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4.3 简单线性规划的应用


?4.3

简单线性规划的应用

?1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性 规划问题,并能加以解决. ?2.培养学生应用线性规划的有关知识解决实际 问题的意识.

?1.对利用线性规划解决实际问题的考查是本节 的热点. ?2.本节内容常与实际问题结合问题. ?3.多以选择题、填空题形式考查,也可以解答 题形式考查.

?1.线性目标函数z=ax+by(a>0,b>0)把直 线l0:ax+by=0向右平移时,所对应的z随之 增大 ,把l 向左平移时,所对应的z随之 减小 .在 0 平移过程中与可行域 首先 相交的点和 最后相 交的点,可使目标函数z=ax+by+c取得最 值.也就是最优解.
2.设z=2x+y,其中变量x,y满足条件 ?x-4y≤-3, ? ?3x+5y≤25, ?x≥1. ?

z的最大值和最小值分别为 12,3 .

?线性规划的应用 ? 线性规划也是求值的一种,是求在某种限制 范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是 列出所有 限制条件 ,不能有遗漏的部分,如 有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确 找到 目标函数 ,如果数量关系多而杂,可以用 列表等方法把关系理清.

?1.有5辆载重6吨的汽车,4辆载重4吨的汽车, 设需载重6吨的汽车x辆,载重4吨的汽车y辆, 则要运送最多的货物,完成这项运输任务的线 性目标函数为( ) ?A.z=6x+4y B.z=5x+4y ?C.z=x+y D.z=4x+5y ?答案: A

?2.配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料, 用料要求如表所示(单位:千克) 原 料 药 剂 甲 乙

A 2 5 B 5 4 ?药剂A、B至少各配一剂,且药剂A、B每剂售 价分别为100元、200元.现有原料甲20千克, 原料乙25千克,那么可获得的最大销售额为 ________百元.

解析: 设药剂A、B分别配x剂、y剂, ?2x+5y≤20 ? 则?5x+4y≤25 ?x、y∈N + ?

,销售额z=x+2y,

作出可行域如图.

令z=0得直线x+2y=0, 平移此直线过点M时z最大,
?2x+5y=20 ? 由? ?5x+4y=25 ?



?45 50? 得M?17,17?,调整得最优解(2,3), ? ?

∴zmax=2+2×3=8(百元).

?答案: 8

?3.有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生 产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要 原料和产生的利润分别为:磷酸盐2 t,硝酸盐 9 t,利润8 000元或磷酸盐2 t,硝酸盐5 t,利 润6 000元.工厂现有库存磷酸盐20 t,硝酸盐 70 t,应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最 大利润?

解析: 设x,y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车 ?2x+2y≤20 ? 皮数.由题意得?9x+5y≤70, ?x≥0,y≥0 ? 工厂利润z=8 000x+6 000y.
?2x+2y=20 ? 由? ?9x+5y=70 ? ?x=5 ? 得? ’ ?y=5 ?

?即当直线8 000x+6 000y-z=0过(5,5)点时,z 取得最大值. ?即生产甲、乙两种肥料各5车皮时可获得最大 利润.

?

某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每 吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每 吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每 吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获 得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该 企业可获得最大利润是多少?

[解题过程] 设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y 吨,则该企业可获得利润为z=5x+3y,且 ?x≥0, ? ?y≥0, ? ?3x+y≤13, ?2x+3y≤18 ?
?3x+y=13, ? 联立? ?2x+3y=18 ? ?x=3, ? ,解得? ?y=4. ?

由图可知,最优解为P(3,4), ∴z的最大值为z=5×3+3×4=27(万元).

?答:企业可获得的最大利润为27万元.

?1.某工厂制造甲、乙两种产品,已知制造甲产 品1 kg要用煤9 t,电力4 KW,劳动力(按工作 日计算)3个;制造乙产品1 kg要用煤4 t,电力5 KW,劳动力10个.又知制成甲产品1 kg可获 利7万元,制成乙产品1 kg可获利12万元,现 在此工厂只有煤360 t,电力200 KW,劳动力 300个,在这种条件下应生产甲、乙两种产品 各多少千克获得最大经济效益?

?解析: 设此工厂应分别生产甲、乙产品x kg、y kg,利润z万元,则依题意可得约束 条件:

?9x+4y≤360 ? ?4x+5y≤200 ② ? ?3x+10y≤300 ③ ? ?x≥0 ④ ?y≥0 ⑤ ? 利润目标函数为: z=7x+12y.



?作出可行域,作直线l:7x+12y=0,把直线l 向右上方平移至l1位置,直线经过可行域上的 点M,且与原点距离最大,此时z=7x+12y取 最大值.

?3x+10y=300, ? 解方程组? ?4x+5y=200, ?

得M点坐标为(20,24). 即应生产甲种产品20 t,乙种产品24 t,才能使此工厂 获得最大利润.

?

某公司的仓库A存有货物12吨,仓库B存有 货物8吨,现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运 给甲、乙、丙三个商店,从仓库A运货物到商 店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6 元、9元;从仓库B运货物到商店甲、乙、丙, 每吨货物的运费分别为3元、4元、5元,问应 如何安排调运方案,才能使得从两个仓库运货 物到三个商店的总运费最少?

?[解题过程] 将实际问题的一般语言翻译成数 学语言可得下表(即运费表,单位:元) 商店 每吨运费 甲 乙 丙 仓库 A 8 6 9 B 3 4 5

?设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨、y 吨,则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y) 吨;从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应 分别为(7-x)吨,(8-y)吨,[5-(12-x-y)]吨, 即(x+y-7)吨,于是总运费为

?z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y) +5(x+y-7)=x-2y+126. ?则问题转化为求总运费
?12-x-y≥0 ? ?7-x≥0 ?8-y≥0 z=x-2y+126在约束条件? ?x+y-7≥0 ?x≥0 ? ?y≥0 ?0≤x≤7 ? ?0≤y≤8 即在? 下的最小值. ?x+y≥7 ?x+y≤12 ?

作出上述不等式组所表示的平面区 域,即可行域, 作出直线l:x-2y=0,把直线l作 平行移动,显然当直线l移动到过点 A(0,8)时,在可行域内,z=x-2y+126取得最小值zmin=0- 2×8+126=110. 即x=0,y=8时,总运费最少.

?答:仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0 吨、8吨、4吨;仓库B运给甲、乙、丙商店的 货物分别为7吨、0吨、1吨,此时,可使得从 两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.

?2.某工厂要制造A种电子装置45台,B种电子装 置55台,需用薄钢板给每台装置配一个外壳, 已知薄钢板的面积有两种规格:甲种薄钢板每 张面积2 m2,可做A,B外壳分别为3个和5个, 乙种薄钢板每张面积3 m2,可做A,B外壳各6 个,求两种薄钢板各用多少张,才能使总的用 料面积最小.
解析: 设用甲种薄钢板x张,乙种薄钢板y张,则 ?3x+6y≥45, ? ?5x+6y≥55, ?x≥0,y≥0, ?

所以总面积为z=2x+3y.

作出可行域如图所示.当直线经过交 A时, z 取得最 点
小值.
?3x 6y 45 ? + = , 由? ?5x+6y=55, ? ?x 5 ? = , 得? ?y=5. ?

?所以zmin=2×5+3×5=25. ?即甲、乙两种钢板各用5张时,能保证制造 A,B两种外壳的数量,同时又能使总的用 料面积最小.

? 某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少 运送180吨支援物资的任务,该公司有8辆载重 为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车, 有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数是: A型卡车为4次,B型卡车为3次.每辆卡车每 天往返的成本费为:A型卡车为320元,B型卡 车为504元,请你为该公司调配车辆,使公司 所花成本费最低.

[解题过程] 设每天从该公司调出A型卡车x辆,B型卡 车y辆,公司每天所花成本为z元,则z=320x+504y,其中 x,y满足约束条件 ?0≤x≤8 ? ?0≤y≤4 ? ?x+y≤10 ? ?24x+30y≥180 ?x,y∈N ? ?0≤x≤8 ? ?0≤y≤4 ? ,即?x+y≤10 ? ?4x+5y≤30 ?x,y∈N ?



作可行域如图(阴影内的整点)所示.

?作直线l′:320x+504y=0, ?作一组与l′平行的直线l:320x+504y=t(t∈R), ?由题设x,y是可行域内的整点的横、纵坐标. ?在可行域内的整点中,点(8,0)使t取最小值, ?即当l过点(8,0)时,t最小, ?即zmin=8×320=2 560(元). ?答:每天从公司调A型卡车8辆就能完成任务, 且公司所花成本费最低.

?3.有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两 种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输 效果见下表:
方式 轮船运 飞机运 效果 输量 输量 (t) (t) 种类 300 150 粮食 250 100 石油 ?现在要在一天内运输2 000t粮食和1 500t石油需 至少安排多少艘轮船和多少架飞机?

解析:

设需要安排x艘轮船和y架飞机, ?6x+3y≥40 ? ?5x+2y≥30 ? ,即?x≥0 ? ?y≥0 ?x,y∈N ?

?300x+150y≥2 000 ? ?250x+100y≥1 500 ? 则有?x≥0 ? ?y≥0 ?x,y∈N ?



目标函数为:z=x+y.作出可行域,如图所示,

作出直线l0:x+y=0,平移直线经过直线6x+3y-40=
?20 ? 20 20 ? ,0?得直线l1的方程为x+y= .由于 不 0和y=0的交点A 3 3 3 ? ?

是整数,而最优解(x,y)中x,y必须都是整数,所以,可行 域内点
?20 ? ? ,0? ?3 ?

不是最优解.经过可行域内的整点(横、纵坐

标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是 (7,0),即为最优解. 答:至少安排7艘轮船和0架飞机.

?1.解答线性规划应用题的一般步骤: ?(1) 审 题 —— 仔 细 阅 读 , 对 关 键部 分 进行 “ 精 读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件, 起关键作用的变量有哪些,由于线性规划应用 题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的 关系,有时可借助表格来理顺. ?(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数, 从而将实际问题转化为数学上的线性规划问 题. ?(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题. ?(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.

?2.解答线性规划应用题应注意的问题 ?(1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的 条件较多,因此认真审题非常重要; ?(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以 判断; ?(3)结合实际问题,分析未知数x、y等是否有限 制,如x、y为正整数、非负数等; ?(4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性 约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是 一个等式;

?(5)图对解决线性规划问题至关重要,关键步 骤基本上都是在图上完成的,所以作图应尽可 能地准确,图上操作尽可能规范.但作图中必 然会有误差,假如图上的最优点不容易看出时, 需将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然 后逐一检查,以确定最优解.

练考题、验能力、轻巧夺冠


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