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数值分析试卷(2014-1-1)


数值分析(开卷,14/1/2014)
(研究生,江浦校区)

学院:_______ 姓名:__________ 学号:____________
1. (10 分) 求函数 f ( x) ? sin x 在区间[-1, 1]上 Legendre 多项式 的最佳平方逼近。

2. (15 分)在求解线性代数方程组
5 ? ? x1 ? ? ?5 7 6 ?x ? ? ?7 10 8 7 ? ? ?? 2? ? ? ? 6 8 10 9 ? ? x3 ? ? ? ?? ? ? ? 5 7 9 100 ? ? x4 ? ? ? 1 2 1 ? ? ?, ? ? 2? ?

时,如果采用四位有效数字进行计算,无论采用什么算法计算,我们发现误差都 很大, 请通过数值分析的方法分析导致误差很大的原因?有关解的精度能否改善, 请说明你的方案。

3. (15 分) 如果在区间[0, 1]上, 用次数不高于 3 次的多项式 p( x) 对函数 f ( x) ? sin x 进行插值, 误差界是多少?如果要求误差界降低一半,问可以采用哪些简单易行 的方法,并验证你的方法?

4.(15 分)用 Newton 迭代法求方程 sin x ? 6 x2 ? e? x ? 0 在区间(0,1)内的解, 选择你认为合适的初始点,计算方程的根,使得近似解的相对误差不超过 10?2 。 请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

5.(15 分)用 SOR 迭代法解方程组
?3 ? 1 0 ? ? x1 ? ?1 ? ?1 6 ? 2? ? x ? ? ?? 4? ? ?? 2 ? ? ? ? ? 0 ? 3 8 ? ?? ?0 ? ? ? x3 ? ? ?

对于你所给定的初始值,估计精度达到 10?3 需要的迭代次数,并实际计算之。计 算该迭代的渐进收敛速度。并比较松弛因子 时迭代次数的差别。

6. (10 分)应用修正的 Newton 方法解非线性方程组

?x ? ?sin(4? x1 x 2) ? 2 x 2 1 0 ? ?? 4? ? 1 ? 2 x1 2 ?? 4? ? (e ? e) ? 4ex2 ? 2ex1 ? 0 ? ??
取 [0,0]T 作为初始值,终止容限 ? ? 10?2 。

7.(10 分) 给定数据 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1

102.6 113.2

130.1 142.1 167.5 195.1 224.8 256.7 299.5 326.7

(1) 构造至少三次的多项式进行拟合,并计算误差; (2) 构造形如 的函数对上述数据拟合,并计算误差。

8. (10 分)用复合 Simpson 公式计算积分
I( f ) ? ?
2 0

1 dx x?4

讨论在误差要求不超过 10?3 的条件下的步长,并比较实际计算结果与精确结果。


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