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课件- 数列 通项公式的求法


数列的通项公式的求法

温故知新:
1.等差数列定义: an ? an?1 ? d (n ? 2)
2.等差数列通项:
an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d (m,n ? N? )
(a1 ? an )n ( n ? 1)n Sn ? ? na1 ? d 2 2

3

.等差数列求和公式:

an 4.等比数列定义: a ? q( n ? 2) n ?1

5.等比数列通项: an ? a1q ? amq
n-1

n? m

(m,n ? N )

?

? na1 , 当q ? 1时 ? 6.等比数列求和公式: Sn ? ? a1 (1 ? q n ) , 当q ? 1时 ? ? 1?1

定义法
例1:已知数列{an}的首项a1=1,且 an+1-an=2 求数列的通项公式
分析:后项减前项为一常数,由定义法可求通 项公式

1 1 ? =1 变式:已知数列{an}的首项a1=1,且 an a n ? 1
求数列的通项公式

叠加(叠乘)法
例2:已知数列{an}的首项a1=1,且 an+1-an=2n 求数列的通项公式
分析:an+1-an=2n(非常数)

叠加法

变式:已知数列{an}的首项a1=1,且 an+1=2n·n a 求数列的通项公式

an ? 1 n 分析: ? 2 (不是常数) an

(累乘法)

答案:an ? 2

n2 ? n 2

小结提升

利用递推关系求数列通项常用的方法有:
(1)定义法:
如 : an ? an ? 1 an ? 常数, ? 常数 an ? 1

(2)累加(乘)法:
如 : an ? an ? 1 an ? f ( n); ? f ( n) an ? 1

构造法

a 例3、已知数列{an}的首项a1=3,且 n+1=4an-6 求数列的通项公式

变式:已知数列{an}的首项a1=1,且an+1=2an+1 求数列的通项公式

构造法
变式:已知数列{an}的首项a1=1,且an+1=2an+1 求数列的通项公式 发现: an+1+1=2an+1+1 即:an+1+1=2(an+1)
an ? 1 ? 1 ? ?2 an ? 1

bn? 1 ?2 令 bn=an+1, 则bn+1=an+1+1 即 bn
这说明数列{bn}是b1 =a1+1=2 为首项, 以2为公比得等比数列,
∴ bn= 2·

2

n-1

即:an+1=2n ∴ an=2n-1.

例题讲解

思考:构造法的关键步骤是什么?
待定系数法

构造法
2an 2 例4 :已知?an ? 是首项a1 ? , an?1 ? (n ? N ?) 3 an ? 1 ?1 ? 求证 ? ? 1? 是等比数列,并求an的通项公式。 ? an ?

变式:在数列?an ?中,a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1, (1)证明数列?an ? n? 是等比数列; (2)求数列?an ?的通项公式

课堂小结

an 如 : a n ? a n ?1 ? 常数; ? 常数 (1)定义法: a n ?1

利用递推关系求数列通项常用的方法有:

an (2)累加(乘)法: 如 : a n ? a n ?1 ? f (n ); ? f (n ) a n ?1
(A ? 0, A ? 1, B ? 0)

(3)构造法: 形如 : an ? Aa n ?1 ? B(通常用待定参数法构造 )

例题讲解
例5、 已知数列 n }的前n项和为S n, 且a1 ? 1, a n ?1 {a n?2 ? Sn , n

Sn 证明:( 1 数列 }是等比数列;( 2) 求数列 n }的通项公式 ) { {a n

课堂作业
1.已知正项数列 ?an ? 满足递推关系 S
n

试求数列 ?an ? 的通项

1 ? (an ? 1)( an ? 3), 4

an .
a1 ? 1,
2 n ?1

a.已知数列 a ? , n ? 0, ? 中 2
n

且满足关系式: (n ? 1)a

? 的通项an . 求数列 an ?

? na n ? an ?1 ? an ? 0,
2


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