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2016高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系课件 理


随堂讲义
专题五 立体几何 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系

高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形 式:一是对命题真假的判断,通常以选择题、填空题的形 式考查,难度不大;二是在解答题中考查平行、垂直关系 的证明、常以柱体、锥体为载体,难度中档偏难,预测 2016年考查三视图与柱体、锥体的综合问题.

例 1

正三棱柱 A1B1C1AB C 中,点 D 是 BC 的中点,BC= 2BB1.设 B1D∩BC1 =F.

(1)求证:A1C∥平面 AB1D. (2)求证:BC1⊥平面 AB1D.

思路点拨 :可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关 系,第(1)问可利用 “线线平行”或 “面面平行”,第 (2)问可利 用“线线垂直”来证“线面垂直”. 解析:(1)连接 A1B,设 A1B 交 AB1 于 E,连接 DE,

∵点 D 是 BC 的中点,点 E 是 A1B 的中点, ∴DE∥A1C. ∵A1C?平面 AB1D,DE?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D.

(2)∵△ABC 是正三角形,点 D 是 BC 的中 点, ∴AD⊥BC. ∵平面 ABC⊥平面 B1BCC1, 平面 ABC∩平面 B1BCC1=BC, AD?平面 ABC, ∴AD⊥平面 B1BCC1. ∵BC1?平面 B1BCC1, ∴AD⊥BC1. ∵点 D 是 BC 中点,BC= 2BB1, 2 ∴BD= BB1. 2

BD CC1 2 ∵ = = ,∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1. BB1 BC 2 ∴∠BDB1=∠BC1C. ∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°. ∴BC1⊥B1D. ∵B1D∩AD=D, ∴BC1⊥平面 AB1D. 误区警示:不能正确找出 BC1⊥B1D 的方法,就会 导致出错或无法证明.

解决此类问题要注意线线平行(垂直)、 线面平行(垂 直)与面面平行(垂直)的相互转化.在解决线线平行、线 面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形 中再取中点,构成中位线进行证明.

1. 如图所示, 长方体 ABCDA1B1C1D1 中, 底面 A1B1C1D1 是正方形,O 是 BD 的中点,E 是棱 AA1 上任意一点. (1)证明:BD⊥EC1; (2)如果 AB=2,AE= 2,OE⊥EC1,求 AA1 的长.

解析:(1)连接 AC,A1C1. 由底面是正方形知,BD⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,所以 AA1⊥BD. 又 AA1∩AC=A, 所以 BD⊥平面 AA1C1C. 再由 EC1?平面 AA1C1C 知,BD⊥EC1.

(2)设 AA1 的长为 h,连接 OC1.在 Rt△OAE 中,AE= 2,AO= 2, 故 OE2=( 2)2+( 2)2=4. 在 Rt△EA1C1 中,A1E=h- 2,A1C1=2 2.
2 2 故 EC2 = (h - 2) + (2 2) . 1 2 2 在 Rt△OCC1 中,OC= 2,CC1=h,OC2 1=h +( 2) . 2 2 因为 OE⊥EC1, 所以 OE2+EC2 = OC , 即 4 + (h - 2) 1 1

+(2 2)2=h2+( 2)2,解得 h=3 2.所以 AA1 的长为 3 2.

例 2 如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2,AD =2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. (1)证明: ①EF∥A1D1; ②BA1⊥平面 B1C1EF. (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

解析:(1)①因为 C1B1∥A1D1, C1B1?平面 ADD1A1,所 以 C1B1∥平面 ADD1A1. 又因为平面 B1C1EF∩平面 ADD1A1=EF, 所以 C1B1∥EF.所以 A1D1∥EF. ②因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1, 所以 BB1⊥B1C1. 又因为 B1C1⊥B1A1, 所以 B1C1⊥平面 ABB1A1. 所以 B1C1⊥BA1. 在矩形 ABB1A1 中,F 是 AA1 的中点, 即 tan∠A1B1F=tan∠AA1B= 即∠A1B1F=∠AA1B. 故 BA1⊥B1F. 所以 BA1⊥平面 B1C1EF. 2 , 2

(2)设 BA1 与 B1F 交点为 H, 连接 C1H(如图). 由(1)知 BA1 ⊥平面 B1C1EF,所以∠BC1H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的 4 角.在矩形 ABB1A1 中,AB= 2,AA1=2,得 BH= .在 6 4 BH 30 Rt△BHC1 中, BC1=2 5, BH= , 得 sin∠BC1H= = . BC1 15 6 30 所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 . 15

要证明两平面垂直, 常根据“如果一个平面经过 另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直” .从解题 方法上说,由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间 可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线垂 直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行.

2. 如图, 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中, AA1=AB=a, F,F1 分别是 AC,A1C1 的中点.

求证:(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.

解析:(1)在正三棱柱 ABCA1B1C1 中, ∵F,F1 分别是 AC,A1C1 的中点, ∴B1F1∥BF,AF1∥C1F. ∴B1F1∥平面 BFC1,AF1∥平面 BFC1, 又∵B1F1 与 AF1 是两相交直线, ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF.

(2) 在 正 三 棱 柱 ABCA1B1C1 中 , AA1 ⊥ 平 面 A1B1C1, ∴B1F1⊥AA1.又 B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面 ACC1A1.而 B1F1?平面 AB1F1, ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.

例 3 如图, 直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB, CD=2AB=4,AD= 2,E 为 CD 的中点,将△BCE 沿 BE 折起,使得 CO⊥DE,其中点 O 在线段 DE 内.

(1)求证:CO⊥平面 ABED. (2)问:∠CEO(记为 θ)多大时, 三棱锥 CAOE 的体积最 大? 最大值为多少?

解析:(1) 在直角梯形 ABCD 中, CD=2AB,E 为 CD 的中点, 则 AB=DE,又 AB∥DE, AD⊥AB,知 BE⊥CD. 在四棱锥 CABED 中, BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E, CE,DE?平面 CDE,则 BE⊥平面 CDE. 因为 CO?平面 CDE,所以 BE⊥CO. 又 CO⊥DE, 且 BE,DE 是平面 ABED 内两条相交直 线, 故 CO⊥平面 ABED.

(2)由(1)知 CO⊥平面 ABED, 知三棱锥 CAOE 的体积 1 1 1 V= S△ AOE·OC= × ×OE×AD×OC. 3 3 2 由直角梯形 ABCD 中, CD=2AB=4,AD= 2,CE=2, 得三棱锥 CAOE 中, OE=CE· cos θ=2cos θ,OC =CE·sin θ=2sin θ, V= 当且仅当 sin 2 2 sin 2θ≤ , 3 3

? π π? ? 2θ=1, θ∈?0, ? , 即 θ = 时取等号(此 4 2? ? ?

时 OE= 2<DE,O 落在线段 DE 内). 2 故当 θ= 时,三棱锥 CAOE 的体积最大, 最大值为 . 4 3

π

(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后 的变化量和不变量, 一般情况下, 线段的长度是不变量, 而位置关系往往会发生变化, 抓住不变量是解决问题的 突破口. (2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形, 既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.

3.如图,四边形 ABCD 中(图 1),E 是 BC 的中点,DB =2,DC=1,BC= 5,AB=AD= 2.将图 1 沿直线 BD 折 起,使二面角 ABDC 为 60°(如图 2).

(1)求证:AE⊥平面 BDC; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.

解析:(1)如图取 BD 中点 M,连接 AM,ME.因 AB=AD = 2,∴AM⊥BD. 因 DB=2, DC=1,BC= 5满足:DB2+DC2=BC2, 所以△BCD 是 BC 为斜边的直角三角形,BD⊥DC, 因 E 是 BC 的中点,所以 ME 为△BCD 的中位线 ME 1 CD, 2

1 ∴ME⊥BD,ME= , 2 ∴∠AME 是二面角 ABDC 的平面角, ∴∠AME=60°. ∵AM⊥BD, ME⊥BD 且 AM、 ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线. ∴BD⊥平面 AEM, ∵AE?平面 AEM,∴BD⊥AE,

因 AB=AD= 2,DB=2,∴△ABD 为等腰直角三 1 角形,AM= BD=1, 2 1 AE = AM + ME - 2AM· ME· cos ∠ AME = 1 + - 4
2 2 2

1 3 3 2×1× ×cos 60°= ,∴AE= , 2 4 2 ∴AE2+ME2=1=AM2,∴AE⊥ME. ∵BD∩ME 于 M,BD?面 BDC,ME?面 BDC, ∴AE⊥平面 BDC.

(2)取 AD 中点 N,连接 MN,则 MN 是△ABD 的中位 线,MN∥AB,又 ME∥CD, 所以直线 AB 与 CD 所成角为 θ 等于 MN 与 ME 所成的 角, 即∠EMN 或其补角中较小之一. AE⊥面 BCD,DE?面 BCD, ∴AE⊥DE,N 为在 Rt△AED 斜边中点, 1 2 所以有 NE= AD= , 2 2 1 2 1 MN= AB= ,ME= , 2 2 2

∴cos θ=|cos 2 1 2 + - 4 4 4 2 = . 2 1 4 2× × 2 2

?MN2+ME2-NE2 ? ? ∠EMN|=? = ? ? 2MN·ME ? ?

(3)记点 B 到平面 ACD 的距离 d, 则三棱锥 BACD 的体积 1 VBACD= d· S△ACD, 3 又由(1)知 AE 是 ABCD 的高、BD⊥CD,
? 1 1 3 ? 3 ?1 ∴VBACD=VABCD= AE·S△BCD= × ×? ×2×1? = . ? 3 3 2 ?2 6 ?

E 为 BC 中点,AE⊥BC,∴AC=AB= 2,又 DC =1,AD= 2,△ACD 为等腰三角形, S


ACD

1 = × DC × 2 7 . 4

AD

2

?1 ?2 ? -? CD? ? ?2 ?

1 = ×1× 2

( 2)

2

?1? ?2 -? ?2? = ? ?

3 3× 6 2 21 3VBACD ∴B 到平面 ACD 的距离 d= = = . 7 S△ACD 7 4

例 4

如图所示,△ ABC 为正三角形, EC⊥平面

ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点. (1)求证:DE=DA; (2)求证:平面 BDM⊥平面 ECA; (3)求证:平面 DEA⊥平面 ECA.

思路点拨:(1)取 EC 的中点 F,连接 DF,证明 DE =DA,可以证明△DEF≌△ADB.(2)证明面面垂直的关 键 在于 寻找 平面内 一直 线垂 直于 另一 平面 .由 (1) 知 DM⊥EA,取 AC 中点 N,连接 MN,NB,易得四边形 MNBD 是矩形,从而证明 DM⊥平面 ECA.

证明:(1)如下图所示,取 EC 中点 F,连接 DF. ∵EC⊥平面 ABC,BD∥CE, ∴DB⊥平面 ABC. ∴DB⊥AB.EC⊥BC, 1 ∵BD∥CE,BD= CE=FC, 2 ∴四边形 FCBD 是矩形,∴DF⊥EC. 又 BA=BC=DF, ∴Rt△DEF≌Rt△ADB.∴DE=DA.

(2)取 AC 中点 N,连接 MN,NB, ∵M 是 EA 的中点,∴MN 由 BD 1 EC. 2

1 EC 且 BD⊥平面 ABC, 2

可得四边形 MNBD 是矩形,于是 DM⊥MN. ∵DE=DA,M 是 EA 的中点, ∴DM⊥EA,又 EA∩MN=M. ∴DM⊥平面 ECA,而 DM?平面 BDM. 则平面 BDM⊥平面 ECA. (3)∵DM⊥平面 ECA,DM?平面 DEA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA.

面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决.

4.如图所示,已知 AB⊥平面 ACD,DE∥AB,AD =AC=DE=2AB=2 且 F 是 CD 的中点.AF= 3. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE; (3)求直线 CE 与平面 ADEB 所成的角的正切值.

解析:(1)如图所示,取 CE 中点 P,连接 FP,BP.∵F 为 CD 的中点, 1 ∴FP∥DE 且 FP= DE. 2 1 又 AB∥DE 且 AB= DE, 2

∴AB∥FP 且 AB=FP ∴四边形 ABPF 为平行四边形,∴AF∥BP. 又 AF?平面 BCE,BP?平面 BCE , ∴AF∥平面 BCE.

(2)∵AD=AC,点 F 为 CD 中点,∴AF⊥CD. ∵AB⊥平面 ACD,DE∥AB, ∴DE⊥平面 ACD.又 AF?平面 ACD, ∴DE⊥AF. 又 AF⊥CD,CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. 又 BP∥AF,∴BP⊥平面 CDE. 又 BP?平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE. (3)∵AF= 3,AC=2,∴CD=2CF=2. ∴△ACD 为正三角形, 过 C 作 CG⊥AD 于点 G, 则G 为 AD 中点,连接 EG.

∵AB⊥平面 ACD,CG?平面 ACD,∴AB⊥ CG. ∵CG⊥AD,AB∩AD=A,∴CG⊥平面 ADEB. ∴CG⊥EG, ∠CEG 即为直线 CE 与平面 ADEB 所成的 角. 在 Rt△EDG 中,EG= DG2+ DE2= 12+22= 5. 在 Rt△CDG 中,CG= CD2- DG2= 22-12= 3. CG 3 15 在 Rt△CEG 中,tan∠ CEG= = = , GE 5 5 15 即直线 CE 与平面 ADEB 所成的角的正切值为 . 5

1.注重空间直线与平面平行的相互转化.

2.注重空间直线与平面垂直的相互转化.


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