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广东省潮州市2013届高三数学第二次模拟考试试题 理(潮州二模)新人教A版


广东省潮州市 2013 年第二次模拟考试 数学试卷(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回。 第一部分 选择题(共 40 分) 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)

i 1.设 i 为虚数单位,则复数 2 ? i 等于 1 2 ? i A. 5 5
2.已知集合 A. 0

1 2 ? ? i B. 5 5

1 2 ? i C. 5 5


1 2 ? ? i D. 5 5
,则 m ?

A ? ?1, 2, m?
B. 3



B ? ?3,4?
C. 4

A ? B ? ?1, 2,3, 4?
D. 3 或 4

? ? ? ? a ? (1, 3) , b ? (?1,0) ,则 | a ? 2b |? 3.已知向量
A. 1 B.

2

C. 2

D. 4

4、函数 f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内的零点个数为 A、0 B、1 C、2 D、3

5.已知实数 A. ?3

x, y 满足

? y?x ? ? x ? y ?1 ? y ? ?1 ?
1 B. 2

,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为

C. 5

D. 6

6.已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何体的体积 V ? A. 12? B. 16? C. 18? D. 64?

1

7.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A =“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B =“取 到的 2 个数 均为偶数”,则 P( B | A) = ( ).

1 (A) 8

(B)

1 4

2 (C) 5

1 (D) 2

? ? ? ? a ? (a1, a2 ) , ? (b1 , b2 ) , b a ? b ? (a1, a2 ) ? (b1, b2 ) ? (a1b1, a2b2 ) , 8. 设向量 定义一运算:
?? 1 ???? ?? ? m ? ( , 2) ? n ? ( x1,sin x1 ) 。点 Q 在 y ? f ( x) 的图像上运动,且满足 OQ ? m ? n 2 已知 ,
(其中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 的最大值及最小正周期分别是

1 ,? A. 2

1 , 4? B. 2

C. 2, ?

D. 2, 4?

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) 。 (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 9. 已知不等式

x ? 2 ?1

的解集与不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集
2

开始

相同,则 a ? b 的值为

S ?0

1 ) 10. 若 (2 x ? x n 的展开式中所有二项式系数之和为 64,则
展开式的常数项为 11.已知等差数列 .

K ?1



?an ?的首项 a1 ? 1 ,前三项之和 S3 ? 9 ,则

K ? 10 ?
否 输出 K,S

?an ?的通项 an ? ____.
12. 计算 = . 13.如图,是一程序框图,则输出结果为

S?S?

1 K ( K ? 2)
结束

K ? K ?2

K?



S?

. 。

(说明, M ? N 是赋值语句,也可以写成 M ? N ,或 M :? N (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

A P

B

C
图3

? O

D

2

⒕(几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 的割线 PAB 交圆

O 于 A 、 B 两点,割线 PCD 经过圆心。已知 PA ? 6 ,

AB ? 7

1 3 , PO ? 12 。则圆 O 的半径 R ? ____ .

⒖(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2? )中,直线

??

?
4 被圆

? ? 2 sin ? 截得的弦的长是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3(sin x ? cos x) ? 2 sin x cos x .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;

x ? [?
(Ⅱ)设

? ?

, ] 3 3 ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间.

17. (本小题满分 12 分)某次运动会在我市举行,为了搞好接待工作,组委会招募了 16 名 男志愿者和 14 名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动,其余 不喜爱。 (1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 男 女 总计 喜爱运动 10 6 不喜爱运动 总计 16 14 30

(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与 喜爱运动有关? (3)从女志愿者中抽取 2 人参加接待工作,若其中喜爱运动的人数为 ? ,求 ? 的分布列 和均值。

K2 ?
参考公式: 参考数据:

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ,其中 n ? a ? b ? c ? d .

P( K 2 ? k0 )

0.40

0.25

0.10

0.010

3

k0

0.708

1.323

2.706

6.635

18. (本题满分 14 分) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点, P

1 AD ? DB 3 且 ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC .
点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , PD ? DB . (1)求证: PA ? CD ; (2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值. A C
第 18 题图

D

O

B

19.(本题满分 14 分)

an?1 1 a1 ? 1, a 2 ? {a } 2 ,且 an?2 ? an ? an?1 ( n ? N * ) 已知数列 n 满足: .
an } a n ?1 为等差数列; (Ⅰ)求证:数列 {
(Ⅱ)求数列

2

{an } 的通项公式;
Sn .
a1a2 a3

a1 a1 a2 a2 a1 a3

(Ⅲ)求下表中前 n 行所有数的和

???????????

a1an an?1
20. (本题满分 14 分)

a2 an?1 an?1

??

an a1 an?1

????????????????

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) e? 2 A(?2,0), B(2,0) ,离心率 b 2 . 设椭圆 a 的左右顶点分别为
过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | .
4

(1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判 断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

21. (本题满分 14 分) 设 a ? 0 ,函数

f ( x) ?

1 x ?a .
2

1 x0 ? (0, ) a ,使 f ( x0 ) ? x0 ; (Ⅰ)证明:存在唯一实数
(Ⅱ)定义数列

{xn } : x1 ? 0 , xn?1 ? f ( xn ) , n ? N * .
x2n?1 ? x0 ? x2n ;

(i)求证:对任意正整数 n 都有

1 0 ? xk ? (k ? 2,3,4,?) 2 (ii) 当 a ? 2 时, 若 ,
证明:对任意 m ? N 都有:
*

xm ? k ? xk ?

1 3 ? 4k ?1 .

广东省潮州市 2013 年第二次模拟考试数学试卷(理科) 答题卷

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) 。 (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 9. ; 10 . ; 11 . 13. ; 。 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14(15). ; 12 . ;

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。
5

16.(12 分)

17. (12 分) (1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 男 女 总计 喜爱运动 10 6 不喜爱运动 总计 16 14 30

6

18. (14 分)

P

A C

D

O

B

第 18 题图

7

19. (14 分)

8

20. (14 分)

9

21. (14 分)

10

广东省潮州市 2013 年第二次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分标准 说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2、对于计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 B 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 11. 2n ? 1 .

9.-1 __ .

10.

-160



12.e .

2

5 13.11, 11 . (2

分,3 分) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕8 ; ⒖ 2.

2.解析: m ? 3 或 4

11

2 7.提示:“从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数”一共有 C5 ? 10 种不同选取方式,其中满

2 2 足事件 A 的有 C3 ? C2 ? 4 种选取方式,所以

P( A) ?

4 2 ? 2 10 5 ,而满足事件 B 要求的有 C2 ? 1

1 P ( A ? B ) 10 1 P ( B | A) ? ? ? . C2 1 2 4 P ( A) P( A ? B) ? 2 ? 2 C5 10 ,再由条件概率计算公式,得 5 种,即
16. (本小题满分 12 分) 网解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ? 3(cos x ? sin x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos2 x ? sin 2 x
2 2

? ?2 sin( 2 x ?

?
3

)
.

???????? 3 分

? f (x) 的最小正周期为 ? .
x ? [?
(Ⅱ)∵

???? 5 分

? ?
,

3 3 ,

]

??

?
3

? 2x ?

?
3

??


??

3 ? ? s i n2( ? ) ? 1 x 2 3 .
?????? 10

? f (x) 的值域为 [?2, 3] .


?当
?

y ? sin( 2 x ?

?

) 3 递减时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

??

?
,即 12

?x?

?
3.

?? ? ? ? , ? 故 f ( x ) 的递增区间为 ?12 3 ? .
分 17.解: (1) 男 女 总计 ??2 分
12

????????12

喜爱运动 10 6 16

不喜爱运动 6 8 14

总计 16 14 30

(2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可求得:

K2 ?

30 ? (10 ? 8 ? 6 ? 6)2 ? 1.1575 ? 2.706 (10 ? 6)(6 ? 8)(10 ? 6)(6 ? 8)

因此,在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6 分 (3)喜爱运动的人数为 ? 的取值分别为:0,1,2,其概率分别为:

P(? ? 0) ?


C82 28 ? 2 C14 91

P(? ? 1)

1 1 C6 C8 48 ? 2 91 C14

P(? ? 2) ?

2 C6 15 ? 2 C14 91

??8

喜爱运动的人数为 ? 的分布列为:

?
P ??10 分

0

1

2

28 91

48 91
E? ? 0 ?

15 91

所以喜爱运动的人数 ? 的值为: 18. (本题满分 14 分)

28 48 15 78 ? 1? ? 2? ? . 91 91 91 91

? 12 分P

解析: (Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,
? 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,

A C

D O

B

∴ ?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又

PA ?





PAB
-----------------6 分





PA ? CD .

(注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分. )
13

法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,

B 在 Rt?ABC 中设 AD ? 1 , 3A D 由 D ?

BC ? 2 3 , DB AB , 3AC ? BC 得, ? 3 , ? 4 ,

BD BC 3 ? ? 2 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ∴ BC AB


?BCA ? ?BDC ?






C

D

A

O -----------------3 分

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ -----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又

PD ? CD



PA ?





PAB





PA ? CD .
法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,
? 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,

-----------------6 分

设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ?



CD2 ? DB2 ? BC 2
?






C

D

A

-----------3 分 O

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ -----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB ,
14

PD ? CD





PA ?





PAB





PA ? CD .

-----------------6 分

P ( Ⅱ ) 法 1 :( 综 合 法 ) 过 点 D 作 DE ? PB , 垂 足 为 E , 连 接

CE .

-----------------7 分 E

由(1)知 CD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ CD ? PB ,又 DE ? CD ? D , ∴ PB ? 平面 CDE ,又 CE ? 平面 CDE , C ∴ CE ? PB ,-----------------9 分 ∴ ?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角. -----------------10 分 由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , (注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要设出线段的长度,酌情给分. ) ∴ PB ? 3 2 ,则

A

D

O

B

DE ?

PD ? DB 9 3 2 ? ? PB 2 , 3 2
CD 3 6 ? ? DE 3 2 3 2 ,
C? P B 的 A余 ?

tan ?DEC ?
∴在 Rt?CDE 中,

cos ?DEC ?


15 5

















15 5 .

-----------------14 分

???? ??? ??? ? ? D 为原点, DC 、 DB 和 DP 的方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向, 法 2: (坐标法)以
建 系. 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 -----------------8 分

(注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 CD ? AB ,酌情给分. ) 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, PD ? DB ? 3 , CD ? 3 , ∴ D(0,0,0) , C ( 3,0,0) , B(0,3, 0) , P(0, 0,3) ,

15

??? ? ??? ? ??? ? PC ? ( 3,0, ?3) , PB ? (0,3, ?3) , CD ? (? 3,0,0) , ∴


CD ?





PAB









PAB















??? ? CD ? (? 3,0,0) .

-----------------10 分 z P

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

??? ? ?n ? PC ? 0 ? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ? ? ??? ? ?n ? PB ? 0 ,即 ?3 y ? 3 z ? 0 ,令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1 , ? ?
∴ n ? ( 3,1,1) ,-----------------12 分 设二面角 C ? PB ? A 的平面角的大小为 ? ,

??? ? n ? CD ?3 15 ??? ? ? cos ? ? ?? 5 ,-----------------13 分 | n | ? | CD | 5? 3 则
15 ∴二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 5 .-----------------14 分

A C x

D O B y

an?1 1 a1 ? 1, a 2 ? 2 , an?2 ? an ? an?1 ,得 19.解: (Ⅰ)由条件
a an ? 2 a n ?1 a n ?1 ? ? n ?1 an ?1 an ? an ?1 ? an ? 2 an ?1

2

??????????????2 分

an } a n ?1 为等差数列. ∴ 数列 {
an a ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 a a2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 n ?1

????????3 分

?????????4 分



a1 a1 a2 a ? ? ? ? ? n ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n! an a n a 2 a3
an ? 1 n!

??????????????7 分



??????????? 8 分

?
(Ⅲ)

ak an?k ?1 (n ? 1)! k ? ? C n ?1 an?1 k!(n ? k ? 1)!

( k ? 1,2,?, n )

?????????10 分

a1an a2 an?1 a a ? ? ?? ? n 1 an?1 an?1 an?1 ∴ 第 n 行各数之和
16

1 2 n ? Cn?1 ? Cn?1 ? ? ? Cn?1 ? 2n?1 ? 2

( n ? 1, 2, ?? )?????12 分

∴ 表中前 n 行所有数的和

S n ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ? ? (2n?1 ? 2)
2 3 ? ? ( 2 ? 2 ? ?n2 ? 1

)? 2 n

?

22 (2n ? 1) ? 2n ? 2n? 2 ? 2n ? 4 . 2 ?1

?????14 分

20. (本题满分 14 分) 解析: (1)由题意可得 a ? 2 , ∴ b ? a ? c ?1,
2 2 2

e?

c 3 ? a 2 ,∴ c ? 3 ,

---2 分

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆的方程为 4 .
? x0 ? x ? ? x ? x0 ? 1 ? ? y0 ? 2 x P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? y ? 2 y0 ,即 ? (2)设 C ( x, y ) , ,
2 x0 x2 1 2 2 ? y0 ? 1 ? ( y) ? 1 2 2 2 又 4 ,代入得 4 ,即 x ? y ? 4 .

--------4 分

--------6 分

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 4 .
2 2

-------8 分

(3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR ,

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , 而
t?


4n m?2 , (2, 4n 2n ) (2, ) m ? 2 ,点 D 的坐标为 m ? 2 ,

∴点 R 的坐标为

-------10 分

k?
∴直线 CD 的斜率为

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn m?2 m2 ? 4 m2 ? 4



17



m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 ,
k? mn m ?? 2 ?n n,
y?n ? ? m ( x ? m) n ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 ,



-------12 分

∴直线 CD 的方程为

d?
∴圆心 O 到直线 CD 的距离 所以直线 CD 与圆 O 相切. 21. (本题满分 14 分) ( Ⅰ

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r 4

, -------14 分







:



f ( x) ? x ? x3 ? ax ?1 ? 0 .
3

????????????? 1 分

1 1 h( ) ? 3 ? 0 a 令 h( x) ? x ? ax ?1 ,则 h(0) ? ?1 ? 0 , a ,


1 h(0) ? h( ) ? 0 a .
?? 2 分 又 数.

???????????

h/ ( x) ? 3x2 ? a ? 0

,



h( x) ? x3 ? ax ?1



R









????????????? 3 分
3

? 1? ? 0, ? 故 h( x) ? x ? ax ?1 在区间 ? a ? 上有唯一零点, ? 1? x0 ? ? 0, ? ? a?















使

f ( x0 ) ? x0 . x ?0 , ② 当 n ?1 时 , 1
立;???? 5 分

????????????? 4 分

x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ?

? 1? 1 x0 ? ? 0, ? ? a ? , 即 x1 ? x0 ? x2 成 a ,由①知

x ? x0 ? x2k , 注 意 到 设 当 n ? k( k ? 2 )时 , 2k ?1

f ( x) ?

1 x ? a 在 ? 0, ??? 上 是 减 函 数 , 且
2

xk ? 0 ,
18

故有: ∴

f ( x2k ?1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ) ,即 x2k ? x0 ? x2k ?1

f ( x2k ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ?1 ) ,
??? 7 分 即 故 有: (2)

??????????

x2k ?1 ? x0 ? x2k ? 2 .这就是说, n ? k ? 1 时,结论也成立.
对 任 意 正 整 数

n



x2n?1 ? x0 ? x2n .


????????????? 8 分

a?2



,



x1 ? 0

得:

x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ?

1 1 x2 ? x1 ? 2, 2

????????????? 9 分

x3 ? x2 ?

2 2 x2 ? x12 x2 ? x1 x2 ? x1 1 1 1 1 ?1? ? 2 ? 2 ? ? ? x2 ? x1 ? ? ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)( x12 ? 2) 4 2 4 ? 4 ? ????????

???? 10 分 当 k ? 2 时,

? 0 ? xk ?

1 2,

xk2 ? xk2?1 xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 1 1 xk ?1 ? xk ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 xk ? 2 xk ?1 ? 2 ( xk ? 2)( xk ?1 ? 2) 4 4 ∴

?1? ?1? ? ? ? ? xk ?1 ? xk ?2 ? ? ? ? ? ?4? ?4?
?? 12 分 对 ?m ? N ,
*

2

k ?2

? x3 ? x2 ? ? 1 ? ? ? ?4?

k

?????????

xm?k ? xk ? ( xm?k ? xm?k ?1 ) ? ( xm?k ?1 ? xm?k ?2 ) ??? ( xk ?1 ? xk )
?????????

? xm?k ? xm?k ?1 ? xm?k ?1 ? xm?k ?2 ??? xk ?1 ? xk
13 分

1 1 1 ? ? 1 ? ? m?1 ? m?2 ? ? ? 2 ? ? 1? xk ?1 ? xk 4 4 4 ? ?4

1 4m x ? x ? 4 ? ? 1 ? 1 ? ? x ? x ? 4 ? 1 ? 1 ? 1 k ?1 k 3 ? 4m ? k ?1 k 3 4k 3 ? 4k ?1 ? ? 1? 4 1?
14 分

????????

19


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