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椭圆一


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椭圆定义和标准方程

成都七中育才学校 2005.10

1. 观察与思考

(1)生活中的事例

(2)一个轨迹问题

问题1中动圆圆心M满足条件 ?MF1?+?MF2?= R1+

R2 = 6 > ?F1F2?= 4,其轨迹方程为
x y ? ?1 9 5
2 2

下面我们再做一个实验.

2.椭圆的定义
平面上到两个定点F1、 F2的距离 之和等于定长2a (2a>?F1F2?)的点 的轨迹是椭圆。定点叫做椭圆的焦 点,?F1F2?叫做椭圆的焦距. 椭圆可以看作点集
{M??MF1?+?MF2?= 2a, 2a>?F1F2?}.

三、标准方程
M F1 O F2

以直线F1F2为X轴、线段F1F2 的中点为原点建立直角坐标系。

设 M(x,y)是轨迹上一点.设焦 距?F1F2?=2c,定长为2a.那么 F1(-c,0)、F2(c,0).由定义 可得?MF1? + ?MF2?=2a.

? ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a ①
2 2 2 2

2 2 注意到(x+c) -(x-c) =4cx

,分别除以①式两边得
2cx ( x ? c) ? y - ( x ? c) ? y ? ② a 再把①、②两边分别相加得
2 2 2 2

平方后整理得 2 2 2 2 2 2 2 2 (a -c )x +a y =a (a -c ). 2 2 2 由定义 a>c>0,设a -c =b 2 2 2 2 2 2 (b>0),代入得b x + a y =a b , 2 2 即 x ? y ? 1 (a>b>0). 2 2 a b

cx 2 ( x ? c) ? y ? ( 2 a? ) a
2 2

可以证明以这个方程的 解为坐标的点都在椭圆上, 因此这就是焦点在X 轴上 的椭圆的标准方程.

思考:如果以直线F1F2为y轴、
线段F1F2的中点为原点建立直 角坐标系,得到的方程会有

哪些不同?

因为此时焦点坐标是 (0,-c)、(0,c),所以
MF1 ? MF2 ? ( y ? c) ? x
2 2 2 2

( y ? c) ? x
2 2

y x 椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 a b

两种类型的椭圆及其标准方程(a>b>0)
F2

F1

F2 O F1
2 y 2 a

y x ? ? 1 2 a b
2 2

2

?

2 b

2 x

?1

思考题 定义中的“ 定长
2a > ?F1F2? ” 可否去掉? 1.当2a=?F1F2?时M的轨迹是 线段F1F2 . 2.当2a<?F1F2?时M 不存在 .
M

M

F1

M

F2

M

例1 平面内两个定点的距离 分析:由定义可知轨迹是一 是 8, 写出到这两个定点的距离 个椭圆 . 设定点为 F 、 F . 如 1 2 的和是10的点的轨迹方程. 果以直线F1 F2 和线段F1 F2 的 垂直平分线为坐标轴,那么轨 迹方程是椭圆的标准方程,可 用待定系数法求.

请一部分同学用直线F1 F2 做x轴,另一部分同学直线F1 F2 做y轴建立直角坐标系分别求 出轨迹方程. 2 2 y x 答案:(1) ? ?1 25 9 y 2 x2 ? ? 1 (2) 25 9

例1 平面内两个定点的距离是8, 写出到这两个定点的距离的和是 10的点的轨迹方程.
M F1 F2

解法一. 建立直角坐标系,用求 动点轨迹方程的基本方法(重 复求标准方程的步骤).
M F1 O F2

解法二(待定系数法). 由定义 知所求点M的轨迹是一个椭圆, 2 2 定长2a=10,焦距2c=8, b = a – 2 c = 25 – 16 = 9, ?所求轨迹方 2 2 x y 程是 ? ?1 M 25 9
F1 F2

三、课堂练习
1. 写出适合下列条件的椭 圆的标准方程: (1) a = 4, b = 1, 焦点在 x轴上.
x 2 ? y ?1 16
2

课堂练习

1.写出适合下列条件的椭圆 的标准方程: 2 (2) a=4, c = 15, 焦点在 y 轴 上; (1) a=4, b=1, 焦点在 x轴上; (3) 两个焦点在(-2, 0)、(2, 0) 且经过点P(2.5, -1.5).

x 2 ? y ?1 16 y 2 ? x ?1 16 x y ? ?1 10 6
2 2 2

2

2. 已知?ABC一边BC长为6,周 长为16,求顶点A轨迹方程.

3.

Y P

F1
2 2

O

F2
2 2

X

x 3y 3x y ? ? 1或 ? ?1 5 10 10 5

小结
1. 椭圆是平面上到 两个定点的距离之和等于定长 的点的集合 . 其中定长 2a 与 2a > 2c 焦距2c的关系是 a>c a = c > 0 时表示一个圆;

x y 方程 ? ? 1(m ? 0, n ? 0)表示椭圆. m n

2

2

m > n时焦点在 X轴上

m < n时焦点在 y轴上

(1)用待定系数法求轨迹方程应 先判断轨迹是什么曲线; (2)不同的坐标系中求得的轨迹 方程也不同,要建立适当的坐标系 使方程容易求出;

讲评

(3)注意关系式 a2 = b2 + c2. 椭圆的两种标准方程中的a和b不 变,只是互换x和y.

课本例2中根据定义给出了 用直尺和圆规画椭圆的一种方 法.

2.图形、方程、顶点、范围和对称性 ( a> b > 0 ) a 2 2 y F2 x ? ? 1 b 2 2 -a F1 -b -b F1 -a

F2
O b
2 y 2 a

a

b

a
2 x

?

2 b

?1

(2)设实轴长2a,则d1 = 6a, d2 = 3a. P在右支时 e =
d1 6 ? 2 2 2a 3? d2 ? e c 6
x2 y2 ? ?1 a2 b2

P在左支时 e =

2 3? e

三、回顾与小结
x y ? ?1 1. 方程 m n (1) m > 0, n > 0且m ? n 时表
2 2

示椭圆, 当 m > n 时焦点在 x 轴上, m < n 时焦点在 y 轴上;
(2) m

= n > 0 时表示一个圆;

a =4, b = 15 , 焦点在 y 轴上. y 2 2
(2)

16
(3)

?x

?1

两个焦点的坐标是(-2, 0) 5 3 和(2, 0), 且过点P( , - ). 2 2 2 2 x y
10 ? 6 ?1

2. 已知ΔABC的一边BC长为 6, 周长为16, 求顶点A的轨迹 方程. 以直线BC为x轴, 线段BC
的中点为原点建立直角坐标系, 则 点A的轨迹方程为
x y ? ? 1 (x ? 25 16 ( 或 y ? 0, ±5). 即去掉椭圆与直线BC的交点.)
2 2

{M??MF1?四、小结 +?MF2?=2a , 2a >?F1F2?}

1. 椭圆可以看作点集

其中定点F1 、F2是椭圆的焦点, ?F1F2?是焦距. 当2a < ?F1F2? 时点M 不存在 ;当2a=?F1F2? 时M的轨迹是 线段F1F2 .

2.
(1)

x y (m > 0, n > 0) ? ? 1 方程 m n

2

2

当 m = n 时表示一个圆; (2) 当 m ? n 时表示一个椭圆, 当 m>n 时焦点在 x轴上, 当 m < n 时焦点在 y 轴上.


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