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新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)


新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题
(时间 120 分钟,分值 150 分)

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选择题, 选择题(本大题共 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、 选择题 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的, 将所选答案写在答题卡上) 一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上 答题卡上 1.设 y =

1? x2 ,则 y ' = ( sin x

) .

A.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x ? 2 x sin x + (1 ? x 2 ) sin x x 2 + 1 ,则 f ' (2) = ( ) .
B.

B.

? 2 x sin x + (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x ? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

C.

D.

2.设 f ( x ) = ln A.

4 5

2 5

C.

1 5

D.

3 5

3.已知 f (3) = 2, f ' (3) = ?2 ,则 lim A. ? 4 B. 0

2 x ? 3 f ( x) 的值为( ) . x →3 x?3
C. 8 D.不存在

4.曲线 y = x 3 在点 ( 2,8) 处的切线方程为( ) . A. y = 6 x ? 12 C. y = 8 x + 10 B. y = 12 x ? 16 D. y = 2 x ? 32

5. 已知函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象与 x 轴有三个不同交点 (0,0), ( x1 ,0) , x 2 ,0) , ( 且 f ( x ) 在 x = 1 , x = 2 时取得极值,则 x1 ? x 2 的值为( A.4 B.5 C.6 )

D.不确定

6. R 上的可导函数 f ( x ) = 在

1 3 1 2 x + ax + 2bx + c , x ∈ (0,1) 取得极大值, x ∈ (1,2) 当 当 3 2
) .

取得极小值,则

b?2 的取值范围是( a ?1
B. ( ,1)

A. ( ,1)

1 4

1 2

C. (?

1 1 , ) 2 4

D. (?

1 1 , ) 2 2

第 1 页

7.函数 f ( x ) =

1 x π e (sin x + cos x) 在区间 [0, ] 的值域为( 2 2
π

) .
π

A. [ , 8.积分

1 1 2 e ] 2 2
a

B. ( ,

1 1 2 e ) 2 2

π

π

C. [1, e 2 ]

D. (1, e 2 )



?a

. a 2 ? x 2 dx = ( ) B.

A.

1 πa 2 4

1 πa 2 2

C. π a

2

D. 2 π a

2

9.由双曲线 积为( A. )

x2 y2 ? = 1 ,直线 y = b, y = ?b 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体 a 2 b2

8 π ab 2 3

B.

8 πa 2b 3

C.

4 πa 2 b 3

D.

4 π ab 2 3

10.由抛物线 y 2 = 2 x 与直线 y = x ? 4 所围成的图形的面积是( ) . A. 18 B.

38 3

C.

16 3

D. 16 ) .

11.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ,则其表面积最小时,底面边长为( A. 3 V B. 3 2V C. 3 4V D. 23 V

12.某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣,纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧 y = sin x (0 ≤ x ≤ π ) 组成,其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点,则这个 纸花瓣的面积为( ) . A. 6 + 3 3π
2

B. 12 +

3 3 2 π 2

C. 6 + π

2

D. 6 +

3 3 2 π 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,

请将答案填在答题卷相应空格上。 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分。请将答案填在答题卷相应空格上。 填空题( ) 13.曲线 y = x 3 在点 (a, a 3 )( a ≠ 0) 处的切线与 x 轴、直线 x = a 所围成的三角形的面积为

1 ,则 a = _________ 。 6
14.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移是 S = 为零的时刻是_______________。

1 4 3 3 t ? t + 2t 2 ,那么速度 4 5

第 2 页

15. lim (
n →∞

1 2 n + 2 +L+ 2 ) = _______________. 2 n +1 n + 2 n + n2
2

16.



4

0

(| x ? 1 | + | x ? 3 |)dx = ____________。

(本大题共 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题: 本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题: ( (17) (本小题满分 10 分) 已知向量 a = ( x , x + 1), b = (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) = a ? b 在区间 (?1,1) 上是增函数,
2

求 t 的取值范围。

(18) (本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f ( x) = ax + bx ? 3 x 在 x = ±1 处取得极值.

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x ) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y = f ( x ) 的切线,求此切线方程.

(19) (本小题满分 14 分) 设 0 ≤ x ≤ a ,求函数 f ( x ) = 3 x 4 ? 8 x 3 ? 6 x 2 + 24 x 的最大值和最小值。

第 3 页

(20) (本小题满分 12 分) 用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 α 的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆 心角 α 多大时,容器的容积最大?

(21) (本小题满分 12 分)
2 直线 y = kx 分抛物线 y = x ? x 与 x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求 k 的值.

(22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln x, g ( x ) =

1 2 ax + bx, a ≠ 0 。 2

(1)若 b = 2 ,且函数 h( x ) = f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围。 (2)设函数 f ( x ) 的图象 C1 与函数 g ( x ) 的图象 C 2 交于点 P, Q ,过线段 PQ 的中点作

x 轴的垂线分别交 C1 、 C 2 于点 M , N 。证明: C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的
切线不平行。

第 4 页

新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题参考答案
(本大题共 小题, 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 选择题: ( ) 1 B 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 B 9 B 10 A 11 C 12 B

(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题: ( (13) ± 1 ) 、 (14) ) 、

t=0

(15) ) 、

1 ln 2 2

(16) ) 、

10

( 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题: (17) (本小题满分 10 分) 解:由题意知: f ( x) = x 2 (1 ? x) + t ( x + 1) = ? x 3 + x 2 + tx + t ,则

f ' ( x ) = ?3 x 2 + 2 x + t

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(3 分)

∵ f (x ) 在区间 (?1,1) 上是增函数,∴ f ' ( x) > 0 即 t > 3 x ? 2 x 在区间 (?1,1) 上是恒成立, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(5 分)

设 g ( x ) = 3 x 2 ? 2 x ,则 g ( x ) = 3( x ? ) ?
2

1 3

1 ,于是有 3

t > g ( x) max = g (?1) = 5
∴当 t > 5 时, f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8 分) 又当 t = 5 时, f ' ( x) = ?3 x + 2 x + 5 = ?3( x ? ) +
2 2

1 3

14 , 3

在 ( ?1,1) 上,有 f ' ( x) > 0 ,即 t = 5 时, f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上是增函数 当 t < 5 时,显然 f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上不是增函数 ∴t ≥ 5 (18) (本小题满分 12 分) 解: (1) f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx ? 3 ,依题意, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10 分)

?3a + 2b ? 3 = 0, f ' (1) = f ' (?1) = 0 ,即 ? 解得 a = 1, b = 0 ?3a ? 2b ? 3 = 0.
∴ f ' ( x ) = x 3 ? 3 x ,∴ f ' ( x) = 3 x 2 ? 3 = 3( x + 1)( x ? 1) 令 f ' ( x ) = 0 ,得 x = ?1, x = 1 若 x ∈ ( ?∞,?1) U (1,+∞ ) ,则 f ' ( x ) > 0 故 f ( x ) 在 ( ?∞,?1)和(1,+∞) 上是增函数;

┅┅ (3 分)

第 5 页

若 x ∈ (?1, ,则 f ' ( x ) < 0 1) 故 f (x ) 在 (?1,1) 上是减函数; 所以 f ( ?1) = 2 是极大值, f (1) = ?2 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (2)曲线方程为 y = x 3 ? 3 x ,点 A(0,16) 不在曲线上。 设切点为 M ( x0 , y 0 ) ,则 y 0 = x0 ? 3x0
3

(6 分)

由 f ' ( x0 ) = 3( x0 ? 1) 知,切线方程为
2

y ? y 0 = 3( x0 ? 1)( x ? x0 )
2 3

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(9 分)

又点 A(0,16) 在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3 x0 ) = 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x0 = ?8 ,解得 x0 = ?2
3

所以切点为 M ( ?2,?2) ,切线方程为 9 x ? y + 16 = 0 ┅┅┅┅┅┅ (12 分) (19) (本小题满分 14 分) 解: f ' ( x) = 12 x 3 ? 24 x 2 ? 12 x + 24 = 12( x + 1)( x ? 1)( x ? 2) 令 f ' ( x) = 0 ,得: x1 = ?1, x 2 = 1, x3 = 2 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表: ┅┅┅┅┅┅┅ (2 分)

x
f ' ( x) f ( x)

(0,1)

1
0
极大值

(1,2)
- 单调递减

2
0
极小值

(2,+∞)

+
单调递增

+
单调递增

∴极大值为 f (1) = 13 ,极小值为 f ( 2) = 8 又 f (0) = 0 ,故最小值为 0。 最大值与 a 有关: (1)当 a ∈ (0,1) 时, f ( x) 在 (0, a ) 上单调递增,故最大值为: ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (6 分)

f (a ) = 3a 4 ? 8a 3 ? 6a 2 + 24a
4 3 2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(8 分)

(2)由 f ( x) = 13 ,即: 3 x ? 8 x ? 6 x ? 24 x ? 13 = 0 ,得:

( x ? 1) 2 (3 x 2 ? 2 x ? 13) = 0 ,∴ x = 1 或 x =
又 x > 0 ,∴ x = 1 或 x = ∴当 a ∈ [1 ,

1 ± 2 10 3
(10 分)

1 + 2 10 3

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

1 + 2 10 ] 时,函数 f (x) 的最大值为: f (1) = 13 3

┅┅ (12 分)

第 6 页

(3)当 a ∈ (

1 + 2 10 ,+∞) 时,函数 f ( x) 的最大值为: 3
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (14 分)

f (a ) = 3a 4 ? 8a 3 ? 6a 2 + 24a
(20) (本小题满分 12 分)

解:设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,体积为 V ,则 由 h + r = R ,所以
2 2 2

V =

1 1 πr 2 h = π (R 3 3

2

? h 2 )h =

1 1 πR 2 h ? πh 3 , (0 < h < R ) 3 3
┅┅┅┅┅┅┅ (6 分)

∴V ' =

1 2 3 πR ? πh 2 ,令 V ' = 0 得 h = R 3 3

易知: h = ∴当 h = 把h =

3 R 是函数 V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。 3
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8 分)

3 R 时,容积最大。 3

3 6 R 代入 h 2 + r 2 = R 2 ,得 r = R 3 3 2 6 π 3
┅┅┅┅┅┅┅ (11 分)

由 R α = 2π r 得 α = 即圆心角 α =

2 6 π 时,容器的容积最大。 3

答:扇形圆心角 α =

2 6 π 时,容器的容积最大。 3

┅┅┅┅

(12 分)

(21) (本小题满分 12 分) 解:解方程组 ?

? y = kx ?y = x ? x
2

得:直线 y = kx 分抛物线 y = x ? x 2 的交点的横坐标为

x = 0和 x = 1? k

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(4 分)

抛物线 y = x ? x 2 与 x 轴所围成图形为面积为
1 1 1 1 S = ∫ ( x ? x 2 )dx = ( x 2 ? x 3 ) |1 = 0 0 2 3 6

┅┅┅┅┅

(6 分)

由题设得

S = 2
=



1? k

0

( x ? x 2 ) dx ? ∫

1? k

0

kx dx
(1 ? k ) 3 6



1? k

0

( x ? x 2 ? kx ) dx =

┅┅┅┅┅┅┅

(10 分)

第 7 页

又S =

3 1 1 4 3 ,所以 (1 ? k ) = ,从而得: k = 1 ? 6 2 2

┅┅┅┅┅ (12 分)

(22) (本小题满分 14 分) 解: (1) b = 2 时,函数 h( x ) = ln x ?

1 2 ax ? 2 x ,且 2

1 ax 2 + 2 x ? 1 h' ( x) = ? ax ? 2 = ? x x
∵函数 h(x ) 存在单调递减区间,∴ h' ( x ) < 0 有解。 ┅┅┅┅ 又∵ x > 0 ,∴ ax + 2 x ? 1 > 0 有 x > 0 的解。
2

(2 分)

① 当 a > 0 时, y = ax 2 + 2 x ? 1 为开口向上的抛物线, ax + 2 x ? 1 > 0 总有
2

x > 0 的解;

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(4 分)

② 当 a < 0 时, y = ax 2 + 2 x ? 1 为开口向下的抛物线,而 ax + 2 x ? 1 > 0 有

x > 0 的解,则 ? = 4a + 4 > 0 ,且方程 ax 2 + 2 x ? 1 = 0 至少有一正根,此时, ?1 < a < 0
综上所述, a 的取值范围为 ( ?1,0) U (0,+∞ ) 。 ┅┅┅┅┅┅┅ (7 分) (2)设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,且 0 < x1 < x 2 ,则 点 M , N 的横坐标为 x =

x1 + x 2 , 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 =

1 2 ; | x1 + x2 = x x= 2 x1 + x 2
x +x x= 1 2 2

C 2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 = (ax + b) |

=

a ( x1 + x 2 ) + b 。 ┅ (9 分) 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线平行,则 k1 = k 2 ,即

a ( x1 + x 2 ) 2 = +b x1 + x 2 2


2( x 2 ? x1 ) a 2 2 = ( x 2 ? x1 ) + b( x 2 ? x1 ) x1 + x 2 2
a 2 a 2 = ( x 2 + bx 2 ) ? ( x1 + bx1 ) = y 2 ? y1 = ln x 2 ? ln x1 2 2

第 8 页

x2 ? 1) x1 x2 所以 ln = x x1 1+ 2 x1 2(
设t =

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(11 分)

x2 2(t ? 1) ,则 ln t = ,t > 1, x1 1+ t
2(t ? 1) , t > 1 ,则 1+ t



令 h(t ) = ln t ?

1 4 (t ? 1) 2 h' (t ) = ? = t (1 + t ) 2 t (t + 1) 2
当 t > 1 时, h' (t ) > 0 ,所以 h(t ) 在 [1,+∞) 上单调递增。 故 h(t ) > h(1) = 0 ,从而 ln t >

2(t ? 1) 这与①矛盾,假设不成立, 1+ t
┅┅┅┅ (14 分)

∴ C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线不平行。

第 9 页


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