# 物理奥赛解题方法 第4节 等效法

2v0 sin θ g

1 2 gd arcsin 2 2 v0

a平 =

a 初 + a末 2

=

a+a+

(n ? 1)a 3an ? a (3n ? 1)a n = = 2 2n 2n
2 2

2 v B = v0 +

(3n ? 1)aL n

P P = F kx

P P = v1 s1 v 2 s 2

s1 1 v1 = × 20 = 10cm / s s2 2
1 2 1 2 ks 2 ? ks1 2 2

1 P 2 ? ( s 2 ? s12 ) 2 v1 s1

2 ( s 2 ? s12 ) 2 2 ? 12 = = 7 .5 s 2 s1v1 2 × 1 × 0 .2

r 的 2

1 M ，所以 7

m( M + ?M ) 8GmM = L2 7 L2 m?M GmM F2 = G = r r ( L ? ) 2 7( L ? ) 2 2 2 F1 = G

② ③

F = F1 ? F2 = GmM [

8 ? 7 L2

1 r 7( L ? ) 2 2

]

4 ，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程. 5

1 2 mv = mgL sin θ 2

1 2 mv1 = mgL1 sin θ 2

L v2 4 4 v, 所以 1 = 12 = ( ) 2 5 L v 5

1 2 1 2 1 2 16 mv ? mv1 = mv (1 ? ) 2 2 2 25 9 根据等效性有 f ( L1 + L) = ?E k 解得等效摩擦力 f = mg sin θ 41

41 L. 9

T ′ = 2π L ′ / g = 2π l sin α / g

1 1 1 ωl mgl (cos β ? cos α ) + mg (cos β ? cos α ) = m(ωl ) 2 + m( ) 2 2 2 2 2 1 2 对单摆，得 mgl 0 (cos β ? cos α ) = m(ωl 0 ) 2 5 联立两式求解，得 l 0 = l 6

l0 5l = 2π . g 6g

a = 0 .4 g

3 mg ，方向水平向右，现 3

G ′ = (mg ) 2 + (

3 2 3 mg ) 2 = mg 3 3 G′ 2 3 = g m 3

g ′R

1 2 1 2 mv0 = mg ′( R + R cos θ ) + mv B 2 2

v0 = 2( 3 + 1) gR

n

E =

E 1 ? V1 + E 2 ? V 2 + ? + E n ? V n = ? V1 + ? V 2 + ? + ? V n

∑E
i =1 n i =1

i

?Vi

∑V

i

E=

∑ E ?V
i =1 n i

n

i

=

∑ ?V
i =1

1 V

∑ Ei ?Vi = ∑ Ei
i =1 i =1

n

n

n ?Vi kq ?Vi =∑ 2 V V i =1 ri

i

q ，则有 V

E=∑
i =1 n

n

n k1 ρ?Vi k?q =∑ 2i 2 ri i =1 ri

i =1

k?qi kq 为带电球体在 q 所在点产生的场强，因而有 E = 2 ，方向从 O 指向 q. 2 ri R

G ′ （即为合外力）作用下的斜抛运动，而做斜抛运动的物体在其

mg Eq

v min = v0 cos θ =

Eqv0 (mg ) 2 + ( Eq) 2

ε ′ = I x1 ( R x1 + r ′), ε ′ = I x 2 = ( R x 2 + r ′), ε ′ = I x 3 ( R x3 + r ′)

① ② ③

R AB

R AB RCA ，并证 + RBC + RCA

Ra + Rb = (

R R + R AB RBC 1 1 + ) ?1 = AB CA R AB R AC + RBC R AB + RBC + RCA R R + RBC RCA 1 1 + ) ?1 = AB CA RCA R AB + RBC R AB + RBC + RCA R R + RBC RCA 1 1 ) ?1 = AB BC + RBC R AB + RCA R AB + RBC + RCA R AB RCA + RBC + RCA

Ra + Rc = (

Rb + Rc = (

R AB

Rb =

R AB

R AB RBC + RBC + RCA

Rc =

R AB

RBC R AC + RBC + RCA

4—12 甲

4—12 乙

4—12 丙

R PQ = (

1 1 1 + + ) ?1 = 4? 36 18 6

4 时，电路图可等效为 5

ε = BLV = (0.6 × 0.5 × 10) = 3V
RaE = 4?, REb = 1?, Rbc = 3?

R=r+

RaE ? ( REb + Rbc ) = 3? RaE + ( REb + Rbc )

ε
R

= 1A.

∴通过 aE 的电流为 I aE = 0.5 A 例 15 有一薄平凹透镜，凹面半径为 0.5m，玻璃的折射 率为 1.5，且在平面上镀一层反射层，如图 4—14 所示，在此 系统的左侧主轴上放一物 S，S 距系统 1.5m，问 S 成像于何处？ 解析 本题可等效为物点 S 先经薄平凹透镜成像，其像为 平面镜的物，平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物，根据 成像规律，逐次求出最终像的位置. 根据以上分析，首先考虑物 S 经平凹透镜的成像 S ′ ， 根据公式 图 4—14

1 1 1 + = ′ P1 P f 1

1 1 1 1 1 = (n ? 1)( ? ) = (1.5 ? 1)( ? ) = ?1(m ?1 ) f1 R R2 ? 0 .5 ∞

1 1 + = ?1 ′ 1.5 P1

′ P1 = ?0.6m

′ ′ P2 = ? P2 = ? P1 = 0.6m

1 1 1 1 ′ + = , 其中P3 = P2 = 0.6m, = ?1(m ?1 ) P3 P ′ f f 3

1 1 + = ?1 ′ P3 0.6

′ P3 = ?0.375m 成虚像于系统右侧 0.375m 处

1．半径为 R 的金属球与大地相连，距球心 L 处有一带 电量为+q 的点电荷如图 4—15 所示. 求 （1）球上感应电荷的总电量； （2）q 受到的库仑力. 2．如图 4—16 所示，设 图 4—15

R1 = 40?, R2 = 80?, R3 = 5?, R4 = 10?, R5 = 40?, R6 = 99? R7 = 101?, R8 = 20? ，求 AB 之间的电阻.

3．电路如图 4—17 所示， R1 = R3 = R4 = R5 = 3? 时， R2 = 1? ，求 AB 间的等效电 阻. 4．有 9 个电阻联成如图 4—18 电路，图中数字的单位是 ? ，求 PQ 两点间的等效电阻. 5．如图 4—19 所示电路，求 AB 两点间的等效电阻.

6．如图 4—20 所示，由 5 个电阻联成的网络，试求 AB 两点间的等效电阻. 7．由 7 个阻值均为 r 的电阻组成的网络元如图 4—21 甲所示.由这种网络元彼此连接形 成的无限梯形网络如图 4—21 乙所示.试求 P、Q 两点之间的等效电阻.

8．图 4—22 表示一交流电的电流随时间而变化的图像，此交流电流有效值是（ A． 5 2 A B． 5 A C． 3.5 2 A D． 3.5 A

9．磁流体发电机的示意图如图 4—23 所示，横截面为距形的管道长为 L，宽为 a，高为 b，上下两个侧面是绝缘体，相距为 a 的两个侧面是电阻可忽略的导体，此两导体侧面与负 载电阻 RL 相连.整个管道放在一个匀强磁场中，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于上下侧 面向上. 现有电离气体（正、负带电粒子）持续稳定的流经管道，为了使问题简化，设横截 面上各点流速相同. 已知流速与电离气体所受的压力成正比；且无论有无磁场存在时，都维 持管道两端电离气体的压强差皆为 p. 设无磁场存在时电离气体的流速为 v0 . 求有磁场存在 时流体发电机的电动势的大小 ε . 已知电离气体的平均电阻率为 ρ . 10．一匀质细导线圆环，总电阻为 R，半径为 a，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁 场，磁场以速率 K 均匀地随时间增强，环上的 A、D、C 三点位置对称. 电流计 G 连接 A、C 两点，如图 4—24 所示，若电流计内阻为 RG，求通过电流计的电流大小. 11．固定在匀强磁场中的正方形导线框 abcd，各边长为 L1， 其中 ab 是一端电阻为 R 的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽 略的铜线，磁场的磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，现有一 与 ab 段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝 PQ 架在导线框上， 如图 4—25 所示，以恒定的速度 v 从 ad 滑向 bc，当 PQ 滑过 1/3L 的距离时，通过 aP 段电阻丝的电流是多大？方向如何？ 12．如图 4—26 所示，一根长的薄导体平板沿 x 轴放置，板面位于水平位置，板的宽度 为 L，电阻可忽略不计，aebcfd 是圆弧形均匀导线，其电阻为 3R，圆弧所在的平面与 x 轴垂 直， 圆弧的两端 a 和 d 与导体板的两个侧面相接解， 并可在其上滑动. 圆弧 ae=eb=cf=fd= 1/8） （ 圆周长，圆弧 bc=（1/4）圆周长，一内阻 Rg=nR 的体积很小 的电压表位于圆弧的圆心 O 处，电压表的两端分别用电阻可 以忽略的直导线与 b 和 c 点相连，整个装置处在磁感应强度 为 B、方向竖直向上的匀强磁场中. 当导体板不动而圆弧导 线与电压表一起以恒定的速度 v 沿 x 轴方向平移运动 时 （1）求电压表的读数； 图 4—26 图 4—25

（2）求 e 点与 f 点的电势差（Ue－Rf）. 13．如图 4—27 所示，长为 2πa、电阻为 r 的均 匀细导线首尾相接形成一个半径为 a 的圆.现将电阻为 R 的电压表， 以及电阻可以忽略的导线， 按图 a 和图 b 所示的方式分别与圆的两点相连接. 这两点之间的弧线所对圆心角为θ.若在垂 直圆平面的方向上有均匀变化的匀强磁场，已知磁感应强度的变化率为 k，试问在图 a、b 两 种情形中，电压表的读数各为多少？ 14．一平凸透镜焦距为 f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它 2f 处，垂直于主轴主 置一高为 H 的物，其下端位于透镜的主轴上如图 4—28 所示. （1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实； （2）用计算法求出此像的位置和大小. 15．如图 4—29 所示，折射率 n=1.5 的全反射棱镜上方 6cm 处放置一物体 AB，棱镜直 角边长为 6cm， 棱镜右侧 10cm 处放置一焦距 f1=10cm 的凸透镜， 透镜右侧 15cm 处再放置一 焦距 f2=10cm 的凹透镜，求该光学系统成像的位置和放大率.

1． ?

R KRL2 q q, 2 L (L ? R 2 )2
9．

2．

120 ? 11

3． ?

7 3

4． ? 4

5． .5? 0

6． .4? 1

7． 1.32r

8．C

p p BL + Bv0 a ρa + R1 Lb

10．

3πa 2 K qRG + 2 R

11．

6 BL1v 11R

a向P

12． （1）

nR 2 Bav 3nR + 2 R

（2） ( 2 ?

2+

n +1 2 ) Bav 3n + 2

13．0,

2π 2 a 2 k sin θ r θ (2π ? θ ) + 4π 2 R

14． （1）图略 （2）距光心

2 1 f, H 3 3

15．凹透镜的右侧 10cm 处，放大率为 2