2012届高三湖北省第一次八校联考数学(理)试卷

2012 届高三第一次八校联考数学（理科）试题
一、选择题 1．设 U ? {x ? N | x ? 20} ， A ? {x ? N | x 是偶数}， B ? {x ? N | x 是质数}，则 CU ( A ? B) ? A． ? 2．已知 tan x ? cos( A．
5 ?1 2
x

B．{1}

>C．{1, 9, 15}

D．{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

?
2

? x) ，则 sin x ?

B． ?1

C．0

D．1

3．函数 f ( x) ?

3 的值域为 3 ?3 A． (??,?1) B． (?1,0) ? (0,??)

C． (?1,??)

D． (??,?1) ? (0,??)

4．设 {an } 是等比数列，则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“数列 {an } 是递减数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．函数 y ? 2 sin( x ? ) 的部分图象如右图所示，则 (OA ? OB) ? AB ? 4 2 A．6 C． ?4 6． B．4 D． ?6

?

?

?

3 2 0

9 ? 4 x 2 dx 可看作成

A．半径为 3 的圆的面积的二分之一 C．半径为 3 的圆的面积的四分之一 7．设 P 是椭圆

B．半径为 D．半径为

3 的圆的面积的二分之一 2 3 的圆的面积的四分之一 2

x2 y2 ? ? 1 上一点，M、N 分别是两圆 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 与 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 上的点，则 25 9 | PM | ? | PN | 的最小值，最大值分别为

A．3，7

B．4，8

C．8，12

D．10，12

8．已知命题 p1 ：函数 y ? m x ? m ? x (m ? 0 且 m ? 1) 在 R 上为增函数，命题 p2 : ac ? 0 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根的充分不必要条件，则在命题 q1 : p1 ? p2 ， q2 : p1 ? p2 ， q3 : p1 ? (?p2 ) ， q4 : (?p1 ) ? (?p2 ) 中真命题 的个数为 A．0

B．1

C．2

D．3

5 9．定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x) ? f (5 ? x) ，且 ( ? x) f ' ( x) ? 0 ，已知 x1 ? x2 ， x1 ? x2 ? 5 ，则 2

A． f ( x1 ) ? f ( x2 )

B． f ( x1 ) ? f ( x2 )

C． f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

D． f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

10． 定义在 R 上的函数 f (x) 满足： 对于任意的 x, y ?R， 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2011。 且当 x ? 0 时， 有 f ( x) ? 2011，设 M、N 分别为 f (x) 在 [?2012,2012] 上的最大值与最小值，则 M ? N 起来 A．4022 二、填空题 必做题 B．4024 C．2011 D．2012

1

11．已知 x ?

1 1 ，则函数 y ? x ? 的最大值为____________。 2x ? 1 2

tan A 5 12．设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c，且 a cos B ? b cos A ? c ，则 ? _________。 7 tan B

13．若函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? ax ? 5)(a ? 0 且 a ? 1) 满足对任意的 x1, x2，当 x1 ? x2 ? 则实数 a 的取值范围为__________。

a 时， f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ， 2

14．直线 (2m ? 1) x ? (3m ? 2) y ? 1 ? 5m ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 16 截得弦长的最小值为________。 选做题： （二选一） 15．①在极坐标中，已知 A、B 的极坐标分别为 (4, ), (3, ) ，则△AOB 的面积为_________。 3 4 ②过半径为 1 的圆外一点引圆的切线，若切线长等于圆的直径，则该点到圆上的点的距离的最大值为 _______。 三、解答题 16． （本小题满分 12 分） 已知 ? 、 x ?R，命题 p ：对任意 x ? R ，有 x ? 3x ? 2 ? 0 ；命题 q：存在实数 ? ，使得 a ? ? b ，
2

?

?

则a ∥b 。 （1）写出 p 的否定，判断真假并说明理由； （2）写出 q 的否命题，判断真假，并说明理由。 17． （本小题满分 12 分） 已知幂函数 f ( x) ? (n 2 ? 2n ? 1) x n
g ( x) ? f (sin x ? cos x) ? 2 3 cos2 x 。
2

?2

在 (0,??) 上是增函数， a ? (sin ? ,?2) ， b ? (1, co? ) ，

（1）当 a ? b ，求 g (? ) 的值； （2）求 g (x) 的最值以及 g (x) 取最值时 x 的取值集合。 18． （本小题满分 12 分） 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，满足 S n ? n 2 an ? n 2 (n ? 1) ，且 a1 ? （1）令 bn ?
n ?1 S n ，确定 bn 与 bn?1 (n ? 2) 的关系； n 1 。 2

（2）求 {an } 的通项。 19． （本小题满分 12 分） 设 f ( x) ? x loga x ? (1 ? x) loga (1 ? x)(a ? 1) （1）判断 f (x) 的单调性； （2）已知 m ? n ? 4 ，且 m ? 0 ， n ? 0 ，求 m log4 m ? n log4 n 的最小值。 20． （本小题满分 13 分） 已知 F 是双曲线
x2 y2 过 且与渐进线也不平行的直线 l， ? ? 1 的一个焦点， F 作一条与坐标轴不垂直， 16 9
2

交双曲线 A，B 两点，线段 AB 的中垂线 l ' 交 x 轴于 M 点。 （1）设 F 为右焦点，l 的斜率为 1，求 l ' 的方程； | AB | （2）试判断 是否为定值，说明理由。 | FM | 21． （本小题满分 14 分）
4x ? a 的单调递增区间为[m, n]。 1 ? x2 （1）求证 f (m) f (n) ? ?4 ； （2）当 n ? m 取最小值时，点 P(x1, y1), Q(x2, y2)(a<x1<x2<n)是函数 f (x) 图象上的两点，若存在 x0 使得

已知函数 f ( x) ?

f ' ( x0 ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ，求证 x1 ?| x0 |? x2 。 x2 ? x1

八校联考参考答案
命题：湖北省荆州中学 审题：湖北省荆州中学
一、选择题 1 C 二、填空题 11. 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 C 8 B 9 B 10 A

刘学勇 朱代文 刘荣显

1 － 2 2
3( 6 ? 2) 2

12. 6

13. 1 ? a ? 2 5

14. 2 14

15. ①

②

5 ?1

三、解答题 16.（1） p 的否定：存在实数 x ，使得 x ? 3x ? 2 ? 0 ，? x ? 1 时 x ? 3x ? 2 ? 0 ，? 命题 p 的否定是
2 2

真命题。

（6 分）

? ? ? ? （2） q 的否命题： ?? ? R ，都有 a ? ? b ，则 a 与 b 不平行， q 的否命题是假命题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? 0, b ? 0 时， ?? ? R ， a ? ? b ，但是 a ∥ b .………………
（12 分）

17． （1）依题设得 n ? 2, f ( x) ? x .
2

? ? ? a ? b ，? tan ? ? 2 ， g (? ) ? 2sin ? cos ? ? 2 3 cos 2 ? ? 1
（6 分）

?

2 tan ? ? 2 3 9?2 3 ?1 ? 2 1 ? tan ? 5

3

（2） g ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 1 ? 2sin(2 x ?
2

?
3

) ? 3 ?1

? g ( x) 的最大值为 3 ? 3 ，此时 x ?{x | x ? k? ?
此时 x ?{x | x ? k? ?

?
12

, k ? Z } ， g ( x) 的最大值为 3 ? 1 ，
（12 分）

5? , k ? Z} 。 12
2

18.（1）当 n ? 2 时，有 an ? Sn ? Sn ?1. ? Sn ? n ( Sn ? Sn ?1 ) ? n (n ? 1)
2

即 (n ? 1) Sn ? n Sn ?1 ? n (n ? 1) ，? bn ?
2 2 2

n ?1 n Sn ? Sn ? bn 从而 bn ? bn ?1 ? n 。 n n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1) （2）由（1）知 bn ? b1 ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? ?1. b1 ? 2S1 ? 1,? bn ? 2 2
? S1 , n ?1 n n n(n ? 1) n 2 2n ? 1 ， 而 an ? ? ，? an ? 。 bn ? ? ? n ?1 n ?1 2 2 2 ? Sn ? Sn ?1. n ? 2

（6 分）

∴ Sn ?

（12 分）

x 1 1 x ； ? 0 得 x ? . ∵ a ? 1 ，∴当 0 ? x ? 时， 0 ? ? 1, 　 f ?( x ) ? 0　 ∴ 1? x 1? x 2 2 1 1 1 同理，当 ? x ? 1 时， f ?( x) ? 0. ? f ( x) 在 (0, ) 上递减，在 ( ,1) 上递增。 （6 分） 2 2 2 1 1 1 （2）由（1）知， f ( x) 在 x ? 处取最小值， f min ? f ( ) ? log a . 2 2 2
19.（1）由 f ?( x) ? log a 令 m ? 4m1 , n ? 4n1 ，则 m1 ? n1 ? 1. m log 4 m ? n log 4 n ? 4m1 log 4 4m1 ? 4n1 log 4 n1

? 4(m1 log 4 4m1 ? n1 log 4 4n1 ) ? 4(m1 ? m1 log 4 m1 ? n1 ? n1 log 4 n1 )

1 ? 4(1 ? m1 log 4 m1 ? n1 log 4 n1 ) ? 4(1 ? m1 log 4 m1 ? (1 ? m1 ) log 4 (1 ? m1 )) ? 4(1 ? log 4 ) ? 2. 2
? m log 4 m ? n log 4 n 的最小值为 2.
（12 分）

? x2 y 2 ?1 ? ? 20. (1) 依题意得 F(5，0)，所以 l 的方程为 y ? x ? 5 ，联立方程组 ? 16 ，整理 9 ?y ? x ? 5 ?
得 7 x ? 160 x ? 544 ? 0 ，?线段 AB 的中点坐标为 ?
2

125 ? 80 45 ? , ? ，? l ? 的方程为 x ? y ? ? 0 .（5 分） 7 ? 7 7 ? 3 4

（2）不失一般性， F 取为(5，0). 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 5)(k ? 0, k ? ? ) , A、B 两点的坐标

? x2 y2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 ( 为 ( x1 , y1 )、 x2 , y2 ) ，联立方程组 ? 16 整理得 (9 ? 16k ) x ? 160k x ? 400k ? 144 ? 0. 9 ? y ? k ( x ? 5). ?

4

400k 2 ? 144 ?160k 2 则 x1 ? x2 ? ， ， 　 x1 x2 ? ? 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2
| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( ?160k 2 2 16(100k 2 ? 36) 72(1 ? k 2 ) ) ? ? . 线 段 AB 的 中 点 坐 标 为 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2 | 9 ? 16k 2 |

(?

80k 2 45k 45k 1 80k 2 ,? ) ，?线段 AB 的中垂线方程 y ? ? ? (x ? )， 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2 16 ? k 2 k 9 ? 16k 2
125k 2 45(1 ? k 2 ) | AB | 8 ?125k 2 ? 5 |? . , 0) , | FM |?| ? ? 是一个常数. （13 分） 9 ? 16k 2 | 9 ? 16k 2 | | FM | 5 9 ? 16k 2

M 点的坐标为 (

a ? ?4 x 2 ? 2ax ? 4 ?m ? n ? ? 2 21.（1） f ?( x ) ? ,依题意： m, n 是方程 ?4 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根,? ? 2 (1 ? x 2 ) 2 ?mn ? ?1 ?

f ( m) f ( n ) ?

4m ? a 4n ? a 16mn ? 4a(m ? n) ? a 2 ?(16 ? a 2 ) ? ? ? ? ?4 . a2 1 ? m2 1 ? n 2 (mn 2 ) ? (m ? n) 2 ? 2mn ? 1 ?4 4
(m ? n) 2 ? 4 x1 x2 ?

（6 分）

（2）? n ? m ?

a2 ? 4 ? 2 ,?n ? m 取最小值时， a ? 0, n ? 1, m ? ?1. （7 分） 4

? f ( x) 在 [?1,1] 是增函数， 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,? f ?( x0 ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. 从而 x0 ? (?1,1) , （8 分） x2 ? x1

f ?( x0 ) ?

2 2 4(1 ? x0 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) (1 ? x0 ) 4(1 ? x1 x2 ) 1 ? x1 x2 ? ? ? ,即 2 2 2 2 2 2 2 (1 ? x0 ) x2 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x0 ) (1 ? x12 )(1 ? x2 )

2 2 2 ? (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ? x12 x2 ? x12 ? x2 ? 1 ? ( x1 x2 )2 ? 2 x1 x2 ? 1 ? (1 ? x1 x2 ) 2

?

2 1 ? x0 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 ? ? . 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x1 x2 ) 2

（10 分）

考虑函数 g ( x) ?

( x ?1 2 ? ) 2 1? x ，因 g ?( x ) ? ，故当 x ? (0,1) 时，有 g ?( x ) ? 0 ， g ( x ) 是 (0,1) 上 2 (1 ? x )4 (1 ? x)

是减函数.

2 2 ?由 g ( x0 ) ? g ( x1 x2 ) ，得 x0 ? x1 x2 ? x12 . ? x0 ? x1.

由

2 1 ? x0 1 ? x1 x2 2 2 2 2 2 2 2 ? 及 0 ? 1 ? x0 ? 1 ? x1 x2 得 (1 ? x0 ) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (1 ? x2 ) , 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2 2

故 1 ? x0 ? 1 ? x2 即 x0 ? x2 ，? x1 ?| x0 |? x2 .

（14 分）

5