?

5 6

i.

(1)用柯西积分公式可得 ? ?

e

z

C

z?2

d z ? 2 ? i . f ( 2 ) ? 2 ? i ..e

2

.

(2)用柯西积分公式可得:

? ?

1 z ?a
2 2

dz ?

C

? ?

1 ( z ? a )( z ? a )

dz ?

C

? ?

1 / (z ? a) (z ? a)

d z ? 2? i. f ( a ) ? 2? i.

1 2a

?

?i
a

.

C

(3)令

f (z) ?

e

iz

z?i
iz

,则

f (z) 在C

内解析,由柯西积分公式可得,

? ?

e
2

iz

C

z ?1

dz ?

? ?

e /z?i z?i

d z ? 2? i. f (i ) ?

?
e

.
z z?3 dz ? 0 .

C

(4)利用单连通区域的柯西定理可得, ? ?

C

(5)由单连通区域的柯西定理可知,函数

f ( z ) 在区域内解析,则该积分为

0.

(6)令 f ( z ) ? 1 /( z 2 ? 4) ,则 f ( z ) 在区域内解析,又因为
1 z ?1
2

?

1

2i z ? i

[

1

?

1 z?i

]

,所以可得
1 / ( z ? 4)
2

? ?
?

1 ( z +1)( z ? 4 )
2 2

dz ?

C

? ?

C

( z +1)

2

dz ?

1 2i

[? ?

1 / ( z ? 4)
2

C

( z ? i)

dz ?

? ?

1 / ( z ? 4)
2

C

( z ? i)

dz ]

1 2i

[ 2 ? i . f ( i ) ? 2 ? i . f ( ? i )] ? 0

.

(7)由柯西积分公式可得:

? ?
(8)令

sin z z

d z ? 2 ? i . f (0 ) ? 2 ? i . sin 0 ? 0 .

C

f ( z ) ? sin z

,则

f ( z ) 在 z ? 1 内解析,由高阶导数公式可得,

? ?

sin z (z ?

C

?
2

dz ? )
2

2? i 1!

.f (

'

?
2

) ? 2 ? i . co s

?
2

?0

.

4.解: (1)有两个奇点 ? 1 和 2 i , 做两个小圆 C 1 , C 2 把它包围起来,由复连通区域柯西 定理可得

? ?
?

(

4 z ?1 4

?

3 z ? 2i dz ?

) dz ? 3

C

? ?

(

4 z ?1

?

3 z ? 2i 4 z ?1

) dz ?

C1

? ?

( 3

4 z ?1 dz

?

3 z ? 2i

) dz

C2

? ?

C1

z ?1

? ?

C1

z ? 2i

dz ?

? ?

dz ?

C2

? ?

C2

z ? 2i

? 4.2 ? i ? 0 ? 0 ? 3.2 ? i ? 14 ? i

.

(2)有两个奇点 i 和- i , 做两个小圆 C 1 , C 2 把它包围起来,由复连通区域柯西 定理可得

? ?
?

2i z ?1
2 C1

dz ?

C

? ?

2i z ?1
2

dz ?

C1

? ?

2i z ?1
2

dz

C2

? ?

2i / ( z ? i) z?i

dz ?

? ?

2i / ( z ? i) z?i

dz

C2

? 2? i. f ( i ) ? 2 ? i. f ( ? i ) ? 0 .

(3)因为 i 在 C 的内部,由柯西积分公式可得

? ?

1 z?i

d z ? 2 ? i . f ( i ) ? 2 ? i .1 ? 2 ? i ?

C

5. 解:分两种情况: (1)若 z 0 在 C 的外部,则 西定理有
f ?( z ) z ? z0



f (z) ( z ? z0 )
2

在 C 内解析,由单连通区域的柯

? ?

f ?( z ) z ? z0

dz ?

C

? ?

f (z) ( z ? z0 )
2

dz ? 0

.

C

(2)若 z 0 在 C 的外部,在 C 内解析的函数 解析函数, 由柯西积分公式可得, ? ?
f ?( z ) z ? z0

f ( z ) ,其导函数 f '( z ) 也是 C

内的

C

d z ? 2 ? i . f '( z 0 )

.

由高阶导数公式可得, ? ?
f ?( z ) z ? z0

f (z) ( z ? z0 )
2

dz ?

2? i 1!

C

. f '( z 0 ) ? 2 ? i . f '( z 0 ) .

所以, ? ?

dz ?

C

? ?

f (z) ( z ? z0 )
2

dz

.

C

综上,对在 D 内但不在 C 上的任意一点 z 0 , ? ? 6.证明: (1)在 ? i 到 i 的直线段上
w ? iy
2 2

f ?( z ) z ? z0

dz ?

C

? ?

f (z) ( z ? z0 )
2

dz

.

C

? 1 ,而此直线段的长度为

2,所以

? ?x
i ?i

2

? iy

2

?

? 2

,证毕。
?? 2

(2)设积分路径的参数方程为 z

?e ,
it

?t ?

?
2

,即 w

? cos t , y ? sin t

,从而沿

积分路径被积函数的模有一下估计
w ? iy
2 2

?
2

co s t ? sin t ?
4 4

1 ? 2 co s t sin t ? 1 ,积分路径的长度为 ?
2 2

,所以

? ?x
i ?i

2

? iy

?

??

,证毕。
? 2 t ? i , 0 ? t ? 1 ,沿此积分路径有如下估计

(3)设积分路径的参数方程为 z
1 z
2

?

1 z
2

?

1 4t ? 1
2

? 1 ,所以

?

2?i ?i

dz z
2

? 2

,证毕。

7.解:
dz
z ?1 2? 0

(1) ?

?

z

?

ie e

it

it

d t ? 2? i .

(2) ?

dz
z ?1

?

z

?

z ?1

dz ? 0

.

(3) ?

dz
z ?1

?

z

?

2? 0

1 e
it

dt ? 0

.

(4) ?

dz
z ?1

?

z

?

2? 0

d t ? 2?

.

8.证明:

0?

?

dz
z ?1

z?2

?

?

2? 0

? sin ? ? i co s ? co s ? ? 2 ? i sin ?

?

?

2? 0

? 2 sin ? ? i (1 ? 2 co s ? ) 5 ? 4 co s ?
2? 0

d?

于是

?

1 ? 2 co s ? 5 ? 4 co s ?

d? ? 0



又由

??
?
0

2?

1 ? 2 co s ? 5 ? 4 co s ?

d? ?

??

2?

1 ? 2 co s ? ? 2 ? ? ?

? d? 5 ? 4 co s ? ? 2 ? ? ? ?

t ? 2? ? ?

?

?
0

1 ? 2 co s t 5 ? 4 co s t

dt



所以 ?

1 ? 2 co s ? 5 ? 4 co s ?

d? ? 0

,证毕。

9.解: 由柯西积分公式得当 z ? 3 时, f ( z ) ? 2 ? i (3 z 2 ? 7 z ? 1) ,于是
f '( z ) ? 2 ? i (6 z ? 1), z ? 3

,所以 f ' ? 1 ? i ? ? 2 ? ( ? 6 ? 1 3 i ) .

10.证明:令 f ( a ? re i? ) ? u ( r , ? ) ? iv ? r , ? ? , C 为圆周 z ? a ? r ,由柯西积分公式 得 f '( a ) ?

? 2? i

1

f
c

?z?
2

?z ? a?
2? 0

dz ?

? ? u ? iv ?e 2? r
0

1

2?

? i?

d?

①,又由柯西积分定理,有

0?
1

?

f
c
2?

? z ? dz

? ir ?
? i?

? u ? iv ?e i? d ? ,两端乘以

1 2? r i
2

后再取共轭得

? ? u ? iv ?e 2? r
0

d ? ? 0 ②,将①式和②式相加得 1
2? 0

f '( a ) ?

?r ?

1

2?

ue
0

? i?

d? ?

?r ?

Re ? f ?

? a ? re ? ?e ?
i?

? i?

d?

,证毕。


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