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江苏省连云港市2012-2013学年度第一学期高一期末考试数学试题


连云港市 2012-2013 学年度第一学期期末考试试题 高一数学
考试说明:1.本试卷共两大题 20 小题,考试时间为 120 分钟; 2.请直接在试卷上密封线内作答。 题号 1-14 15 16 17 18 19 20

得分 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在试题的 相应位 ... ... 置上 . .. 1.集合 A ? {1, 2,3} , B ? {2,3, 4} ,则 A 2.计算 lg 2 ? lg 0.5 ? . . . . . . .
B?

.

3.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 0 的面积为

4.已知幂函数 f ( x) 的图象经过点 (2,8) ,则 f ( x) ? 5.函数 y ? 2x ? 1 的定义域为

6.已知三点 A(1, 2), B(2, m), C (4,5) 在同一条直线上,则 m ? 7.若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 x ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 平行,则实数 a ? 8.已知函数 f ( x) ? a x?1 ? 1 (a ? 0, a ? 1) ,则它的图象恒过定点的坐标为 9.由半径为 10 cm 的半圆面所围成圆锥的高为 (cm) .

10.若函数 f ( x) ? m ? 3x ? x ? 3(m ? 0) 在区间 (1, 2) 上有零点, 则 m 的取值范围为 11.已知两条不同直线 m 、 n 与两个不同平面 ? 、 ? 有下列四个命题: ①若 m / /? , n / / ? 且 ? / / ? ,则 m / / n ; ③若 m ? ? , n / / ? 且 ? / / ? ,则 m ? n ; 其中正确的是



②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ④若 m / /? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m / / n .

. (填上所有正确命题序号). . .

12.圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 与圆 C2 : ( x ? a)2 ? y 2 ? 1 有公共点,则 a 的取值范围为 13.函数 f ( x) ? (log 2 x ? 1)(log 2 x ? 5) , x ? [1,16] ,则 f ( x) 的值域为 14.已知函数 f ( x) ? ?

a ? b ? c 的取值范围为

?lg x ,0 ? x ? 10, ? 若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 1 | 6 ? x |, x ? 10. ? ? 2

第 1 页 共 8 页

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在试题指定位置内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已 知 ?ABC 的 三 边 所 在 的 直 线 方 程 分 别 l AB: 5 x ? 4 y ? 8 ? 0 , l AC:x ? y ? 2 ? 0 ,
lBC:x ? 2 y ? 2 ? 0 .

(1)求 BC 的长; (2)求 AC 边上的高 BD 所在直线的方程.

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16.(本小题满分 14 分) 已知如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2BC ? 2 AA1 ? 2 , 点 E 在棱 AB 上移 动,点 F 为 CD1 的中点. (1)求三棱锥 D1 ? ADC 的体积; (2)当 AE 为多长时, EF ∥平面 DA1 D1 ?并证明你的结论; (3)求证: A1D ? D1 E .
D1
F

C1

A1

D

B1

C

A

E 第 16 题图

B

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17.(本小题满分 14 分) 已知奇函数 f ( x) ? 1 ? (1)求 m 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性,并加以证明; (3)解不等式 f ( x ? 1) ? f (2 ? 3x) ? 0 .

m . 4 ?1
x

18.(本小题满分 16 分) 经市场调查,某商品在 30 天内,其销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时 间 t (单位:天)的函数,且销售量近似地满足关系 g ? t ? ? ?t ? 100 ?t ? N ,0 ? t ? 30? , 在 前 15 天 里 价 格 为 f ? t ? ? t ? 80 ? t ? N ,0 ? t ? 15? , 在 后 15 天 里 价 格 为

f ?t ? ? ?

1 t ? 101? t ? N ,16 ? t ? 30? . 16

(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (2)求这种商品的日销售额的最大值.

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19.(本小题满分 16 分) 已知圆心在直线 y ? 2 x 上的圆 C 经过点 M ( ?1,1) ,且该圆被 x 轴截得的弦长为 2. (1)求圆 C 的方程; (2)是否存在过圆心 C 的两条互相垂直的直线,使得点 M 到这两条直线的距离之积 为

3 ,若存在,请求出满足条件的直线方程;若不存在,请说明理由. 2

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20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x | x ? 2a |, a ? R. (1)当 a ? 1 时,解方程 f ( x) ? 0 ; (2)当 0 ? a ? 3 时,求函数 y ? f ( x) 在区间 [0,7] 的最大值 g (a) ; (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 ( m, n ) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m , n 的取 值范围.

高一数学试题参考答案 一、填空题:
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1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11.②③; 12. ; 13. ; 14. . 二、解答题: 15.解: (1)由方程组 解得 所以点 . ………………………3 分 又由方程组 解得 所以点 .………………………6 分 所以 . ………………………8 分 (2)因为 ,所以 , ……………………11 分 所以 边上的高 所在直线的方程为 , 即 . ……………………14 分 16.解: (1)因为 为长方体, 所以 , , ……2 分 所以 . ……4 分 (2)当 时, ∥平面 . ……6 分 证明如下: 取 的中点 ,连结 ,则 , , 又因为 ,所以平面 ∥平面 , 因为 平面 ,所以 ∥平面 . …………………9 分 (3)因为 为长方体,所以 , 又因为 ,所以 . …………………11 分 又因为 ,所以四边形 为正方形,所以 . 又因为 ,所以 平面 ; 又因为 ,所以 . …………………14 分 17.解: (1) , 因为 为奇函数,所以 , 即 ,, ,, . ………………………4 分 (2)设任意的 且 ,则 . 因为 在 上是增函数,所以 ,所以 , 又因为 ,所以 , 所以 ,所以 是 上的增函数. ……………………10 分 (3)因为函数 为增函数又是定义在 上的奇函数, 所以 , …………………………12 分 所以 ,解得 , 所以原不等式的解集为 . …………………………14 分 18.解: (1) ………………5 分 (2)当 时, . 当 时, . ……………………10 分 当 时, , 易知当 时, . ……………………15 分 日销售额的最大值为 8400 元. 综上可得,当 时,日销售额的最大值为 8400 元. ……………………16 分
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19.解: (1)因为圆心在直线 上, 所以可设圆 C 的方程为 , ………① 又因为圆 C 经过点 ,所以 ,………② 又因为圆 C 被 轴截得的弦长为 ,所以 , ………③ 由①②③解得 , 所以圆 C 的方程为 . …………………6 分 (2)由(1)知圆 C 的方程为 ,圆心 C ,…………8 分 假设存在互相垂直的两条直线满足条件, 当一条直线的斜率不存在,另一条直线斜率为 0 时, 点 到两条垂直直线的距离之积为 2 ,不符合题意. …………………9 分 当它们的斜率均存在时设为 , , 即 , , ………………………10 分 , , ………………………12 分 当 时,即 ,解得 , ; 当 时,即 ,解得 , .……14 分 所以存在互相垂直的两条直线方程分别为 , ; 或 , . ………………16 分 20.解: (1)当 时, ,解得 或 ;………………2 分 (2)当 时, ; 当 时, . 由 ,解得 . ………………6 分 即 ………………10 分 (3)当 时, , 在区间 既没有最大值也没有最小值,不符合题意. 当 时,由 得 , 所以 ,2 ; ………………14 分

………………12 分

当 时,由 得 , 所以 , . (其他方法参考给分)

………………16 分

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