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中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第25讲 建构函数模型的应用性问题


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数学高考综合能力题选讲 25

建构函数模型的应用性问题
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
应用题是高考考查的重点,也是考生得分的难题,近年来该类试题的特点日趋鲜明:1. 应用题的信息来源真实可靠;2.应用题的个数明显在增加;3.注重考查学生动脑、动手能力 及应用的能力(如 2002 年文科 22 题)。从高考应用题来看,涉及函数、数列、不等式等高中 主要板块的内容,是历年高考命题的热点和重点. 解答函数型应用题, 一般先从建立函数的解析表达式入手, 通过研究函数的性质获得解 答.因此,这类问题的难点一般有两个:一是解析式的建立,二是数学知识的灵活应用.

梁丽平

范例选讲 例 1.某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建成经营状况良好 q 的某种消费品专卖店, 并约定用该店 经营的利润逐步偿还债务(所有债务 60 均不计利息). 已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售量 q(百件)与 销售价 p(元/件)之间的关系用右 图中的一条折线(实线)表示;职工 每人每月工资为 600 元, 该店应交付 24 的其它费用为每月 13200 元. 1 (Ⅰ) 若当销售价 p 为 52 元/件 时,该店正好收支平衡,求该店的职 40 58 81 p 工人数; (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工, 则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费品的价格定为多少元? 讲解 本题题目的篇幅较长,所给条件零散杂乱,为此,不仅需要划分段落 层次, 弄清每一层次独立的含义和相互间的关系, 更需要抓住矛盾的主要方面. 由 题目的问题找到关键词—— “收支平衡”“还清所有债务” 不难想到, 、 , 均与 “利 润”相关. 从阅读和以上分析,可以达成我们对题目的整体理解,明确这是一道函数型 应用题.为此,首先应该建立利润与职工人数、月销售量 q、单位商品的销售价 p 之间的关系,然后,通过研究解析式,来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量,所以,先考虑月利润.
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(Ⅰ)设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名.则

S = q ( p ? 40 ) × 100 ? 600m ? 13200 .
??2 p + 140, ? 又由图可知: q = ? ?? p + 82 ?

( 40 ≤ p ≤ 58) . ( 58 < p ≤ 81) ( 40 ≤ p ≤ 58) ( 58<p ≤ 81)

?( ?2 p + 140 )( p ? 40 ) × 100 ? 600m ? 13200 ? 所以, S = ? ?( ? p + 82 )( p ? 40 ) × 100 ? 600m ? 13200 ? 由已知,当 p = 52 时, S = 0 ,即

( ?2 p + 140 )( p ? 40 ) ×100 ? 600m ? 13200 = 0 ,
解得 m = 50 .即此时该店有 50 名职工. (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则月利润 ?( ?2 p + 140 )( p ? 40 ) × 100 ? 37200 ? S =? ?( ? p + 82 )( p ? 40 ) × 100 ? 37200 ?

( 40 ≤ p ≤ 58) . ( 58<p ≤ 81)

当 40 ≤ p ≤ 58 时,求得 p = 55 时,S 取最大值 7800 元. 当 58 < p ≤ 81 时,求得 p = 61 时,S 取最大值 6900 元. 综上,当 p = 55 时,S 有最大值 7800 元. 设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,有 12n × 7800 ? 268000 ? 200000 ≥ 0 . 解得 n ≥ 5 . 所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元. 求解数学应用题必须突破三关: 点评 (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审 题,找出关键词、句,理解其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型. 例 2.一位救生员站在边长为 100 米的正方形游泳池 ABCD 的 A 处(如 图) ,发现 C 处有一位溺水者.他跑到 E 处后,马上跳 A 水沿直线 EC 游到 C 处, 已知救生员跑步的速度为米 v / v E 分,游泳的速度为 米/分. 2 试问,救生员选择在何处入水才能最快到达 C 处,所用 的最短时间是多少? 讲解:理解本题并不难:应该建立时间 t(分)关于 讲解
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B

D

C

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某个变量的函数关系式,然后,通过求最值的方法来解决问题. 难点在于变量的选择,当然,我们可以选择以 AE 的长度 x(米)作为变量,
2 x 2 100 + (100 ? x ) 但此时 t = + ,求最值较为困难. v v 2

注意到:AE 和 EC 的长度,可以方便的用角表示,不必用到根号,所以我 们可以尝试以 ∠CEB 作为变量. 100 设 ∠CEB = α ,则 AE = 100 ? 100 cot α , CE = ,所以, sin α
t= 100 ? 100 cot α 200 100 ? 2 ? cos α ? + = ?1 + ? v v ? sin α v ? sin α ?

α ? 1 ? tan 2 ? 2 ? 2? 2α ? 1 + tan 100 ? 2 = 1+ α ? v 2 tan ? 2 ? α ? 1 + tan 2 ? 2


? ? ? α ? ? 1 + 3 tan 2 100 ? 2 ?= ?1 + α ? v ? 2 tan ? ? 2 ? ? ?

? ? ? ? 100 50 ? 1 α? + ? + 3 tan ? ?= v v ? tan α 2? ? ? ? 2 ?

100 50 100 + 100 3 + ×2 3 = v v v
1

等号当且仅当
tan

α
2

= 3 tan

α
2

,即 tan

α
2

=

3 π ,即 α = 时成立. 3 3

此时, AE = 100 ?

100 3 100 + 100 3 ,t = .也即,救生员应该在 AB 边 3 v

上距 B

100 3 米处入水,才能最快到达 C 处,所用的最短时间为 3

t=

100 + 100 3 . v

(1) 恰当选择变量, 有助于简化数学过程; 2) ( 本题中, 若以 AE = x 点评 为自变量,也可通过三角代换(或移项、平方、判别式等)来求得最值. 例 3.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些 次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,次品率 P 与日产量 x(件)之间大体 ? 1 ? 96 ? x (1 ≤ x ≤ c, x ∈ N ) ? 满足关系: P = ? ?2 ( x > c, x ∈ N ) ?3 ?
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( 其中c为小于96的正常数 ) .

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注:次品率 P

=

次品数 ,如 P = 0.1 表示每生产 10 件产品,约有 1 件为次品.其余为合格品. 生产量
A 元, 2

已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损

故厂方希望定出合适的日产量. (Ⅰ)试将生产这种仪器每天的盈利额 T(元)表示为日产量 x(件)的函 数; (Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润? 讲解: 讲解 (Ⅰ)当 x > c 时, P = 当 1 ≤ x ≤ c 时, P =
2 1 2 A ,所以,每天的盈利额 T = xA ? x ? = 0 . 3 3 3 2

1 1 ? ? ,所以,每日生产的合格仪器约有 ?1 ? ? x 件, 96 ? x ? 96 ? x ?

? 1 ? 次品约有 ? ? x 件.故,每天的盈利额 ? 96 ? x ?

? 1 ? 3x ? ? 1 ? A ? T = ?1 ? ?A ? xA ? ? ?x? = ? x? ? 2 ( 96 ? x ) ? ? 96 ? x ? ? 96 ? x ? 2 ? ?

综上,日盈利额 T (元)与日产量 x (件)的函数关系为: ?? ? 3x ?? x ? ? A, T = ?? 2 ( 96 ? x ) ? ? x>c ?0, ? ? 3x 当 1 ≤ x ≤ c 时, T = ? x ? ? A. ? ? 2 ( 96 ? x ) ? ? 为表达方便,令 96 ? x = t ,则 0 < 96 ? c ≤ t ≤ 95 .故 ? 1 ? 3 ( 96 ? t ) ? 144 ? 144 ? 147 ? 1 T = ? 96 ? t ? A > 0. ?A= ? A = ? 97 ? t ? ? A ≤ ? 97 ? 2 t ? ? 2 ? t ? t ? 2t 2 ? 2 ? ? ? (等号当且仅当 t =
144 ,即 t = 12 (即x = 88 ) 时成立) .所以, t 147 (1)当 c ≥ 88 时, Tmax = A (等号当且仅当 x = 88 时成立) . 2 1≤ x ≤ c



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x > c 时,每天的盈利额为 0.

(2) 当 1 ≤ c < 88 时, 1 ≤ x ≤ c 得 12 < 96 ? c ≤ t ≤ 95 , 由 易证函数 g ( t ) = t + 在 t ∈ (12, +∞) 上单调递增(证明过程略) .

144 t

所以, g (t ) ≥ g ( 96 ? c ) .所以,

? 144 + 189c ? 2c 2 ? 144 ? 144 ? ? 1 ? 1 T = ? 97 ? t ? A ≤ ? 97 ? ( 96 ? c ) ? A=? ?A>0. ? ? t ? 96 ? c ? 192 ? 2c ? 2 ? 2 ? ?
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? 144 + 189c ? 2c 2 ? 即 Tmax = ? (等号当且仅当 x = c 时取得) ? A. 192 ? 2c ? ?
综上, 88 ≤ c < 96 , 若 则当日产量为 88 件时, 可获得最大利润; 1 ≤ c < 88 , 若 则当日产量为 c 时,可获得最大利润. 点评 基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段. 高考真题 1. (1997 年全国高考)甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 c 千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分 和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 b;固定 部分为 a 元. (Ⅰ)全程运输成本把 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数 的定义域; (Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 2. (2000 年全国高考) 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月 一日起的 300 天内, 西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P= f (t ) ;写出图二表示的 种植成本与时间的函数关系式 Q= g (t ) ; (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/ 10 2 kg,时间单位:天) 3. (2003 年北京春季高考)某租赁公司拥有汽车 100 辆. 当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出. 当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增 加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收 益是多少?
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ab ?a ? [答案与提示:1. (Ⅰ) y = S ? + bv ? , v ∈ (0, c] ; (Ⅱ)当 ≤ c 时,行驶速度 b ?v ?

应 为 v=

ab ,当 b

ab >c 时 , 行 驶 速 度 应 为 v=c . b

2 .( Ⅰ )

?300 ? t , 0 ≤ t ≤ 200 1 2 f (t ) = ? , g (t ) = (Ⅱ)从 2 ( t ? 150 ) + 100, 0 ≤ t ≤ 300 ; 200 ?2t ? 300, 200 < t ≤ 300 月 1 日起的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大. 3. (Ⅰ)88 辆; (Ⅱ)当 每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大.最大月收益是 307050 元.]

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