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湖南师大附中2013届高三第三次月考数学理试卷


湖南师大附中 2013 届高三第三次月考

数学(理)试题
(考试范围:全部内容,除选考部分) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟.满分 150 分. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A={1,2},B={2,4},则集合 M={z|z=x·y,x ? A,y ? B}中元素的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? i(a ? R) 为纯虚数的充分不必要条件是 ( )

A.0 B.a=-1 C.a=-1 或 a=2 D.a=l 或 a=-2 3. 如图,测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的 o o 两个测点 C 与 D,测得∠BCD =15 ,∠BDC=30 ,CD=30,并在点 C o 测得塔顶 A 的仰角为 60 ,则塔高 AB= ( ) A. 5 6 C. 5 2 B. 15 3 D. 15 6

4 . 已 知 等 差 数 列 {an} 中 , 前 四 项 的 和 为 60 , 最后 四 项 的 和 为 260 , 且 Sn=520 , 则 a7 为 ( ) A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 2 5.抛物线 y =4x 与直线 y=x-8 所围成图形的面积为 ( ) A. 84 B. 168 C. 36 D. 72 6.S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图,SA=SB=SC, 且∠ASB=∠BSC=∠CSA=

? ,M,N 分别是 AB 和 SC 的中 2


点,则异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为( A.

10 5 10 10

B.

15 5 3 10 10

C.

D.

7.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F,若椭圆上存在一个 P 点,满足以椭圆短轴 a2 b2

为直径的圆与线段 PF 相切于该线段的中点,则该椭圆的离心率为 ( ) A.

5 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

5 9

8.若函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象和直线 y=x 无交点,给出下列结论: ①方程 f[f(x)]=x 一定没有实数根; ②若 a<0,则必存在实数 xO,使 f[f(xO)] >xO; ③若 a+b+c=O,则不等式 f[f(x)]<x 对一切实数 x 都成立; 2 ④函数 g(x)=ax -bx +c 的图象与直线 y=-x 也一定没有交点. 其中正确的结论个数有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线 上. 9.某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:4,现用分层抽样的方 法抽出一个容量为 n 的样本, 样本中 A 型号的产品有 16 件, 那么此样本容量 n= 。 10.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ,则不等式 f (2 x 2 ? 1) ? ?1的解集为 。

11.盒中装有形状大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个.若从中随机取出 2 个 球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 。 12.设正实数 x,y,z 满足 x ? 2 y ? z ? 1 ,则

1 9( x ? y) ? 的最小值为 x? y y?z



13.如图,在△ABC 中,点 E 为 AB 边的中点,点 F 在 AC 边上,且 CF = 2FA,BF 交 CE 于点 M,设

AM ? x AE ? y AF ,则 x-y=



? 3x ? y ? 2 ? 0 ? ? 2 2 14.已知实数 x,y 满足 ? 3 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 3x +y ?2 y ? 3 ? 0 ? ?
最小值为 。

15.形如 则

的数阵称为 n 阶矩阵,有 n (n 无穷大)个数以一定的规

2

排列,构成如下 n 阶矩阵:

此表中, 主对角线上的数依次为 l, 2, 5, 10, 17, ?, 则主对角线上的第 101 个数为 数字 2013 在此表中共出现 次. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 3 ,? sin ), b ? (sin (1)求 f(x)的对称轴方程; (2)若 0 ? ? ?



x 3

2 x x,2 sin ) ,函数 f ( x) ? a ·b。 3 3

?
2

且 F (? ) ?

3 3? ) 的值. 求 F (? ? 5 8

17. (本小题满分 12 分) 某同学参加某高校的自主招生考试(该测试只考语文、数学、英语三门课程) ,其中该同学语文 取得优秀成绩的概率为 0.5,数学和英语取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p<q) ,且不同 课程取得优秀成绩相互独立.记ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ P (1)求 p,q 的值; (2)求数学期望 Eξ 0 0.12 1 a 2 b 3 0.12

18. (本小题满分 12 分) 如图 l, 四边形 ABCD 中, AB=AD, AB⊥AD, DC⊥BC, 将△DCB 沿 BD 折起, 使 AC⊥BC, 如图 2. 点

E 在 DC 上,AE ?

6 且 AE⊥DC,若二面角 A-BD-C 的正弦值为

6 . 3

(1)求证:AE⊥BD; (2)求三棱锥 D-ABE 的体积.

19. (本小题满分 13 分) 某县为落实国家农村医疗保险(简称“医保” )的政策,制定了如下实施方案:2011 年底通 过农民个人投保和政府财政投入,共筹资 l 000 万元作为全县的农村医保基金,并且从 2012 年起农民每年报销的医保费都为上一年年底农村医保基金余额的 10%,并且每年年底县财政 都向医保基金补充 m(m>0)万元. (1)以 2011 年为第 1 年,求第 n(n≥1)年年底该县农村医保基金有多少万元?(用 m,n 表示) (2)根据该县的农村人口数量和财政状况,县政府要求每年年底农村医保基金逐年增加且 不超过 1 500 万元,问:每年补充的医保基金 m(单位:万元)应控制在什么范围?

20. (本小题满分 13 分) 2 2 2 如图,已知抛物线 C:y =2px(p>0)和⊙M:(x 一 4) +y =l,过抛物线 C 上一点 H(xO,yO) (yO≥1)作两条直线与⊙相切于 A,B 两点,分别交抛物线于 E,F 两点,圆心点 M 到抛物线 准线的距离为

17 . 4

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率; (3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t,求 t 的最小值.

21. (本小题满分 13 分) x 2 已知函数 f(x)=2x(e -1)-x (x ? R) . (1)求证:函数 f(x)有且只有两个零点; (2)已知函数 y=g(x)的图象与函数 h(x)=一

1 1 2 f(一 x)一 x + x 的图象关于直线 2 2

x=l 对称.证明:当 x>l 时,h(x)>g(x) ; (3)如果一条平行 x 轴的直线与函数 y=h(x)的图象相交于不同的两点 A 和 B,试判断线 段 AB 的中点 C 是否属于集合 M={(x,y)||x|+|y|≤1},并说明理由.


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