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优质课比赛——3.4基本不等式(第一课时)


心灵寄语 :机遇对每个人都是一样的,困难对每个人都是存在的,挫折对每个人都是不可避免的。只要 思想不滑坡,办法总比困难多;只要思想一滑坡,困难总比办法多。驾驭挫折,坚定信念,要有不屈不挠 的毅力,荣辱不惊的心态以及挑战困难的勇气,那样,壮丽的人生将更加多彩! 课题 3.4 基本不等式(1) 总课时数 课型 知识 目标 能力 目标 情感 目标 重点 难点 教学方法 新授课 编定人

审核人 执教时间 1.探索并了解基本不等式的证明过程; 2.了解基本不等式的代数及几何背景; 3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。 通过对基本不等式的探究,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对基本 不等式的应用,培养学生的推理论证能力及灵活运用数学知识、思想和方法提出问题、分析 问题和解决问题的能力。 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于 探索精神。 应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程。 基本不等式成立的条件及应用。 探究学习、学案导学 教 学 过 程 教学手段 投影仪、彩笔 师 生 活 动 学生立足问题,围绕目标, 借助教材进行自主学习,先 独立思考,归纳概括,尝试 知识建构,并提出自主学习 中的疑难问题。 体会数形结合思想。 对于自学遇见的疑难问题, 先小组合作探究, 自行解决, 个别组内不能解决的问题再 进行全班展示,最大限度地 扩大交流展示的面。 让学生直接回答, 黑板板演, 或借助多媒体投影,提高学 生的数学表达和交流能力。 5 分钟 问题 3、上式中 a , b 的范围能扩大吗?

学 习 目 标

一、自学质疑,交流展示 【探究】 :右图是在北京召开的第 24 界国际数学家 大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设 计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人 民热情好客。 现将图中的“风车”抽象成下图,

问题 1、比较大正方形的面积与 4 个直角三角形的面积,你能找到怎样的不 等关系?

问题 2、上式能否取到等号?什么时候取等号?

问题 4、你能给出证明吗?

1

心灵寄语 :机遇对每个人都是一样的,困难对每个人都是存在的,挫折对每个人都是不可避免的。只要 思想不滑坡,办法总比困难多;只要思想一滑坡,困难总比办法多。驾驭挫折,坚定信念,要有不屈不挠 的毅力,荣辱不惊的心态以及挑战困难的勇气,那样,壮丽的人生将更加多彩! 问题 5、如果用 a , b 去替换上述结论中的 a , b ,则 a , b 需要满足什么 条件? 代换方法

问题 6、替换之后能得到什么结论?什么时候取等号?

问题 7、你能给出证明吗?

其他同学要观察展示,思考 正误,主动质疑和补充,积 极评价, 大胆发表自己见解, 提出独到想法,促进课堂互 动生成。 注意步骤归纳。 7 分钟

二、把握关键,突出主题 基本不等式:

及时记录,强化记忆。 3 分钟

问题 8、上述公式主要用于解决最值问题,你能观察出它可以解决哪些式子 的最值问题?

问题 9、在求最值的过程中需要满足什么条件?

在倾听的基础上,引导学生 对“核心概念”再思考,鼓 励学生主动参与,引导学生 用精练的语言进行表达,逐 渐提高语言表达能力。

三、深化认识,加强理解 1、均值解释: 的 义是: , BC .过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE , , ,由图形可知两者间
ab 叫做正数 a , b 的
a?b 2



a?b 2

叫做正数 a , b 学生参阅教材,自主完成, 从不同角度归纳基本不等 式,加深对基本不等式的理 解。渗透数形结合的数学思 想。 10 分钟

.所以基本不等式 ab ?

也叫均值不等式,其代数意 。

2、几何解释:如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是 AB 上一点,
AC ? a ?b

D

连接 AD , BD .则圆的半经长为 半弦长 CD 等于 有怎样的不等关系?

A

O

C E

B

所以基本不等式的几何意义是: 3、公式变形:
a?b ?
a ?b ?

。 时等号成立) 时等号成立)

(当且仅当 (当且仅当

2

心灵寄语 :机遇对每个人都是一样的,困难对每个人都是存在的,挫折对每个人都是不可避免的。只要 思想不滑坡,办法总比困难多;只要思想一滑坡,困难总比办法多。驾驭挫折,坚定信念,要有不屈不挠 的毅力,荣辱不惊的心态以及挑战困难的勇气,那样,壮丽的人生将更加多彩! 四、互动探究,精讲点拨 第 1 关:小试牛刀 引入闯关游戏 判断下列推理是否正确: 分层完成,小组讨论,使学 生体会概念应用模式,学会 1 1 (1) 、若 a ? R ,则 a ? ? 2 a ? ? 2 ( ) 捕捉解题切入点,理解利用 a a 基本不等式求最值的条件 x ? (1 ? x ) 1 ? (2) 、若 0 ? x ? 1 ,则 x (1 ? x ) ? ( ) “正”“定”和“等” 、 。
2 2

*(3) 、若 0 ? x ? ? ,则由 sin x ?
sin x ? 4 sin x

4 sin x

? 2 sin x ?

4 sin x

? 4得

5 分钟 带*的题目为选做题目 共同探究,感受成果初步应 用.进一步强调利用不等式 ) 求最值的关键点: “正” “定” “等” 。 师生共同分析 5 分钟

的最小值是 4
a?b 2 ) ?(
2


18 2 ) ? 81
2



* (4) 若 a , b ? 0 且 a ? b ? 18 , a ? b ? ( 、 则



第 2 关:渐露锋芒 陶渊明打算用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菊花园,问这个矩形的 长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短篱笆是多少?

第 3 关:智慧闪光 陶渊明打算用一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菊花园,问这个矩形的 长、宽各为多少时,菊花园的面积最大,最大面积是多少?

学生分组讨论、纠正、争辩, 合作交流。引导学生体会基 本不等式的正用和逆用, 量化赋分。 7 分钟

五、归纳小结,反思提高 这节课学习了什么,有哪些方面的应用,应用的时候有什么限制条件?

多元联系、多元思考,发挥 学生的主观能动性,突出其 主体地位。 3 分钟

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心灵寄语 :机遇对每个人都是一样的,困难对每个人都是存在的,挫折对每个人都是不可避免的。只要 思想不滑坡,办法总比困难多;只要思想一滑坡,困难总比办法多。驾驭挫折,坚定信念,要有不屈不挠 的毅力,荣辱不惊的心态以及挑战困难的勇气,那样,壮丽的人生将更加多彩! 六、作业布置,课后延拓 (1)基本作业:课本 P100 习题 A 组 1、2 题 (2)拓展作业:请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何 解释,整理并相互交流. (3)探究作业:现有一台天平,两臂长不相等,其余均精确,有人说要用 它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次所称重量的 和的一半就是物体的真实重量.这种说法对吗?并说明你的结论. 七、自我评价表
自评 本节课的整体效果 个人预习效果 个人听课效果 个人踊跃发言 个人总体评价 个人存在问题 以后努力方向 A(优秀) B(良好) C(一般)

八、拓展资源 中科院院士田刚——离菲尔茨奖最近的中国人 在第 24 界国际数学家大会上,田刚成为中国内地第一个进行一个小时 大会报告的学者。12 年前,32 岁时他就出现在京都国际数学家大会上。 在 上一届菲尔茨奖评选中,田刚进入了最后一轮的角逐。虽然没能获奖,但 他是所有中国数学家中曾经最接近这一号称“数学诺贝尔奖”桂冠的人。在 许多人看来,他是天才。可他却说:“我的独特之处在于我不是天才。数学 家不需要天才,关键在于努力,在于有兴趣。” 44 岁的田刚,是国际公认的最杰出的微分几何学家。1998 年受聘为北 京大学第一批“长江学者”,2001 年当选为中国科学院院士,现任北京大学 教授及美国麻省理工学院讲座教授。可 1978 年报考大学时,这位日后的著 名数学家的第一志愿不是数学,而是物理。“当年想法很简单,我的母亲搞 数学研究,我不想再搞数学。”田刚说。南京大学数学系一位负责人认为他 不是天才,田刚在大学 4 年间居然做了上万道题,这种踏实的习惯一直伴 随着他。读书期间,田刚始终没有放弃自己的爱好:爬山。他说:“爬山的 特点就是不喜欢走回头路, 不达目的决不罢休。 登高的另一个好处是可以 ” 开拓人的视野。田刚追随张恭庆院士读北大,又追随菲尔茨奖获得者丘成 桐到了美国。两人都是在数学界最出色的导师。无论哪位导师都告诉田刚: 你要多读书,学会独立思考。 “我绝不鼓励学生像我一样,4 年做上万道习 题。”田刚强调: “但是有一个前提,必须踏实。 ” 培养兴趣,提升素养。 备注: 国际数学家大会是最高水平 的全球性数学科学学术会 议, 被誉为国际数学界的“奥 林匹克”。 大会颁发的菲尔茨 奖, 被誉为“数学领域的诺贝 尔奖”。

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