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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第五章第4课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1.(2014· 山东济南期末){an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项和, 则 S20-2S10 等于( ) A.40 B.200 C.400 D.20 20?a1+a20? 10?a1+a10? 解析:选 C.S20-2S10= -2× 2 2 =10(a20-a10)=100d. 又 a10=a2+8d,∴33=

1+8d,∴d=4. ∴S20-2S10=400. - 2.数列{1+2n 1}的前 n 项和为( ) n A.1+2 B.2+2n C.n+2n-1 D.n+2+2n n-1 解析:选 C.由题意得 an=1+2 , 1-2n 所以 Sn=n+ =n+2n-1,故选 C. 1-2 ?1? 3.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列?a ?的 ? n? 前 5 项和为( ) 15 31 A. 或 5 B. 或 5 8 16 31 15 C. D. 16 8 9?1-q3? 1-q6 解析:选 C.设数列{an}的公比为 q.由题意可知 q≠1,且 = ,解得 q=2, 1-q 1-q ?1? 1 31 所以数列?a ?是以 1 为首项, 为公比的等比数列,由求和公式可得 S5= . 2 16 ? n? 1 4.(2014· 江南十校联考)已知函数 f(x)=xa 的图象过点(4,2),令 an= ,n∈ f?n+1?+f?n? N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2 014=( ) A. 2 013-1 B. 2 014-1 C. 2 015-1 D. 2 015+1 1 a 解析:选 C.由 f(4)=2 可得 4 =2,解得 a= , 2 1 则 f(x)=x . 2 1 1 ∴an= = = n+1- n, f?n+1?+f?n? n+1+ n S2 014 = a1 + a2 + a3 + ? + a2 014 = ( 2 - 1) + ( 3 - 2) + ( 4 - 3) + ? + ( 2 015 - 2 014)= 2 015-1. 5.(2014· 北京东城调研)已知函数 f(n)=n2cos nπ,且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3 +?+a100=( ) A.0 B.-100 C.100 D.10 200

2 ? ?n为奇数? ?-n 解析:选 B.f(n)=n cos nπ=? 2 ?n ?n为偶数? ? 2

=(-1)n· n2, + + 由 an=f(n)+f(n+1)=(-1)n· n2+(-1)n 1· (n+1)2=(-1)n[n2-(n+1)2]=(-1)n 1· (2n+ 1),得 a1+a2+a3+?+a100=3+(-5)+7+(-9)+?+199+(-201)=50×(-2)=-100. 二、填空题 6.(2014· 广东广州市调研测试)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a4+a5=12, 则 S7 的值为________. 解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 a3+a4+a5=12 得 a1+2d+a1+3d+a1+ 7×6 4d=12,即 3a1+9d=12,化简得 a1+3d=4,故 S7=7a1+ d=7(a1+3d)=7×4=28. 2 答案:28 1 7 .若数列 {an} 是首项、公差都为 1 的等差数列,则数列 { } 的前 n 项和为 an?an+2? ________. 解析:由题意可知 an=n, 1 1 11 1 则 = = ( - ), an?an+2? n?n+2? 2 n n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以前 n 项和为 (1- + - + - +?+ - )= (1+ - - ) 2 3 2 4 3 5 n n+2 2 2 n+1 n+2 13 1 1 = ( - - ). 2 2 n+1 n+2 13 1 1 答案: ( - - ) 2 2 n+1 n+2 8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析:∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 2-2n - - =2n 1+2n 2+?+22+2+2= +2=2n-2+2=2n. 1-2 + 2-2n 1 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 + 答案:2n 1-2 三、解答题 9.已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(n∈N*,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数列,求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式. 解:(1)由 x1=3,得 2p+q=3. 又因为 x4=24p+4q, x5=25p+5q,且 x1+x5=2x4, 得 3+25p+5q=25p+8q, 解得 p=1,q=1. (2)由(1),知 xn=2n+n, 所以 Sn=(2+22+?+2n)+(1+2+?+n) n?n+1? + =2n 1-2+ . 2 + 10.(2014· 广东惠州调研)已知向量 p=(an,2n),向量 q=(2n 1,-an+1),n∈N*,向量 p 与 q 垂直,且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足 bn=log2an+1,求数列{an· bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)∵向量 p 与 q 垂直, + + ∴2n 1an-2nan+1=0,即 2nan+1=2n 1an, an+1 ∴ =2,∴{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, an - ∴an=2n 1. - (2)∵bn=log2an+1=n-1+1=n,∴an· bn=n· 2n 1, - ∴Sn=1+2· 2+3· 22+4· 23+?+n· 2n 1,① - 2 3 ∴2Sn=1· 2+2· 2 +3· 2 +?+(n-1)· 2n 1+n· 2n,② ①-②得, - -Sn=1+2+22+23+24+?+2n 1-n· 2n n 1-2 = -n· 2n=(1-n)2n-1, 1-2 ∴Sn=1+(n-1)2n. [能力提升] 一、选择题 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-6n,则{|an|}的前 n 项和 Tn=( ) A.6n-n2 B.n2-6n+18 ?6n-n2?1≤n≤3? ?6n-n2?1≤n≤3? ? ? C.? 2 D.? 2 ? ? ?n -6n+18?n>3? ?n -6n?n>3? 2 解析:选 C.∵由 Sn=n -6n,得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为 2.∴an=-5+ ?6n-n2?1≤n≤3?, ? (n-1)×2=2n-7,∴n≤3 时,an<0,n>3 时,an>0,∴Tn=? 2 ? ?n -6n+18?n>3?. n 2.(2014· 山东济南模拟)数列{an}中,an+1+(-1) an=2n-1,则数列{an}的前 12 项和等 于( ) A.76 B.78 C.80 D.82 + n 解析:选 B.由已知 an+1+(-1) an=2n-1,得 an+2+(-1)n 1an+1=2n+1,得 an+2+an =(-1)n(2n-1)+(2n+1),取 n=1,5,9 及 n=2,6,10,结果相加可得 S12=a1+a2+a3+a4+? +a11+a12=78.故选 B. 二、填空题 ? 1 ? 3.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列?b b ?的 ? n n+1? 前 n 项和 Sn=________. a4 - - 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 =q3=27,解得 q=3.所以 an=a1qn 1=3×3n 1 a1 1 1 1 1 =3n,故 bn=log3an=n,所以 = = - . bnbn+1 n?n+1? n n+1 ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 n 则数列?b b ?的前 n 项和为 1- + - +?+ - =1- = . 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 ? n n+1? n 答案: n+1 4.(2014· 山西晋中名校高三联合测试)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记 Sn 为{an}的前 n 项和,则 S2 014=________. 解析:由 a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得该数列是周期为 4 的数列,且 a1=1,a2=-2, a3=-1,a4=0,所以 S2 014=503(a1+a2+a3+a4)+a2 013+a2 014=503×(-2)+1+(-2)=- 1 007. 答案:-1 007 三、解答题 5.(2014· 武汉市高三模拟考试)在等差数列{an}中,已知 a1=1,公差 d 为整数,且满足

1 a1+3<a3,a2+5>a4,数列{bn}满足 bn= ,其前 n 项和为 Sn. anan+1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 S2 为 S1 与 Sm(m∈N*)的等比中项,求 m 的值. ?a1+3<a1+2d, ? 3 5 解:(1)由题意,得? 解得 <d< . 2 2 ? a + d + 5 > a + 3 d . ? 1 1 又 d∈Z,∴d=2.∴an=1+(n-1)×2=2n-1. 1 1 (2)∵bn= = anan+1 ?2n-1??2n+1? 1 1? 1 = 2n-1-2n+1?. 2? ? ∴Sn= 1 1 ?? 1?? 1? ?1 1? - 1- + - +?+? 3 3 5 2 n - 1 2 n +1?? ? ? ? ? 2? ? 1 1 n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1. 1 2 m ∴S1= ,S2= ,Sm= . 3 5 2m+1 ∵S2 为 S1 与 Sm 的等比中项. ?2?2 1 m ,解得 m=12. ∴S2 2=S1Sm,即 5 = · ? ? 3 2m+1 6. (选做题)(2014· 襄阳调研)已知数列{an}, 如果数列{bn}满足 b1=a1, bn=an+an-1, n≥2, n∈N*,则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”. (1)若数列{an}的通项为 an=n,写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}的通项为 cn=2n+b(其中 b 是常数),试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是 否是等差数列,请说明理由; (3)已知数列{dn}的通项为 dn=2n+n,求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)当 n≥2 时,bn=an+an-1=2n-1, 当 n=1 时,b1=a1=1 适合上式, ∴bn=2n-1(n∈N*). ?2+b,n=1, ? (2)qn=? ? ?4n+2b-2,n≥2, 当 b=0 时,qn=4n-2,由于 qn+1-qn=4, ∴此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列. 当 b≠0 时,由于 q1=c1=2+b,q2=6+2b,q3=10+2b,此时 q2-q1≠q3-q2,所以 此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列. ? ?3,n=1, (3)pn=? n-1 ? 2 +2n-1,n≥2, ?3· - 当 n>1 时,Tn=3+(3· 2+3)+(3· 22+5)+?+(3· 2n 1+2n-1), 2 3 n-1 ∴Tn=3+3(2+2 +2 +?+2 )+(3+5+7+?+2n-1)=3· 2n+n2-4. 又 n=1 时,T1=3,适合上式,∴Tn=3· 2n+n2-4.


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