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三角函数的诱导公式课件


一.复习回顾

任意角三角函数的定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么:
(1)正弦sinα= (2)余弦cosα=

y
P(x,y)

y

x
O

(3)正切tanα=

y x

/>x

终边相同的角的同一三角函数值相等
(公式一)

sin( ? ? 2k? ) ? sin ? (k ? Z )

cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z )

tan( ? ? 2k? ) ? tan ? (k ? Z )

学习目标
(1)能够借助三角函数的定义推导三角 函数的诱导公式。 (2)能够运用诱导公式,把任意角的三角 函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数 的化简、求值问题。

问题探究一
1.角 -α与α的终边 有何位置关系? 2.角? -α与α的终边 有何位置关系? 3.角? +α与α的终边 有何位置关系? 4.已知任意角α的终边与单位圆相交于点p, 请同学们思考回答点p关于原点、x轴、y轴 对称的三个点的坐标是什么?

探究1
r ?1
sin ? ? y cos? ? x y tan ? ? x

形如 ? ? ? 的三角函数值与 ? 的三角函数值之间 的关系
? ??
?

sin(? ? ? ) ? ? y cos(? ? ? ) ? ? x
?y y tan(? ? ? ) ? ? ?x x

sin(? ? ? ) ? ? sin ?

公式二

cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan(? ? ? ) ? tan ?

公式一:
sin( ? ? k ? 2? ) ? sin? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan(? ? k ? 2? ) ? tan? (k ? Z )

公式二: sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan?
公式四:
sin( ? ? ?) ? sin? cos(? ? ?) ? ? cos? tan(? ? ? ) ? ? tan?

公式三:

sin( ? ? ) ? ? sin? cos(? ? ) ? cos? tan(? ? ) ? ? tan?

三.发现规律:
2k? ? ? (k ? z )、??、 ? ? ? 的三角函数值, 等于? 的同名三角函数值前面加上把 ? 看作 锐角时原函数值的符号。

简记为“函数名不变,符号看象限”

2 (1) cos225? ? cos(180? ? 45?) ? ? cos 45 ? ? ? 2 11? ? ? ? sin ? ? ? 3 ( 2) sin ? sin( 4? ? ) 3 2 3 3
? 3 16 ? ? 16? ? ? sin( 5? ? ) ? ? ( ? sin ) ? (3) sin( ? ) ? ? sin 3 3 2 3 3

例1.求下列三角函数值

四.例题分析

(4) cos(?2040 ?) ? cos 2040 ? ? cos(5 ? 360? ? 240?)

? cos(180? ? 60?) 1 ? ? cos 60 ? ? ? 2

? cos 240 ?

小结
1、通过例题,你能说说诱导公式的作用以及化任 意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路吗?
任意负角的 三角函数 用公式

三或一

任意正角的 三角函数 用公式一

锐角的三 角函数

用公式 二或四

0 ~ 2? 的
三角函数

负化正,大化小,化到锐角为终了。
上述过程体现了由未知到已知的化归与转化 的思想。

练习反馈
填写下表

?
sin ?

? ? 3
3 ? 2

2? 3

4? 3
3 ? 2

cos?

1 2

1 ? 2

3 2

5? 3
3 ? 2

7? 3
3 2

1 ? 2

1 2

1 2

cos(180 ? ? ) ? sin(? ? 360 ) 例2 化简: 0 0 sin(?? ? 180 ) ? cos(?180 ? ? )
0 0

练习反馈

(1)已知: tan ? ? 3, 求 2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 的值. 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? )
3 (2)已知cos( +? )= , 6 3 5? 求cos( -? )的值. 6

?

问题探究二

已知任意角? 的终边与单位圆相交于点P?x,y ? , 请同学们思考回答点 P 关于直线 y ? x 对称的 点的坐标是什么?

y 1

P′(y,x)

-1 0 -1

?

P(x,y) 1 x

公 式 五: π sin( ?α )? cos α , 2 π cos( ?α )? sin α . 2

公 式六: π sin( ?α )? cos α , 2 π cos( ?α )? ?sin α . 2

总结:
π 函数 1. ?α 的正弦(余弦) 2 值,分别等于 α 的余弦 (正弦) 函数值,前面加上一个 把α 看 成锐角时原函数值的符 号。

2.公式五,六口诀: 函数名改变,符号看象限;

例题与练习
3π 例 3、 证 明 : ( 1) in( s ?α )? ?cos α ; 2 3π (2)cos( ?α )? ?sin α . 2 3π (3) sin( ?α )? ?cos α , 2 3π (4) cos( ?α )? sin α . 2

诱导公式记忆 口诀:

奇变偶不变 符号看象限
?

1 、奇偶指的是 k ? 中 k 的奇偶 注意: 2

k? ?? 2

2 .? 看成锐角,原函数值的符号

练习. 教材P.28练习第7题.

化简: ?? ? cos? ? ? ? 2? ? (1) ? sin(? ? 2? ) ? cos(2? ? ? ); ? 5? ? sin? ?? ? ? 2 ? o tan( 360 ? ? ) 2 ( 2) cos ( ?? ) ? . sin( ?? )

小结

①三角函数的简化过程图:

任意负 角的三 角函数

公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
0o~90o间 角的三角 函数

②三角函数的简化过程口诀: ? 负化正,正化小,化到锐角就行了
?



诱导公式记忆口诀: 奇变偶不变 符号看象限

例题与练习
例5 化简

sin[(k ? 1)? ? ? ] ? cos[(k ? 1)? ? ? ] (k ? Z ) sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? )
3 4

练习1 求sin(2n?+2?/3)· cos(n?+4?/3)的值(n?Z)
当n为奇数时,
3 当n为偶数时, 4

2 化简 cos[(4n+1)?/4+x]+ cos[(4n-1)?/4-x]
当n为奇数时,原式=-2cos(?/4+x) 当n为偶数时,原式=2cos(?/4+x)

作业


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