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【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测11 函数与方程]


课时限时检测(十一) 函数与方程
[对应学生用书第205页] (时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 基础 稍难 3 零点的个数问题 1 零点所在的区间问题 2 零点与方程的关系 10 6 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. (2014· 烟台模拟)已知函数 f(x)=3x+3x-8, 用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,3)

内近似解的过程中,取区间中点 x0=2,那么下一个有根区间为( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(1,2)或(2,3)都可以 D.不能确定 【解析】 ∵f(1)=-2<0,f(2)=7>0,f(3)=28>0. ∴f(1)· f(2)<0, ∴下一个有根区间在(1,2)内. 【答案】 A 2.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( ) 1 A.0,2 B.0, 2 1 1 C.0,- D.2,- 2 2 【解析】 由题意知 2a+b=0,即 b=-2a. a 1 令 g(x)=bx2-ax=0 得 x=0 或 x= =- ,故选 C. b 2 【答案】 C 1 3.(2014· 淄博五中质检)函数 f(x)=log2x- x+2 的零点个数为( ) 2 A.0 B.1 C.3 D.2 1 【解析】 转化为 y=log2x 与 y= x-2 两函数图象的交点的个数,做图象如下: 2 考查知识点及角度 题号及难度 中档 7 8 12 4,5,9,11

图象有两个交点,因此函数零点个数为 2 个. 【答案】 D 1?x 1 ?1?x 4.(2014· 桂林模拟)设方程 log4x-? ?4? =0,log4x-?4? =0 的根分别为 x1、x2,则( A.0<x1x2<1 B.x1x2=1 C.1<x1x2<2 D.x1x2≥2

)

1?x 1 【解析】 在同一坐标系内画出函数 y=? ?4? ,y=log4x,y=log4x 的图象,如图所示, 则 x1>1>x2>0, 1? 1 ?1? ?1? ?1? 由 log4x1=? ?4?x1,log4x2=?4?x2 得 log4x1x2=?4?x1-?4?x2<0, ∴0<x1x2<1,故选 A. 【答案】 A 1?|x-1| 5.(2014· 广州模拟)函数 f(x)=? ) ?2? +2cos πx(-2≤x≤4)的所有零点之和等于( A.2 B.4 C.6 D.8 1?|x-1| 【解析】 由 f(x)=? ?2? +2cos πx=0, 1?|x-1| 得? ?2? =-2cos πx, 1?|x-1| 令 g(x)=? ?2? (-2≤x≤4), h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4), ??1?x-1 1?|x-1| ??2? ,1≤x≤4, ? 又因为 g(x)=?2? =? ?2x-1, -2≤x<1. ? 1?|x-1| 在同一坐标系中分别作出函数 g(x)=? ?2? (-2≤x≤4)和 h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4) 的图象(如图),

1?|x-1| 由图象可知,函数 g(x)=? ?2? 关于 x=1 对称, 1? |x - 1| 又 x= 1 也是函数 h(x)=- 2cos πx(- 2≤x≤4) 的对称轴,所以函数 g(x)=? ?2? (- 2≤x≤4)和 h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的交点也关于 x=1 对称,且两函数共有 6 个交点, 所以所有零点之和为 6. 【答案】 C x,0≤x≤1, ? ? 6.(2014· 济南模拟)设函数 f(x)的定义域为 R,f(x)=??1?x 且对任意的 ??2? -1,-1≤x<0. ? x∈R 都有 f(x+1)=f(x-1),若在区间[-1,3]上函数 g(x)=f(x)-mx-m 恰有四个不同零点, 则实数 m 的取值范围是( ) 1 1? ? A.? B.? ?0,2? ?0,4?

1? C.? ?0,2?

1? D.? ?0,4?

【解析】 由 f(x+1)=f(x-1)得 f(x+2)=f(x),则函数 f(x)的周期为 2,从而函数 f(x)在 区间[-1,3]上的图象如图所示:

令 u(x)=mx+m=m(x+1), 当 m=0 时,g(x)=f(x)有两个零点,不合题意, 当 m≠0 时,直线恒过定点(-1,0). 1 1 0, ?. 当直线过点 A(3,1)时,m= ,故 m∈? ? 4? 4 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=ax 与函数 y=x+a 交点的个数,由函数 的图象如图所示,可知 a>1 时两函数图象有两个交点,0<a<1 时两函数图象有唯一交点, 故 a>1.

【答案】 (1,+∞) 8.已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N+,则 n=________. 【解析】 ∵2<a<3<b<4,当 x=2 时, f(2)=loga2+2-b<0; 当 x=3 时,f(3)=loga3+3-b>0, ∴f(x)的零点 x0 在区间(2,3)内,∴n=2. 【答案】 2 9. (2014· 兰州模拟)若函数 y=f(x)(x∈R) 满足 f(x+2)=f(x)且 x∈[-1,1]时, f(x)=1-x2; 函数 g(x)=lg|x|, 则函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数共有________个. 【解析】 函数 y=f(x)以 2 为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知有 8 个交点.

【答案】 8 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围.并求出 该零点. 【解】 ∵f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点, x 2 x 即方程(2 ) +m· 2 +1=0 仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0 时,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去). ∴2x=1,x=0 符合题意.

当 Δ>0 时,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 11.(12 分)已知二次函数 f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a: (1)判断命题: “对于任意的 a∈R, 方程 f(x)=1 必有实数根”的真假, 并写出判断过程; 1? ? (2)若 y=f(x)在区间(-1,0)及?0,2?内各有一个零点,求实数 a 的范围. 【解】 (1)“对于任意的 a∈R,方程 f(x)=1 必有实数根”是真命题; 依题意:f(x)=1 有实根,即 x2+(2a-1)x-2a=0 有实根 ∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0 对于任意的 a∈R 恒成立, 即 x2+(2a-1)x-2a=0 必有实根,从而 f(x)=1 必有实根. 1? (2)依题意:要使 y=f(x)在区间(-1,0)及? ?0,2?内各有一个零点 f?-1?>0, ? ?f?0?<0, 只须? 1? ?f? ? ?2?>0, 1 3 解得: <a< . 2 4
? 1 3 ? ? 故实数 a 的取值范围为?a? ?2<a<4 . ? ?

3-4a>0, ? ?1-2a<0, 即? -a>0, ?3 ? 4

12. (13 分)(2014· 郑州模拟)已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数, 当 x∈[0, +∞)时, f(x) 2 =x -2x. (1)写出函数 y=f(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围. 【解】 (1)当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞). ∵y=f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)] =-x2-2x, ?x2-2x,x≥0, ? ∴f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0. ? (2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1, 最小值为-1; 当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为 1. ∴据此可作出函数 y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同 的解,则 a 的取值范围是(-1,1).


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