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2014届高考数学(文科,江苏专版)大二轮专题复习第二篇 第2讲填空题的解法


第二篇 第2讲

第2讲
【题型特点概述】 1.填空题的特征

填空题的解法

填空题是不要求写出计算或推理过程,只需要将结论直接 写出的“求解题”.填空题与选择题也有质的区别:第 一,填空题没有备选项,因此,解答时有不受诱误干扰之 好处,但也有缺乏提示之不足;第二,填空题的结构往往 是在一个正确的命题或断言中,抽出其中的一些内容(既可 以是条件,也可以是结论),留下空位,让考生独立填上, 考查方法比较灵活.

第二篇 第2讲

从历年高考成绩看, 填空题得分率一直不是很高, 因为填空题 的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简,稍有毛病, 便是零分.因此,解填空题要求在“快速、准确”上下功夫, 由于填空题不需要写出具体的推理、 计算过程, 因此要想“快 速”解答填空题,则千万不可“小题大做”,而要达到“准 确”, 则必须合理灵活地运用恰当的方法, 在“巧”字上下功 夫.

第二篇 第2讲

2.解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是“小题不能大做”,基本策略是 “巧做”.解填空题的常用方法有:直接法、数形结合 法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等.

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方法一

直接法

直接法就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性 质、法则等知识,通过变形、推理、计算等,得出正确结 论,使用此法时,要善于透过现象看本质,自觉地、有意 识地采用灵活、简捷的解法.

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例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的
2

周期函数.若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f( log 1 6 )的值 为________.

解析 因为-3< log 1 6 <-2,
2

所以-1< log 1 6+2<0,
2

3 即-1< log 1 <0. 2 2
因为f(x)是周期为2的奇函数,

第二篇 第2讲

? ? ? 3? 所以f ? log 1 6 ? ? f ? log 1 ? ? ? f ? 2 ? ? 2 2?

? 3? ? ? log 1 ? ? 2 2?

3 log 3 1 2 ? ? 2 ? ? f ? log 2 ? ? ?(2 ? 1) ? ? 2? 2 ?

答案

1 - 2

第二篇 第2讲

直接法是解决计算型填空题最常用的方法,在计算 过程中,我们要根据题目的要求灵活处理,多角度思考问 题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程 简化从而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键. 本题为函数的求值问题,常常伴随函数的单调性、奇偶性、 周期性和对称性的综合应用.解题时先分析所给的自变量值 是否在已知函数的定义域范围内.

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已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且 f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m+n的 5 值为________ . 2 ? ?log2x,x≥1, 解析 f(x)=|log2x|=? ? ?-log2x,0<x<1,

根据f(m)=f(n)及f(x)的单调性,知0<m<1,n>1,
又f(x)在[ m2,n] 上的最大值为2,0<m2<m<1, 1 5 所以f(m )=2,求得m= ,n=2,于是m+n= . 2 2 5 故填 . 2
2

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方法二

特例法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结 论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时, 可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值 (或特殊函数,或特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊 点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出待求的结 论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

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例2 (2012· 湖南)如图所示,在平行四边 形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且 → → AP=3,则AP· AC=________. 18 → → → → → → → → → 解析 方法一 ∵AP· AC=AP· (AB+BC)=AP· AB+AP· BC → → → → → → → → → =AP· AB+AP· (BD+DC)=AP· BD+2AP· AB, → → ∵AP⊥BD,∴AP· BD=0. → → → → →2 又∵AP· AB=|AP||AB|cos∠BAP=|AP| , → → → ∴AP· AC=2|AP|2=2×9=18.
方法二 把平行四边形ABCD看成正方形,则P点为对角线的 交点,AC=6, → → 则AP· AC=18.

第二篇 第2讲

求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入 法,但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题, 对于开放性的问题或者有多种答案的填空题,则不能使用该 种方法求解.本题中的方法二把平行四边形看作正方形,从 而减少了计算量.

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(1)如图,在△ABC中,AD⊥ → → → → → AB, BC = 3 BD ,| AD |=1,则 AC · AD =
3 ____.
3 (2)cos2α+cos2(α+120° )+cos2(α+240° )的值为________ . 2

→ 解析 (1)不妨取|BD|=2,
π → 则|BC|=2 3,∠ADB=3,
→ → → → → → → → → ∴AC· AD=(BC-BA)· AD=BC· AD-BA· AD π =2 3×1×cos3+0= 3.

3 (2)令α=0° ,则原式=cos 0° +cos 120° +cos 240° =2.
2 2 2

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方法三

数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助 数,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷 地解决问题,得出正确的结果,Venn图、三角函数线、函 数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.

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例3 已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么

10 函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有______
个.
解析 如图,作出图象可知y=f(x)与y=|lg x|的图象共有10个

交点.

第二篇 第2讲

图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空 题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得 到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类方法 的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应 关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.

第二篇 第2讲
|x2-1| (2012· 天津)已知函数y= 的图象与函数y= x-1
(0,1)∪(1,2) . kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是__________

解析 分段表示函数,数形结合求解.
? ?x+1,x>1或x<-1, 函数可表示为y=? ? ?-x-1,-1≤x<1,

图象为如图所示的实线部分,数形结合 可知,
要使两函数图象有两个交点,则k∈(0,1)∪(1,2).

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方法四

构造法

构造型填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性 构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复 杂的数学问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基 本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括, 积极联想,横向类比,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵 感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型, 使问题快速解决.

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例4 如图,已知球O的球面上有四点A,B, C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=
6π . AB=BC= 2,则球O的体积等于______
解析 如图,以DA,AB,BC为棱长构造 正方体,

设正方体的外接球球O的半径为R, 则正方体的体对角线长即为球O的直径, 所以|CD|= ? 2?2+? 2?2+? 2?2=2R, 6 4πR3 所以R= ,故球O的体积V= = 6π. 2 3

第二篇 第2讲

构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应 用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向, 通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为 自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体,而球的直径恰 好为正方体的体对角线,问题很容易得到解决.

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(1)(2012· 辽宁)已知正三棱锥P-ABC,点P,A, B,C都在半径为 3 的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂 直,则球心到截面ABC的距离为________. (2)已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α 上的射影有可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直 线;③同一条直线;④一条直线及其外一点. 在上面的结论中,正确结论的序号是________(写出所有正确 结论的序号).

第二篇 第2讲
解析 (1)先求出△ABC的中心,再求出高,建立方程求解.

如图, 作PM⊥面ABC,设PA=a, 3 则AB= 2a,PM= 3 a. 设球的半径为R,
? 所以? ? ? ? ? ? 3 ?2 ? 6 ?2 2 + = R , a - R a ? ? 3 ? 3 ? ? ?

将R= 3代入上式, 2 3 解得a=2,所以d= 3- 3= . 3 3

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(2)用正方体ABCD—A1B1C1D1实例说明A1D1与 BC1在平面ABCD上的射影互相平行,AB1与 BC1在平面ABCD上的射影互相垂直,BC1与 DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外 一点.
3 答案 (1) 3
(2)①②④

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方法五

归纳推理法

做关于归纳推理的填空题的时候,一般是由题目的已知可 以得出几个结论(或直接给出了几个结论),然后根据这几 个结论可以归纳出一个更一般性的结论,再利用这个一般 性的结论来解决问题.归纳推理是从个别或特殊认识到一 般性认识的推演过程,这里可以大胆地猜想.

第二篇 第2讲
例5 已知f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)

=f1′(x),f3(x)=f2′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则
sin x+cos x f2 013(x)=___________.

解析 f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,

f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x, f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x, f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x, ? 由此归纳,知f(x)的周期为4,即fn(x)=fn+4(x). 所以f2 013(x)=f1(x)=sin x+cos x.

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这类问题是近几年高考的热点.解决这类问题的关 键是找准归纳对象. 如本题把函数的前几个值一一列举出来. 观察前面列出的函数值的规律,归纳猜想一般结论或周期, 从而求得函数值.

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观察下列算式,猜测由此提供的一般性法则,用 适当的数学式子表示它. 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 设这些式子的第n个为a1+a2+?+an=bn,则(a1,an)= ______________,bn=________.

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解析

观察每一个式子的首项分别为 1、3、7、13、21?均为

奇数,对它们都减去 1,
则为 0,2,6,12,20,?,

即为12-1,22-2,32-3,42-4,52-5,?. 所以归纳为n2-n+1.同理末项归纳为n2+n-1. 观察等式右边可得bn=n3.
答案 (n2-n+1,n2+n-1) n3

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1.解填空题的一般方法是直接法,除此以外,对于带有一般 性命题的填空题可采用特例法,和图形、曲线等有关的命 题可考虑数形结合法.解题时,常常需要几种方法综合使 用,才能迅速得到正确的结果.

第二篇 第2讲

2.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断是否正确的 唯一标准,因此解填空题时要注意如下几个方面: (1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算有 据、准确; (2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论; (3)要重视对所求结果的检验.


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