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湖北省宜昌市2016


湖北省宜昌市 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题 理
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草 稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡上交. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知 U ? { y | y ? 2 x , x ? ?1}, A ? {x | A. [ , 2]

1 ? 1} ,则 CU A ? ( x ?1
C. [ ,1] ? (2, ??)
2

) D. [ ,1) U (2, ??) )

1 2

B.

[2, ??)

1 2

1 2

2.已知 i 是虚数单位,a、b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3. ( x ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( 3x

A.0

B.2

C.4

D. 6

4.元月底,某商场想通过抽取发票的 10%来估计该月的销售额,先将该月的全部销售发票存根进行 了编号: 1,2,3,?,然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号为 1,2,?, 10 的前 10 张发票 存根中随 机抽取一张,然后再按系统抽样的方法依编号逐次产生第二张、第三张、第四张、?,则抽样中 产生的 第二张已编号的发票存根,其编号不可能是( A.13 B.17 C.19 D.23 )

?x ? y ? 2 ? 5. 设不等式组 ? 所表示的区域为 M , 函数 y ? ?x ? y ? ? 2 ?y ? 0 ? ?

1 ? x2 的图象与 x 轴所围成的区域为 N ,

向 M 内随机投一个点,则该点落 在 N 内的概率为(



1

A.

2

?

B.

? 4

C.

? 8


D.

? 16

6.下列命题中正确命题的个数是(

(1)命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”; (2)在回归直线 ? y ? 1 ? 2 x 中, x 增加 1 个单位时, y 一定减少 2 个单位;
2 (3)命题 p : ?x0 ? R, 使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ;

(4)设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? P0 ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? A.2
?
0

1 ? P0 ; 2

B.3

C.4

D.5 )

7.设 k ? ? (sin x ? cos x)dx, 若 (1 ? kx)8 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a8 x8 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a8 ? ( A. ?1 B.0 C.1 D.256

8.一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得的几何体的三视图如图示,则 该几何体的体积为( A. 7 B.
22 3

) C.
47 6

D.

23 3

9.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2cos x ,若 f '( x) 是 f ( x ) 的导函数,则函数 f '( x) 在原点附近的图象 大致是( )

A

B

C

D

1 10. 程序框图运行后, 如果输出的函数值在区间[-2, ]内, 则输入的实数 x 的取值范围是( 2 A.(-∞,-1] 1 B.[ , 2] 4 1 C.(-∞,0)∪[ , 2] 4

)

1 D.(-∞,-1]∪[ , 2] 4

2

11.双曲线

x2 y 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0) 的左、 右焦点分别为 F1、F2,过 F1 作圆 x2 + y2 = a2 的切线 2 a b
)

交双曲线的左、右支分别于点 B、C,且|BC|=| CF2|,则双曲线的渐近线方程为,k( A. y = ? 3 x 12.已知函数 f ( x) = B. y = ? 2 2 x C. y = ? (1

3) x

D. y = ? ( 3

1) x

x e
x

( x ? R) ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) - mf ( x) + m - 1 = 0 恰好有 4 个不相
)

等的实数根,则实数 m 的取值范围为(

A. (1,

2e + 1) 2e

B. (0,

2e ) 2e

C. (1, + 1)

1 e

D. (

2e ,1) 2e

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

13.已知函数

f ( x) ?

1 x ? sin x , x ? (0, ? ) ,则 f ( x ) 的最小值为 2

.

14.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有 4 个红包,每人最多抢一个,且 红包被全部抢完,4 个红包中有两个 2 元,1 个 3 元,1 个 4 元(红包中金额相同视为相同红包) ,则 甲、乙都抢到红包的情况有 种. (用数字作答)

2 ? 1 ,那么 a1 ? a2 ? 2 . 证明:构造函数 15. 请阅读下列材料,若两个正实数 a1 , a2 满足 a12 ? a2

f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2 ? 2 x 2 ? 2(a1 ? a2 ) x ? 1 ,因为对一切实数 x ,恒有 f ( x) ? 0 ,所以 ? ? 0 ,
从 而 得 4(a1 ? a2 ) 2 ? 8 ? 0 , 所 以 a1 ? a2 ? 2 . 根 据 上 述 证 明 方 法 , 若 n 个 正 实 数 满 足
2 2 a12 ? a2 ? ? ? an ? 1 时,你能得到的结论为

16.我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是 几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的 平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几 何体的体积相等. 如 图 所 示 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 xOy 平 面 内 , 若 函 数

ì ? 1- x 2 , x ? [ 1, 0) ? ? f ( x) = í 的图象与 x 轴围成一个封闭 p ? cos x , x ? [0, ] ? ? 2 ? ?
区域 A ,将区域 A 沿 z 轴的正方向上移 4 个单位,得到几何体如图一,现有一个与之等高的圆柱如
3

图二,其底面积与区域 A 相等,则此圆柱的体积为_________.

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分 17. (本小题满分 12 分)
x 2 已知 c ? 0, 且c ? 1 ,设命题 p :函数 y ? c 在 R 上单调递减;命题 q :函数 f ( x) ? x ? 2cx ? 1

+?) 上为增函数,若命题 p ? q 为假,命题 p ? q 为真,求实数 c 的取值范围. 在( ,

1 2

18. (本小题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 PQ ? 4 ,底面为直角梯形

P Q M A D C B N

?CDA ? ?BAD ? 900 , AB ? 2, CD ? 1, AD ? 2, M , N 分别是 PD, PB 的中点
(Ⅰ)求证: MQ // 平面 PCB ; (Ⅱ)求截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小;

19.(本小题满分12分) 某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如下:

(Ⅰ)若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季,其中有8 天为严重污染.根据提供的统计数据, 完成下面的2×2 列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有 关”?

(Ⅱ)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x 的关系式为

试估计该企业一个月(按30 天计算)的经济损失的数学期望.

4

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 B , C 两点. 4 3

(Ⅰ)求该椭圆的离心率; ( Ⅱ ) 设直 线 AB 和 AC 分 别 与直 线 x ? 4 交 于 点 M , N , 问 : x 轴 上 是 否 存 在定 点 P 使 得

MP ? NP ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 满足 2f ( x+2)=f ( x), 当 x ? ? 0, 2 ? 时,f ( x) ? ln x ? ax(a ? ? ) ,

1 2

x ? ? ?4, ?2?时,f ( x) 的最大值为 ?4 .
(Ⅰ)求 x ? ? 0,2? 时函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)是否存在实数 b 使得不等式

x ?b ? x 对于 x ? ? 0,1? ? ?1,2?时恒成立, f ( x) ? x

若存在,求出实数 b 的取值 范围;若不存在,说明理由.

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4―4:坐标系与参数方程】 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 ? y ? 3t

, ( t 为参数) ,以坐标原点为
2

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4? cos? ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围.

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】

5

已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (Ⅰ)解不等式 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 6 ; (Ⅱ)若 a ? 1, b ? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab ) ? a f ( ) .

b a

6

宜昌一中高二年级 2017 年春季学期期末考试 理科数学 本试卷 5 页,23 小 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条 形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目 要求的。

1.已知 U ? { y | y ? 2 x , x ? ?1}, A ? {x | A. [ , 2]

1 ? 1} ,则 CU A ? ( ▲ C x ?1 1 2

)

1 2

B. [2, ??)

C. [ ,1] ? (2, ??)
2

1 2

D. [ ,1) U (2, ??) ▲A )

2.已知 i 是虚数单位,a、b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的 ( A.充分不必要条件 C. 3. ( x ? B.必要不充分条件

充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( 3x

▲ B ) D. 6

A.0

B.2

C.4

4.元月底,某商场想通过抽取发票的 10%来估计该月的销售额,先将该月的全部销售发票存根进行 了编号: 1,2,3,?,然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号为 1,2,?, 10 的前 10 张发票 存根中随 机抽取一张,然后再按系统抽样的方法依编号逐次产生第二张、第三张、第四张、?,则抽样中 产生的 第二张已编号的发票存根,其编号不可能是( A.13 B.17 C.19 ▲ D ) D.23

7

?x ? y ? 2 ? 5. 设不等式组 ? 所表示的区域为 M , 函数 y ? ?x ? y ? ? 2 ?y ? 0 ? ?

1 ? x2 的图象与 x 轴所围成的区域为 N ,

向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为( A.

▲ B ) D.

2

?

B.

? 4

C.

? 8


? 16

6.下列命题中正确命题的个数是( ▲B

(1)命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”; (2)在回归直线 ? y ? 1 ? 2 x 中, x 增加 1 个单位时, y 一定减少 2 个单位;
2 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ; (3)命题 p : ?x0 ? R, 使得 x0

(4)设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? P0 ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? A.2
?
0

1 ? P0 ; 2

B.3

C.4

D.5

7. 设 k ? ? (sin x ? cos x)dx, 若 (1 ? kx)8 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a8 x8 , 则 a1 ? a2 ? ? ? a8 ?( ▲B ) A. ?1 B.0 C.1 D.25 6

8.一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得的几何体的三视图 如图示,则该几何体的体积为( A. 7 B.
22 3

▲D
47 6

) D.
23 3

C.

9.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2cos x ,若 f '( x) 是 f ( x ) 的导函数,则函数 f '( x) 在原点附近的图象 大致是( ▲ A )

A

B

C

D

8

1 10. 程序框图运行后, 如果输出的函数值在区间[-2,]内, 则输入的实数 x 的取值范围是( 2 1 1 1 A.(-∞,-1] B.[ , 2] C.(-∞,0)∪[ , 2] D.(-∞,-1]∪[ , 2] 4 4 4 11.双曲线

▲D )

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 作圆 x2 + y2 = a2 的切线 a 2 b2
▲C )

交双曲线的左、右支分别于点 B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近线方程为,k( A. y = ? 3 x 12.已知函数 f ( x) = B. y = ? 2 2 x C. y = ? (1

3) x

D. y = ? ( 3

1) x

x e
x

( x ? R) ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) - mf ( x) + m - 1 = 0 恰好有 4 个不相
▲ A )

等的实数根,则实数 m 的取值范围为(

A. (1,

2e + 1) 2e

B. (0,

2e ) 2e

C. (1, + 1)

1 e

D. (

2e ,1) 2e

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

13.已知函数

f ( x) ?

1 x ? sin x , x ? (0, ? ) ,则 f ( x ) 的最小值为 2



.

14.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有 4 个红包,每人最多抢一个,且 红包被全部抢完,4 个红包中有两个 2 元,1 个 3 元,1 个 4 元(红包中金额相同视为相同红包) ,则 甲、乙都抢到红包的情况有 ▲36 种. (用数字作答)

2 ? 1 ,那么 a1 ? a2 ? 2 . 证明:构造函数 15. 请阅读下列材料,若两个正实数 a1 , a2 满足 a12 ? a2

f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2 ? 2 x 2 ? 2(a1 ? a2 ) x ? 1 ,因为对一切实数 x ,恒有 f ( x) ? 0 ,所以 ? ? 0 ,
从 而 得 4(a1 ? a2 ) 2 ? 8 ? 0 , 所 以 a1 ? a2 ? 2 . 根 据 上 述 证 明 方 法 , 若 n 个 正 实 数 满 足
2 2 a12 ? a2 ? ? ? an ? 1 时,你能得到的结论为

▲ a1 ? a2 ? ? ? an ? n

16.我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是 几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的 平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图所

ì ? 1- x 2 , x ? [ 1, 0) ? ? 示,在空间直角坐标系 xOy 平面内,若函数 f ( x ) = í 的图象与 x 轴围成一个封 p ? cos x , x ? [0, ] ? ? 2 ? ?

9

闭区域 A ,将区域 A 沿 z 轴的正方向上移 4 个单位,得到几何体如图一,现有一个与之等高的圆柱 如图二,其底面积与区域 A 相等,则此圆柱的体积为__ ? ? 4 _______.

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分)已知 c>0,且 c≠1,设命题 p:函数 y=c 在 R 上单调递减;命题 q:函数 f(x)=x -
x
2

?1 ? 2cx+1 在? ,+∞?上为增函数,若命题 p∧q 为假,命题 p∨q 为真,求实数 c 的取值范围. ?2 ?
.解:因为函数 y=c 在 R 上单调递减,所以 0<c<1. 即 p:0<c<1,因为 c>0 且 c≠1,所以 ? p:c>1. 1 1 ?1 ? 2 又因为 f(x)=x -2cx+1 在? ,+∞?上为增函数,所以 c≤ .即 q:0<c≤ ,因为 c>0 且 c≠1, 2 2 ?2 ? 1 所以 ? q:c> 且 c≠1. 2 又因为“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, 所以 p 真 q 假或 p 假 q 真.
? ? ? 1 ? 1 ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩?c|c> 且c≠1?=?c| <c<1?. 2 2 ? ? ? ? ? 1? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c|0<c≤ ?=?. 2? ? ? 1 ? 综上所述,实数 c 的取值范围是?c| <c<1?. ? 2 ?
x

18. (12 分)20. 四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 PQ ? 4 ,底面为直角梯形

?CDA ? ?BAD ? 900 , AB ? 2, CD ? 1, AD ? 2, M , N 分别是 PD, PB 的中点
(Ⅰ)求证: MQ // 平面 PCB ;

P Q M A D C N
10

B

(Ⅱ)求截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小;

18. 解 : (1) 取AP 的中点E,连结ED,则ED // CN,

???1 分

依题有Q为EP 的中点,所以MQ / / ED,所以MQ / /CN, ???2 分
又 MQ ? 平面 PCB , CN ? 平面 PCB , ∴ MQ //平面 PCB ????4 分

(2)以 A 为原点,以 AD, AB, AP 分别为 x, y, z 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 设平面的 MCN 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,又 CM ? ? ??

?

???? ?

? ?

? ???? 2 , ?1, 2 ? ? , CN ? ? 2, 0, 2 2 ?

?

?

? ? ? ???? ? ? z 2 2 n ? CM ? x , y , z ? ? , ? 1, 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 0 ? ? 2 x ? y ? 2z ? 0 ? P ? ? 则有: ? ? ???? ? Q n ? CN ? ? x, y, z ? ? ? 2, 0, 2 ? 0 ? ? 2 x ? 2 z ? 0 ? ? ? M 令 z ? 1 ,则 x ? 2, y ? 1 ? n ? 2,1,1 , ????6 分

?

?

N B

?

?

??? ? 又 AP ? ? 0,0, 4 ? 为平面 ABCD 的法向量, ? ??? ? ? ??? ? n ? AP 4 1 ? , ? ? ∴ cos n, AP ? ? ??? n ? AP 2 ? 4 2
又截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角为锐二面角, ∴截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 19. (本题满分12分)

A D C

y

x

? 3

????8 分

某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如下:

(Ⅰ)若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季,其中有8 天为严重污染.根据提 供的统计数据,完成下面的2×2 列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的 空气严重污染与供暖有关”?

11

(Ⅱ)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x 的关系式为

试估计该企业一个月(按30 天计算)的经济损失的数学期望.

.

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 (Ⅰ) ? ? 1 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 B ,C 两点. 4 3
求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设直线 AB 和 AC 分别与直线 x ? 4 交于点 M , N ,问: x 轴上是否存在定点 P 使得

MP ? NP ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)解:由椭圆方程可得, a ? 2 , b ? 3 ,从而椭圆的半焦距 c ? 所以椭圆的离心率为 e ?

a 2 ? b2 ? 1 .

c 1 ? . a 2

12

(Ⅱ)解:依题意,直线 BC 的斜率不为 0 ,设其方程为 x ? ty ? 1 . 将其代入 得 (4 ? 3t 2 ) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 . 设 B ( x1 , y1 ) , 所以 y1 ? y2 ? C ( x2 , y2 ) , 知直线 AB 的方程是 y ?

x2 y 2 ? ? 1 ,整理 4 3

?6t ?9 ,y1 y2 ? . 易 2 4 ? 3t 4 ? 3t 2

y1 6 y1 ( x ? 2) ,从而可得 M (4, ), x1 ? 2 x1 ? 2

同理可得 N (4,

6 y2 ). x2 ? 2

假设 x 轴上存在定点 P ( p, 0) 使得 MP ? NP ,则有 PM ? PN ? 0 . 所以 ( p ? 4) 2 ?

???? ? ????

【11 分】

36 y1 y2 ?0. ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 36 y1 y2 ? 0. t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9
2

将 x1 ? ty1 ? 1 , x2 ? ty2 ? 1 代入上式,整理得 ( p ? 4) 2 ? 所以 ( p ? 4) ?
2

36(?9) ? 0 ,即 ( p ? 4) 2 ? 9 ? 0 , 2 t (?9) ? 3t (?6t ) ? 9(4 ? 3t )
2

解得 p ? 1 ,或 p ? 7 .

所以, x 轴上存在定点 P (1, 0) 或 P (7, 0) ,使得 MP ? NP 成立.

21. 已知函数 f ( x ) 满足 2f ( x+2)=f ( x), 当 x ? ? 0, 2 ? 时,f ( x) ? ln x ? ax(a ? ? ) ,

1 2

x ? ? ?4, ?2?时,f ( x) 的最大值为 ?4 。
(Ⅰ)求 x ? ? 0,2? 时函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)是否存在实数 b 使得不等式

x ?b ? x 对于 x ? ? 0,1? ? ?1,2?时恒成立, f ( x) ? x

若存在,求出实 数 b 的取值范围;若不存在,说明理由. 21.解: (1)由已知得: f ( x)=2f ( x+2)=4f ( x+4), ?????1 分

1 因为x ? ? 0, 2 ? 时,f ( x) ? ln x ? ax(a ? ? ), 2

设x ?? ?4, ?2?时,则x+4 ? ? 0,2?,所以f ( x+4)=ln(x+4)+a ? x+4?
∴ x ? ? ?4, ?2?时, f ( x)=4f ( x+4) ? 4ln(x+4)+4a ? x+4? ???3 分



4 f ?( x) ? ? 4a ? 4a ? x?4

x?4? x?4

1 1 1 a ,? a ? ? ,∴ ?4 ? ? ? 4 ? ?2 , 2 a

13

? ∴当 x ? ? ?4,
当 x ?? ?

? ?

1 ? ? 4 ?时,f ?( x) ? 0,f ( x)为增函数 , a ?

? 1 ? ? 4,-2 ?时,f ?( x) ? 0,f ( x)为减函数 , ? a ?
1 1 1 ? 4) ? 4 ln(? ) ? 4a(? ) ? ?4 ,∴ a ? ?1 ---------5 分 a a a
????6 分

∴ f ( x) max ? f (?

∴当 x ? ? 0,2? 时, f ( x) ? ln x ? x

(2)由(1)可得: x ? ? 0,1? ? ?1, 2? 时,不等式 即为

x ?b ? x 恒成立, f ( x) ? x

x ?b ? x 恒成立, ln x x ?b ? x ? b ? x ? x ln x ,令 g ( x) ? x ? x ln x, x ? (0,1) ①当 x ? ? 0,1? 时, ln x
则 g ?( x) ? 1 ?

ln x 1 2 x ? ln x ? 2 ? ? 2 x x 2 x 1 1 ? ? x x x ?1 ?0 x

令 h( x) ? 2 x ? ln x ? 2 ,则当 x ? ? 0,1? 时, h?( x) ?

∴ h( x) ? h(1) ? 0 ,∴ g ?( x) ?

h( x ) ?0, 2 x
???8 分

∴ g ( x) ? g (1) ? 1 ,故此时只需 b ? 1 即可; ②当 x ? ?1, 2? 时, 则 ? ?( x) ? 1 ?

x ?b ? x ? b ? x ? x ln x ,令 ? ( x) ? x ? x ln x, x ? (1, 2) ln x

ln x 1 2 x ? ln x ? 2 ? ? 2 x x 2 x 1 1 ? ? x x x ?1 ?0 x

令 h( x) ? 2 x ? ln x ? 2 ,则当 x ? ?1, 2? 时, h?( x) ?

∴ h( x) ? h(1) ? 0 ,∴ ? ?( x) ?

h( x ) ? 0, 2 x
??????10 分 ??????12 分

∴ ? ( x) ? ? (1) ? 1 ,故此时只需 b ? 1 即可, 综上所述: b ? 1 ,因此满足题中 b 的取值集合为: ?1?

14

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)

已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 ? y ? 3t

, ( t 为参数) ,以坐标原点为

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. 22.解: (Ⅰ)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 ; ·········· 2 分 曲线 C 的直角坐标方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ··········· 5 分 (Ⅱ)设点 P(2 ? cos? , sin ? ) (? ? R) ,则

| 2 cos(? ? ) ? 5 3 | | 3 (2 ? cos? ) ? sin ? ? 3 3 | 6 d? ? 2 2 5 3 5 3 ? 1, ? 1] ··············· 10 分 所以 d 的取值范围是 [ 2 2

?

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (Ⅰ)解不等式 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 6 ; (Ⅱ)若 a ? 1, b ? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab ) ? a f ( ) . 解: (Ⅰ)由题意,原不等式等价为 x ? 2 ? x ? 2 ? 6 ,

b a

x?2 ? ?2 x, ? 令 g ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 ? ?4, ? 2 ? x ? 2 ············· 3 分 ? 2 x, x?2 ?
15

不等式的解集是 (??,?3] ? [3,??) ················· 5 分 (Ⅱ)要证 f (ab ) ? a f ( ) ,只需证 | ab ? 1 |?| b ? a | , 只需证 (ab ? 1) 2 ? (b ? a) 2 而 (ab ? 1) 2 ? (b ? a) 2 ? a 2 b 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? (a 2 ? 1)(b 2 ? 1) ? 0 , 从而原不等式成立. ····················· 10 分

b a

16


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