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3.1直线的倾斜角与斜率终结版教案


高中数学必修 2

考点一:直线的倾斜角
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置由哪些条件确定?
y

P2 O P1 x

问题1

高中数学必修 2

我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l

的位置能够确定吗? y
l

O

P

x

问题2

高中数学必修 2

过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
l 相对于X轴的 倾斜程度不同 观察

O

P

x

倾斜程度的几何表示

高中数学必修 2

从几何的角度观察,能否用一个几何量表示 直线与X轴的相对倾斜程度?
y 可用角度描述
怎样描述我们找到的这个角度呢?

l O P x

高中数学必修 2

1,直线的倾斜角的定义:
当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴 正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角(angle of inclination) .

直线倾斜角的定义的三个要点:

O
(1)以x轴的正方向作为参考方向(始边); (2)直线向上的方向作为终边; (3)最小正角.

2、直线倾斜角的范围:
当直线 l 与 x 轴平行或重合时,我 ? 们规定它的倾斜角为 0 ,因此,直线 ? ? 的倾斜角的取值范围为: ? a ? 180 0 按倾斜角去分类,直线可分几类?
y y y y

a
锐角 直角
x x o o o x

a
x

o

零度角

钝角

3、直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
①平面直角坐标系中每一条直线都 有确定的倾斜角 ②倾斜程不同的直线有不同的倾斜角 ③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同 O x

l?

y

l??

l

相同倾斜角可作无数互相 平行的直线
l3

y

l 2 l1

o

x

4、如何才能确定直线位置?
y

l

已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置
已知直线的倾斜角α,不能确定一条直线的位置

a
x o

过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线?

能 一点+倾斜角 ? 确定一条直线
(两者缺一不可)

考点二:直线的斜率和斜率公式

高中数学必修 2

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?
如图,我们经常用“升高量与前进量的比”表 示倾斜面的“坡度”(倾斜程度),即:

升高量 坡度(比) ? 前进量
前进量

升 高 量

高中数学必修 2

如果使用“倾斜角”这个概念,那么这 里的“坡度(比)”实际就是“倾斜角α的 正切”.
升高量 坡度(比) ? ? tan a 前进量
升 高 量

a
前进量

1、直线的斜率
定义:直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
斜率通常用k表示,即:

k ? tan a

a ?

?
2

a ? [0, ) ? ( , ? ) 2 2

?

?

,

斜率k不存在;
),

y

a ? [0,

?
2

k ? [0, ??);
-? o ? 2 2
? 3? 2

a ? ( , ? ), k ? ( ??,0).
2

?

x

倾斜角α不是90°的直线都有斜率,并且倾斜角不同,直线的斜 率也不同.因此,可以用斜率表示直线的倾斜程度.

从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系:
直线 形状 平行于 x 轴 像第二声 垂直 于x轴 像第四声

a的
大小

a ? 0?
k=0

0? ? a ? 90?

a ? 90? 90? ? a ? 180 ?
不存在 k<0

k

的 范围 的 增减性

k>0

k



递增



递增

例1.在图中的直线l1 , l2 , l3的斜率k1 , k2 , k3的大小 关系为 k2>k3>k1
y

l2 l3

o

l
1

x

例2:已知直线的斜率K的变化范围为( –1,1],
求直线的倾斜角a的取值范围。

分析: 因为直线的斜率正负不同,直线的倾斜角范围 也不同,因此,应分斜率为负值和非负值两种 情况讨论。
解: 直线斜率K的变化范围( –1,1]=( –1,0)∪ [0,1], 当K∈ [0,1] 时,

? a ? [0, ] 4

y

3? ,? ) 所以直线的倾斜角范围为 a ? [0, ] ? ( 4 4

O 3? , ?) 当K∈ ( –1,0)时, a ? ( 4

x

?

1.倾斜角 α 与斜率 k 之间的关系

例3: 直线xcosα+
A.[ C.[0, ] )∪( ]

y+2=0的倾斜角的范围是( B.[0, ]∪[ D.[ ] ,π)

)

分析:

解:
k=-

由xcosα+ y+2=0得直线斜率 cosα.

∵-1≤cosα≤1,∴ -

≤k≤ .
≤tanθ≤ .

设直线的倾斜角为θ,则- 结合正切函数在[0, )∪( 0≤θ≤ 或 ≤θ<π.

,π)上的图象可知,

[答案] B

例4. 已知直线l的倾斜角为a,斜率为k ( )a ? ? 45? , 60? ? 时,则斜率k的取值范围 _____ 1 [1, 3 ) ?

( ? _____ (2)a ? ? 45? ,135? ? 时,则斜率k的取值范围 ? , ? 1 ) ? [1, ? ? ?
(3) k ? ? 0,时,则倾斜角a的取值范围 _____ ? ] 1? [0? ,45

2、斜率公式:两点确定直线斜率

锐角
y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为锐角时,

a
P ( x1, y1 ) 1

a ? ?P2 PQ, 1
且x1 ? x2 , y1 ? y2

Q( x2 , y1 )

QP2 y2 ? y1 k ? tana ? tan?P2 PQ ? ? 1 PQ x2 ? x1 1

o

a

x1

x2

x

在Rt?P2 PQ中 1

?0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角是, ? a ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tana ? tan( ? ? ? ) 180

?
Q( x2 , y1 )

P ( x1, y1 ) 1

o

a

x1

x2

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tana ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 PQ 1

?0

思考?
1、当直线平行于x轴,或与x轴重合时, 上述公式还适用吗?为什么?

y
P ( x1, y1 ) 1

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

a ?0

? ?

x1 o

x2

答:成立,因为分子 x 为0,分母不为0, K=0

k ? tan0 ? 0

2、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, 上述公式还适用吗?为什么? y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1

y2 ? y1 k? x2 ? x1

a ? 90 , tan90 (不
? ?

o

x 答:不成立, k不存在
因为分母为0。

1 3.已知直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,运 用上述公式计算直线 斜率时,与 P , P2 两点坐 1 标的顺序有关吗? 答:无关

直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2 P1 P2 公式的特点: P2 P1
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上 任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900

例5:如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),
求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直 线的倾斜角是什么角? y. 方法:先用经过两点的直线的斜率 B . A 公式求斜率, 再求倾斜角。 . . . . . . . 2?2 解: ?0 直线AB的斜率 k AB ? o x ?8? 4 .
直线BC的斜率 kBC ? 直线CA的斜率 kCA
?2?2 ?4 1 ? ?? 0 ? (?8) 8 2

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

例6 直线L的倾斜角是连接3, 5),(0, 9) ( ? ? 两点 的直线的倾斜角的两倍 ,求直线L的斜率.
解: 设连接 3,?5), (0,?9)的直线倾斜角为 , 则 ( a
?5?9 4 tana ? ? 3?0 3

于是 直线L的斜率为
2 tana 24 tan2a ? ?? 2 7 1 ? tan a

例7.如果三点A(5,1),B(a,3),C
( - 4,2)在同一直线上,确定常数a的值。 解:直线AB的斜率 kAB=
3 ?1 2 = a ? 5 ? 5 ?a

直线AC的斜率kAC=

2 ?1 ?5?4

=

?

1 9

∵A、B、C三点在同一直线上 ∴kAB= kAC ∵
2 a ?5

1 =? , 9

∴5—

a

=18,

∴α=-13

例8: (2008· 浙江卷)已知a>0 , 若平面

内三点A(1,-a)、B(2,a2)、 C(3,a3)共线, 1? 2 则a=_______.
平面内A、B、C三点共线,则kAB=kBC,



可得a(a2-2a-1)=0,即a=1± 2或a=0.

a 2 ? a a3 ? a 2 ? , 1 1

又a>0,故a=1+

2.

例题9:
已知两点A(-1,2),B(m,3). ? 3 ? ? 1, 3 ? 1?, 求直线AB的倾斜角 a的取值 实数m∈ ?? ? 3 ? 范围.

解:①当m=-1时,a =

π ; 2

②当m≠-1时,m+1∈ ?? 3 ,0 ? ∪(0, 3 ], ? 3 ? ? ?
? 3 ? 1 ?k ? ? (??,? 3 ] ? ? ,?? ?, ? m ?1 ? 3 ? ?π π ? ? π 2π? ?a ? ? , ? ? ? , ?. ?6 2 ? ? 2 3 ?

a ?? , 综合①②知,直线AB的倾斜角 ?6 3 ?

π 2 π? ?. ?

考点三:两条直线平行和垂直的判定
平面上两条直线位置关系:有平行,相交两种

y

o

x

我们设想如何通过直线的斜率来判定这两种位置关系.

1:两条直线平行的判定

思考:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线的位
置关系如何?反之成立吗?

y

l1

l2
1

α
O

α

2

x

分析:两条不同的直线,若倾斜角相等,则
直线平行,反之亦成立

思考:若两条不同直线的斜率相等,这两条直线的位置
关系如何?反之成立吗?

分析:若斜率相等,即倾斜角相等,则这两条直
线平行,反之,不一定,因为存在两直线斜率不存 在的情况

结论1:

前提:两条直线不重合
L1// L2 L1// L2

? 直线倾斜角相等 ?
k1=k2 或k1,k2都不存在

两条直线平行的判定方法
(1)若两条直线斜率都存在时,要使直线平行只需斜率相 等,且在y轴上的截距不相等. (2)若两条直线斜率都不存在,则两条直线平行或重合. (3)若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1、B1不全为0), 直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0), 则l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).

例1: 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0, 例1.

0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判 断四边形ABCD的形状,并给出证明。 1 1 解 : k AB ? ? k CD ? ? y D 2 2 3 3 C k BC ? k DA ? 2 2 A ? k AB ? kCD , k BC ? k DA O x ∥ ? AB∥CD, BC DA B
因此四边形ABCD是平行四边形 .

例2,已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3)
,C(0,-4),则D点坐标为________. [分析] 利用平行四边形的对边平行确定点D的坐标 . [解析] 设 D(x,y) ∵AB∥CD ∴kAB=kCD
3-1 y+4 ∴ = ,即 2x+3y+12=0 x -2-1 又∵AD∥BC -4-3 y-1 ∴kBC=kAD,∴ = 0+2 x-1 (2) ,∴D 点坐标为(3,-6). (1)

即 7x+2y-9=0
?x=3 ? 由(1)(2)解得? ?y=-6 ?

[答案]

(3,-6)

例3.(2009·上海卷)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2 :2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( ) A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 思路分析:根据两条直线平行的条件列方程求解.

解析:当 k=4 时,直线 l1 的斜率不存在,直线 l2 的斜率为 1,两直线不平行;当 k≠4 时,两直线平行的 3-k 一个必要条件是 =k-3, 解得 k=3 或 k=5, 但必须 4-k 1 3 同时满足 ≠2(截距不相等)才是充要条件,检验知 k k-4 =3、k=5 均满足这个条件,故选 C.

2,两条直线垂直的判定
当L1// L2时,有k1=k2,或k1,k2都不存在,那 么L1⊥ L2时,k1与k2满足什么关系? 设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α 1、α ( α 1,α 2≠ 90°).
y
2

结论2:
x

o

a1 a 2

L1 ⊥ L 2

?

k1k2=-1

或直线L1与L2中有一 条斜率为零,另一条斜 率不存在

两条直线垂直的判定方法 (1)若两条直线的斜率都存在,则它们垂直的条件是斜率

之积为-1.
(2)若一条直线的斜率为0,另一条直线斜率不存在,则 这两条直线垂直. (3)若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0), 直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),

则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

例4:已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点, 试判断△ABC的形状。

1 ? ( ?1) 1 解 : k AB ? ? ?? 1? 5 2 3 ?1 k BC ? ?2 2 ?1 ? k AB ? k BC ? ?1 ? AB ? BC 即?ABC ? 90 因此?ABC是直角三角形 .
0

y

C B

O

x

A

例5: (2009· 上海高考)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=
0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是
A.1或3 B.1或5

(

)

C.3或5
分析:

D.1或2

解: k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0显然平行;
k=4时,l1:x+1=0,l2:2x-2y+3=0,显然不平行;

k≠3,k≠4时,要使l1∥l2,应有
综上所述k=3或5. [答案] C

?k=5.

例6:

(2009· 全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1:x
,则 ⑤ ②30° ③45° ④60°

-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2 m的倾斜角可以是①15° 75° 其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案

的序号)

解:

求得两平行线间的距离为

,则m与两平行

线的夹角都是30°,而两平行线的倾斜角为45°,则m
的倾斜角为75°或15°. 【答案】 ①⑤

(2008· 四川卷)将直线y=3x绕原点逆时 例7 针旋转90° , 再向右平移1个单位长度,所 得到的直线为( A ) 1 1 1 A: y ? ? x ? B: y ? ? x ? 1 3 3 3 1 y ? 3x ? 3 D: y ? x ? 1 C: 3 直线y=3x绕原点逆时针旋转90°所得 1 到的直线方程为 y ? ? x ,再将该直线向右 3 平移1个单位长度得到的直线方程为
1 1 1 y ? ? ( x ? 1) ? ? x ? 3 3 3

例8:
若已知直线l1:ax+2y+6=0,直线l2:x+(a-1)y+a2-1 =0(a≠0),试求a的值,使 (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. [分析] (1)在l1上取两个点,就可以写出l1的斜率,同理写出l2的斜 率,再根据题意列方程求a的值. (2)在l1 、l2上分别取两个点求出斜率,再根据题意列出a的 方程解方程.

三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: ? ? a ? 180? 0 ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角 a 之间的关系:

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式:k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? 0 ? a ? 90? ? k ? tan a ? 0 ? ? ? ?a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

5、两直线平行与垂直的判定

平行:对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分
别为k1、k2,有

l1∥l2

k1=k2.

条件:不重合、都有斜率

垂直:如果两条直线l1、l2都有斜率,且分别为
k1、k2,则有

l1⊥l2
条件:都有斜率

k1k2=-1.


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