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中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第15讲 立体几何中的有关证明


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数学高考综合能力题选讲 15

立体几何中的有关证明
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。 三垂线定理及其逆定理是重点考查的内 容。

梁丽平

范例选讲 例 1. 已知斜三棱柱 ABC-A’B’C’的底面是 C' 直角三角形,∠C=90°,侧棱与底面所成的角 为α(0°<α<90°),B’在底面上的射影 D 落 在 BC 上。 (1)求证:AC⊥面 BB’C’C。 (2)当α为何值时,AB’⊥BC’,且使得 D 恰为 BC 的中点。
C A' B'

A

讲解:(1)∵ B’D⊥面 ABC,AC ? 面 讲解 D B ABC, ∴ B’D⊥AC, 又 AC⊥BC,BC∩B’D=D, ∴ AC⊥面 BB’C’C。 (2)由三垂线定理知道:要使 AB’⊥BC’,需且只需 AB’在面 BB’C’C 内的 射影 B’C⊥BC’。即四边形 BB’C’C 为菱形。此时,BC=BB’。 因为 B’D⊥面 ABC,所以, ∠B' BD 就是侧棱 B’B 与底面 ABC 所成的角。 由 D 恰好落在 BC 上,且为 BC 的中点,所以,此时 ∠B' BD = 60° 。 即当α= 60° 时,AB’⊥BC’,且使得 D 恰为 BC 的中点。

已知四棱锥 P ? ABCD 中, 例 2. 如图: 底面四边形为正方形,侧面 PDC 为正三角 形,且平面 PDC⊥底面 ABCD,E 为 PC 中 点。 (1)求证:平面 EDB⊥平面 PBC; (2)求二面角 B ? DE ? C 的平面角的 正切值。
D

P

E

C B

讲解:(1)要证两个平面互相垂直, 讲解
A
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常规的想法是:证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。 首先观察图中已有的直线,不难发现,由于侧面 PDC 为正三角形,所以,
DE ⊥ PC ,那么我们自然想到:是否有 DE ⊥ 面PBC ?这样的想法一经产生,证

明它并不是一件困难的事情。 ∵ 面 PDC⊥底面 ABCD,交线为 DC, ∴ DE 在平面 ABCD 内的射影就是 DC。 在正方形 ABCD 中,DC⊥CB, ∴ DE⊥CB。 又 PC ∩ BC = C , PC , BC ? 面PBC , ∴ DE⊥ 面PBC 。 又 DE ? 面 EDB, ∴ 平面 EDB⊥平面 PBC。 ( 2) ( 1) 由 的证明可知: DE⊥ 面PBC 。 所以,∠BEC 就是二面角 B ? DE ? C 的平面角。 ∵ 面 PDC⊥底面 ABCD,交线为 DC, 又平面 ABCD 内的直线 CB⊥ DC。 ∴ CB⊥面 PDC。 又 PC ? 面 PDC, ∴ CB⊥PC。 BC 在 Rt ?ECB 中, tan ∠BEC = = 2。 CE

点评:求二面角的平面角,实际上是找到棱的一个垂面,事实上,这个垂面 同时垂直于二面角的两个半平面。

如图: 在四棱锥 S ? ABCD 中,SA ⊥ 例 3. , 2 AB = AD = 2a , CD = a , E 为 SB 的中点。 (1)求证: CE // 平面 SAD ; (2)当点 E 到平面 SCD 的距离为多少时, 平面 SBC 与平面 SAD 所成的二面角为 45° ? 平 面 ABCD , ∠ BAD = ∠ADC =

S

π

E

A D

题目中涉及到平面 SBC 与平面 SAD 讲解: 所成的二面角,所以,应作出这两个平面的交 线(即二面角的棱)。另一方面,要证 CE // 平 B 面 SAD , 应该设法证明 CE 平行于面 SAD 内的 一条直线,充分利用中点(中位线)的性质,不难发现,刚刚做出的二面角的棱 正好符合要求。
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C

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(1)延长 BC、AD 交于点 F。 在 ?FAB 中, BAD = ∠ADC = ∠

π


S H

2 所以,AB、CD 都与 AF 垂直,所以, CD//AB ,所以, ?CDF ∽ ?BAF 。又 AB = 2a , CD = a ,所以,点 D、C 分 别为线段 AF、BF 的中点。 又因为 E 为 SB 的中点,所以,EC 为 ?SBC 的中位线,所以,EC//SF。

E

A C B

D

F

又 EC ? 面SAD ,SF ? 面SAD ,所

以, CE // 平面 SAD 。 (2) 因为: ⊥平面 ABCD , ? 平面 ABCD , SA AB 所以, ⊥ SA 。 AB ⊥ AF, AB 又 AF ∩ SA = A ,所以,AB ⊥ 面 SAF 。 过 A 作 AH ⊥ SF 于 H,连 BH,则 BH ⊥ SF,所以, ∠BHA 就是平面 SBC 与 平面 SAD 所成的二面角的平面角。 在 Rt ?BHA 中,要使 ∠BHA = 45° ,需且只需 AH=AB= 2a 。 此时,在 ? SAF 中, SA =

SF ? AH = AF

SA 2 + (4a ) ? 2a 4 3 ,所以, SA = a。 4a 3
2

在三棱锥 S-ACD 中,设点 A 到面 SCD 的距离为 h,则 AD ? DC ? SA S ?ACD ? SA 14 AD ? SA AD ? SA 2 h= = = = = a SD ? CD 4 S ?SCD SD SA 2 + AD 2 2 因为 AB//DC,所以,AB//面 SCD。所以,点 A、B 到面 SCD 的距离相等。 又因为 E 为 SB 中点,所以,点 E 到平面 SCD 的距离就等于点 B 到面 SCD 距离 的一半,即

14 h = 。 2 8

点评:探索性的问题,有些采用先猜后证的方法,有些则是将问题进行等价 转化,在转化的过程中不断探求结论。

高考真题

1.(2002 年北京高考)如图:在多面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,上、下底面
平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相 交于 E、F 两点,上下底面矩形的长、宽分别为 c、d 与 a、b ,且 a > c, b > d ,
两底面间的距离为 h 。 (1)求侧面 ABB1 A1 与底面 ABCD 所成二面角的大小;
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(2)证明: EF // 面ABCD
(3)在估测该多面体的体积时,经常 运用近似公式 V估 = S中截面 ? h 来计算。已知 它 的 体 积 公 式 是
A1

E

F

D1
d c

C1 B1 C
b

h V = (S 上底面 + 4 S中截面 + S 下底面 ) 。 6
试判断 V估 与 V 的大小关系,并加以证

D

A B 明。 (注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面)
a

2.(1997 年 全 国 高 考 ) 如 图 , 在 正 方 体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E,F 分别是 BB1 , CD 的中
点. Ⅰ.证明 AD⊥ D1 F ; Ⅱ.求 AE 与 D1 F 所成的角; Ⅲ.证明面 AED⊥面 A1 FD1 ; Ⅳ.设 AA1 =2,求三棱锥 F ? A1 ED1 的体积
V F ? A1ED1
A1

D1 B1

C1

E

D F A B

C

[答案与提示: (1) 1. arctan

2h ; (3) 估 < V 。 V b?d

2. (2) ?; 4) F ? A1ED1 =1。 90 ( V ]

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