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2012届高三湖北省第一次八校联考数学(理)试卷


2012 届高三第一次八校联考数学(理科)试题
一、选择题 1.设 U ? {x ? N | x ? 20} , A ? {x ? N | x 是偶数}, B ? {x ? N | x 是质数},则 CU ( A ? B) ? A. ? 2.已知 tan x ? cos( A.
5 ?1 2
x

B.{1}

>C.{1, 9, 15}

D.{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

?
2

? x) ,则 sin x ?

B. ?1

C.0

D.1

3.函数 f ( x) ?

3 的值域为 3 ?3 A. (??,?1) B. (?1,0) ? (0,??)

C. (?1,??)

D. (??,?1) ? (0,??)

4.设 {an } 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“数列 {an } 是递减数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.函数 y ? 2 sin( x ? ) 的部分图象如右图所示,则 (OA ? OB) ? AB ? 4 2 A.6 C. ?4 6. B.4 D. ?6

?

?

?

3 2 0

9 ? 4 x 2 dx 可看作成

A.半径为 3 的圆的面积的二分之一 C.半径为 3 的圆的面积的四分之一 7.设 P 是椭圆

B.半径为 D.半径为

3 的圆的面积的二分之一 2 3 的圆的面积的四分之一 2

x2 y2 ? ? 1 上一点,M、N 分别是两圆 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 与 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 上的点,则 25 9 | PM | ? | PN | 的最小值,最大值分别为

A.3,7

B.4,8

C.8,12

D.10,12

8.已知命题 p1 :函数 y ? m x ? m ? x (m ? 0 且 m ? 1) 在 R 上为增函数,命题 p2 : ac ? 0 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根的充分不必要条件,则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : p1 ? (?p2 ) , q4 : (?p1 ) ? (?p2 ) 中真命题 的个数为 A.0

B.1

C.2

D.3

5 9.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x) ? f (5 ? x) ,且 ( ? x) f ' ( x) ? 0 ,已知 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则 2

A. f ( x1 ) ? f ( x2 )

B. f ( x1 ) ? f ( x2 )

C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

10. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足: 对于任意的 x, y ?R, 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2011。 且当 x ? 0 时, 有 f ( x) ? 2011,设 M、N 分别为 f (x) 在 [?2012,2012] 上的最大值与最小值,则 M ? N 起来 A.4022 二、填空题 必做题 B.4024 C.2011 D.2012

1

11.已知 x ?

1 1 ,则函数 y ? x ? 的最大值为____________。 2x ? 1 2

tan A 5 12.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c,且 a cos B ? b cos A ? c ,则 ? _________。 7 tan B

13.若函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? ax ? 5)(a ? 0 且 a ? 1) 满足对任意的 x1, x2,当 x1 ? x2 ? 则实数 a 的取值范围为__________。

a 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 2

14.直线 (2m ? 1) x ? (3m ? 2) y ? 1 ? 5m ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 16 截得弦长的最小值为________。 选做题: (二选一) 15.①在极坐标中,已知 A、B 的极坐标分别为 (4, ), (3, ) ,则△AOB 的面积为_________。 3 4 ②过半径为 1 的圆外一点引圆的切线,若切线长等于圆的直径,则该点到圆上的点的距离的最大值为 _______。 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知 ? 、 x ?R,命题 p :对任意 x ? R ,有 x ? 3x ? 2 ? 0 ;命题 q:存在实数 ? ,使得 a ? ? b ,
2

?

?

则a ∥b 。 (1)写出 p 的否定,判断真假并说明理由; (2)写出 q 的否命题,判断真假,并说明理由。 17. (本小题满分 12 分) 已知幂函数 f ( x) ? (n 2 ? 2n ? 1) x n
g ( x) ? f (sin x ? cos x) ? 2 3 cos2 x 。
2

?2

在 (0,??) 上是增函数, a ? (sin ? ,?2) , b ? (1, co? ) ,

(1)当 a ? b ,求 g (? ) 的值; (2)求 g (x) 的最值以及 g (x) 取最值时 x 的取值集合。 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 S n ? n 2 an ? n 2 (n ? 1) ,且 a1 ? (1)令 bn ?
n ?1 S n ,确定 bn 与 bn?1 (n ? 2) 的关系; n 1 。 2

(2)求 {an } 的通项。 19. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? x loga x ? (1 ? x) loga (1 ? x)(a ? 1) (1)判断 f (x) 的单调性; (2)已知 m ? n ? 4 ,且 m ? 0 , n ? 0 ,求 m log4 m ? n log4 n 的最小值。 20. (本小题满分 13 分) 已知 F 是双曲线
x2 y2 过 且与渐进线也不平行的直线 l, ? ? 1 的一个焦点, F 作一条与坐标轴不垂直, 16 9
2

交双曲线 A,B 两点,线段 AB 的中垂线 l ' 交 x 轴于 M 点。 (1)设 F 为右焦点,l 的斜率为 1,求 l ' 的方程; | AB | (2)试判断 是否为定值,说明理由。 | FM | 21. (本小题满分 14 分)
4x ? a 的单调递增区间为[m, n]。 1 ? x2 (1)求证 f (m) f (n) ? ?4 ; (2)当 n ? m 取最小值时,点 P(x1, y1), Q(x2, y2)(a<x1<x2<n)是函数 f (x) 图象上的两点,若存在 x0 使得

已知函数 f ( x) ?

f ' ( x0 ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求证 x1 ?| x0 |? x2 。 x2 ? x1

八校联考参考答案
命题:湖北省荆州中学 审题:湖北省荆州中学
一、选择题 1 C 二、填空题 11. 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 C 8 B 9 B 10 A

刘学勇 朱代文 刘荣显

1 - 2 2
3( 6 ? 2) 2

12. 6

13. 1 ? a ? 2 5

14. 2 14

15. ①



5 ?1

三、解答题 16.(1) p 的否定:存在实数 x ,使得 x ? 3x ? 2 ? 0 ,? x ? 1 时 x ? 3x ? 2 ? 0 ,? 命题 p 的否定是
2 2

真命题。

(6 分)

? ? ? ? (2) q 的否命题: ?? ? R ,都有 a ? ? b ,则 a 与 b 不平行, q 的否命题是假命题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? 0, b ? 0 时, ?? ? R , a ? ? b ,但是 a ∥ b .………………
(12 分)

17. (1)依题设得 n ? 2, f ( x) ? x .
2

? ? ? a ? b ,? tan ? ? 2 , g (? ) ? 2sin ? cos ? ? 2 3 cos 2 ? ? 1
(6 分)

?

2 tan ? ? 2 3 9?2 3 ?1 ? 2 1 ? tan ? 5

3

(2) g ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 1 ? 2sin(2 x ?
2

?
3

) ? 3 ?1

? g ( x) 的最大值为 3 ? 3 ,此时 x ?{x | x ? k? ?
此时 x ?{x | x ? k? ?

?
12

, k ? Z } , g ( x) 的最大值为 3 ? 1 ,
(12 分)

5? , k ? Z} 。 12
2

18.(1)当 n ? 2 时,有 an ? Sn ? Sn ?1. ? Sn ? n ( Sn ? Sn ?1 ) ? n (n ? 1)
2

即 (n ? 1) Sn ? n Sn ?1 ? n (n ? 1) ,? bn ?
2 2 2

n ?1 n Sn ? Sn ? bn 从而 bn ? bn ?1 ? n 。 n n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1) (2)由(1)知 bn ? b1 ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? ?1. b1 ? 2S1 ? 1,? bn ? 2 2
? S1 , n ?1 n n n(n ? 1) n 2 2n ? 1 , 而 an ? ? ,? an ? 。 bn ? ? ? n ?1 n ?1 2 2 2 ? Sn ? Sn ?1. n ? 2

(6 分)

∴ Sn ?

(12 分)

x 1 1 x ; ? 0 得 x ? . ∵ a ? 1 ,∴当 0 ? x ? 时, 0 ? ? 1,   f ?( x ) ? 0  ∴ 1? x 1? x 2 2 1 1 1 同理,当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0. ? f ( x) 在 (0, ) 上递减,在 ( ,1) 上递增。 (6 分) 2 2 2 1 1 1 (2)由(1)知, f ( x) 在 x ? 处取最小值, f min ? f ( ) ? log a . 2 2 2
19.(1)由 f ?( x) ? log a 令 m ? 4m1 , n ? 4n1 ,则 m1 ? n1 ? 1. m log 4 m ? n log 4 n ? 4m1 log 4 4m1 ? 4n1 log 4 n1

? 4(m1 log 4 4m1 ? n1 log 4 4n1 ) ? 4(m1 ? m1 log 4 m1 ? n1 ? n1 log 4 n1 )

1 ? 4(1 ? m1 log 4 m1 ? n1 log 4 n1 ) ? 4(1 ? m1 log 4 m1 ? (1 ? m1 ) log 4 (1 ? m1 )) ? 4(1 ? log 4 ) ? 2. 2
? m log 4 m ? n log 4 n 的最小值为 2.
(12 分)

? x2 y 2 ?1 ? ? 20. (1) 依题意得 F(5,0),所以 l 的方程为 y ? x ? 5 ,联立方程组 ? 16 ,整理 9 ?y ? x ? 5 ?
得 7 x ? 160 x ? 544 ? 0 ,?线段 AB 的中点坐标为 ?
2

125 ? 80 45 ? , ? ,? l ? 的方程为 x ? y ? ? 0 .(5 分) 7 ? 7 7 ? 3 4

(2)不失一般性, F 取为(5,0). 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 5)(k ? 0, k ? ? ) , A、B 两点的坐标

? x2 y2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 ( 为 ( x1 , y1 )、 x2 , y2 ) ,联立方程组 ? 16 整理得 (9 ? 16k ) x ? 160k x ? 400k ? 144 ? 0. 9 ? y ? k ( x ? 5). ?

4

400k 2 ? 144 ?160k 2 则 x1 ? x2 ? , ,   x1 x2 ? ? 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2
| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( ?160k 2 2 16(100k 2 ? 36) 72(1 ? k 2 ) ) ? ? . 线 段 AB 的 中 点 坐 标 为 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2 | 9 ? 16k 2 |

(?

80k 2 45k 45k 1 80k 2 ,? ) ,?线段 AB 的中垂线方程 y ? ? ? (x ? ), 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2 16 ? k 2 k 9 ? 16k 2
125k 2 45(1 ? k 2 ) | AB | 8 ?125k 2 ? 5 |? . , 0) , | FM |?| ? ? 是一个常数. (13 分) 9 ? 16k 2 | 9 ? 16k 2 | | FM | 5 9 ? 16k 2

M 点的坐标为 (

a ? ?4 x 2 ? 2ax ? 4 ?m ? n ? ? 2 21.(1) f ?( x ) ? ,依题意: m, n 是方程 ?4 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根,? ? 2 (1 ? x 2 ) 2 ?mn ? ?1 ?

f ( m) f ( n ) ?

4m ? a 4n ? a 16mn ? 4a(m ? n) ? a 2 ?(16 ? a 2 ) ? ? ? ? ?4 . a2 1 ? m2 1 ? n 2 (mn 2 ) ? (m ? n) 2 ? 2mn ? 1 ?4 4
(m ? n) 2 ? 4 x1 x2 ?

(6 分)

(2)? n ? m ?

a2 ? 4 ? 2 ,?n ? m 取最小值时, a ? 0, n ? 1, m ? ?1. (7 分) 4

? f ( x) 在 [?1,1] 是增函数, 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,? f ?( x0 ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. 从而 x0 ? (?1,1) , (8 分) x2 ? x1

f ?( x0 ) ?

2 2 4(1 ? x0 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) (1 ? x0 ) 4(1 ? x1 x2 ) 1 ? x1 x2 ? ? ? ,即 2 2 2 2 2 2 2 (1 ? x0 ) x2 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x0 ) (1 ? x12 )(1 ? x2 )

2 2 2 ? (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ? x12 x2 ? x12 ? x2 ? 1 ? ( x1 x2 )2 ? 2 x1 x2 ? 1 ? (1 ? x1 x2 ) 2

?

2 1 ? x0 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 ? ? . 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x1 x2 ) 2

(10 分)

考虑函数 g ( x) ?

( x ?1 2 ? ) 2 1? x ,因 g ?( x ) ? ,故当 x ? (0,1) 时,有 g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 是 (0,1) 上 2 (1 ? x )4 (1 ? x)

是减函数.

2 2 ?由 g ( x0 ) ? g ( x1 x2 ) ,得 x0 ? x1 x2 ? x12 . ? x0 ? x1.



2 1 ? x0 1 ? x1 x2 2 2 2 2 2 2 2 ? 及 0 ? 1 ? x0 ? 1 ? x1 x2 得 (1 ? x0 ) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (1 ? x2 ) , 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2 2

故 1 ? x0 ? 1 ? x2 即 x0 ? x2 ,? x1 ?| x0 |? x2 .

(14 分)

5


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