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四川省成都外国语学校2015届高三下学期3月月考试题 数学理 Word版含答案


成都外国语学校高 2015 届高三 3 月月考 数 学 (理工类)
审题人:于开选 出题人:于开选

本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓名、 准考证号和座位号填写在相应位置,21 世纪教育网版权所有 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上

对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号;21 教育网 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第I卷
一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1、已知全集 U ? ?? 1,1,2,3,4 ?,集合 A ? ? 1,2,3?, B ? ?2,4? ,则 (CU A) A. ? 1,2,4? C. ?? 1,2,4? B. ?2,3,4? D. ?? 1,2,3,4?
2

B 为(



开始 )

2、已知 i 是虚数单位,则复数 z ? 1 ? 2i ? 3i 所对应的点落在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、如图所示,程序框图输出的所有实数对 ? x, y ? 所对应的点 都在函数( ) A. y ? x ? 1 的图象上 C. y ? 2
x ?1

x=1,y=1

x=x+1,y=2y x<4? 否 结束 是 输出(x,y)

B. y ? 2 x 的图象上 D. y ? 2 的图象上
x

的图象上

4、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面, 给出下列条件,能得到 m ? ? 的是( A. ? ? ? , m ? ? D. m // n, n ? ? B . )

m ? ? ,? ? ?

C



m ? n, n ? ?

5、设 k ? R ,若关于 x 方程 x ? kx ? 1 ? 0 的二根分别在区间 (0,1) 和 (1, 2) 内,则 k 的取值范围 为 ( )
2

A、 (??, ?2) C、 (1,3)

(2, ??)

B、 (2, ) D、 ( ??, 2)

5 2

5 ( , ??) 2

6、 将函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 的图象向右平移 的最小值是( A、 2 7、若 f ( x) ? ? ) B、 1

3? ? , 0) , 个单位长度, 所得图象过点 ( 则? 4 4
C、

5 3


D、

1 3

1 2 x ? m ln x在(1, ??)上 是减函数,则 m 的取值范围是( 2 A . [1, ??) B . (1, ??) D. (??,1) 21cnjy.com
8、已知双曲线

C . (??,1]

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切,则 2 a b
) B. D.

该双曲线离心率等于( A.

3 5 5

6 2

C



3 2

? 上的函数 f ? x ? , f ? ? x ? 是它的导函数 , 且恒有 f ? x ? ? f ? ? x ? ? tan x 成立 , 则 9 、定义在 0 , 2 ( )
A. 3 f ? ? 2 f ? 4 3 C.

? ?

5 5

? ? ? ? 2 f ?? ? ? f ?? ? 6 4

B. f ?1? ? 2 f ? sin1 6 D.

? ? 3 f ?? ? ? f ?? ? 6 3

?4 log 2 x , 0 ? x ? 2 ? 10 、 已 知 函 数 f ? x ? ? ? 1 2 ,若存在实数 a 、 b 、 c 、 d ,满足 x ? 5 x ? 12, x ? 2 ? ? 2 f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? ? f ? d ? ,其中 d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范围是( )
A、 (16, 21) B、 ?16, 24? C、 (17, 21) D、

(18, 24)

第Ⅱ卷
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上。 ) 11、函数 f ( x) ? 1 ? tan x 的定义域为____________ 12、一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点) ,则多面体 F—MNB 的体积为
www.21-cn-jy.com

13、体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中, 要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法 有________种 14、如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB ? 2 , M 为 BC 的中点, 若 N 为正方形内(含边界)任意一点,则 AM ? AN 的取值 范围是 15、在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”。类似的,我们在平面 向量集 D= a a ? ? x, y ? , x ? R, y ? R 上也可以定义一个称“序”的关系,记为“

?

, a1 义如下:对于任意两个向量 a1 ? x1 , y1 , a2 ? ? x2 , y2 ?“
“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”。按上述定义的关系“ ①若 e1 ? ?1,0 ? , e2 ? ? 0,1? ,0 ? ? 0,0 ? , 则e1 ②若 a1 ③若 a1

?

?

”。定

?

a2” 当且仅当“ x1 ? x2 ”或

”,给出如下四个命题:

e2

0;

a2 , a2

a3 ,则 a1

a3 ; a2 ? a ;

a2 ,则对于任意 a ? D, a1 ? a

④对于任意向量 a

0,0 ? ? 0,0?,若a1

a2 , 则a ? a1 ? a ? a2 .

其中真命题的序号为__________ 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16、(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? 1 (Ⅰ )求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 f ( ) ? 2 且 c 2 ? ab ,试判断

?ABC 的形状。

C 2

17、 (本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前四项和 S4 ? 14, 且a1 , a3 , a7 成 等比。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn为数列{

求实数 ? 的最小值.

1 }的前n项和 ,若 Tn ? ? an?1对一切n ? N * 恒成立, an an ?1

18、(本小题 12 分)某高校经济管理学院在 2014 年 11 月 11 日“双 11 购物节”期间,对[25,55] 岁的人群随机抽取了 1000 人进行调查,得到各年龄段人数频率分布直方图.同时对这 1000 人是否参加“商品抢购”进行统计,结果如下表: (1)求统计表中 a 和 p 的值; (2)从年龄落在(40,50]内的参加“商品抢购”的人群中,采用分层抽样法抽取 6 人参加满意 度调查, 2· 1· c· n· j· y ①设从年龄落在(40,45]和(45,50]中抽取的人数分别为 m,n,求 m 和 n 的值;

②在抽取的 6 人中,有 2 人感到“满意”,设没感到“满意”的 2 人中年龄在(40,45]内的 人数为 X,求事件 X 的分布列和数学期望. 【来源:21·世纪·教育·网】
频率 组距

组数 第一 组 第二 组 第三 组 第四 组 第五 组 第六 组

分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55]

抢购商品 的人数 120 195 100 a 30 15

占本组的 频率 0.6 P 0.5 0.4 0.3 0.3

0.040 0.030 0.020 0.010 25 30 35 40 45 50 55 年龄(岁)

19 、 (本小题满分 12 分)在等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC , 1 AD ? BC , ?ABC ? 60 , N 是 BC 的中点.将梯形 ABCD 绕 2 AB 旋转 90 ,得到梯形 ABC ?D? (如图) .21·世纪*教育网 (1)求证: AC ? 平面 ABC ? ; (2)求证: C ?N / / 平面 ADD? ; (3)求二面角 A ? C ?N ? C 的余弦值. B

C?

D?
A D

N y

C

20、 (本小题13分)已知抛物线的顶点在坐标原点, 焦点在 y 轴上, 且过点 (2,1) 。 (Ⅰ )求抛物线的标准方程; (Ⅱ )与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于 不 同 的 两 点 M, N 若 抛 物 线 上 一 点 C 满 足
2 2

N

O C? ?( O ? M

O )? , N( ?

,求 0 ) ? 的取值范围. O

M

x

l

21、 (本小题满分 14) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x .
2

(I)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)在(1)的条件下,若 a ? 1 , h( x) ? e ? 3ae , x ? [0, ln 2] ,求 h( x) 的极小值;
3x x

(Ⅲ)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? 3x ? kx(k ? R) ,若函数 F ( x ) 存在两个零点 m, n(0 ? m ? n) ,
2

且满足 2 x0 ? m ? n ,问:函数 F ( x ) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能, 求出该切线方程,若不能,请说明理由.21·cn·jy·com

成都外国语学校高 2015 级高三 3 月月考 理科数学答案
1-10:CBCDB 11、 ( ? 13、10

?

2

? k? ,

?
4

ACADB

? k? ](k ? Z )
14、 ?0,6?

12、8/3 15、①②③

16、解: (Ⅰ ) f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2x

? 1 3 ? 2( cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin( 2 x ? ) 6 2 2 2? ? ? . ……………………5 分 周期为 T ? 2 C ? ? (Ⅱ )因为 f ( ) ? 2sin(C ? ) ? 2 ,所以 sin(C ? ) ? 1 2 6 6 ? ? ? ? ? 7? 因为 0 ? C ? ? ,所以 ? C ? ? ,所以 C ? ? ,所以 C ?
6 2 c ? a ? b ? 2ab cos C ? a ? b ? ab ? ab ,整理得 a ? b 所以三角形 ABC 为等边三角形……………………12 分
6 6 6
2 2 2 2 2

3

? ?4a1 ? 6d ? 14 2 17、解: (1)设公差为 d,由已知得: ? ? ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) ,联立解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去)
? a1 ? 2 ,故 an ? n ? 1 ……5 分 (2)? ? 的最小值为 1/16 ………12 分



X

0 1/15 …………12 分

1 8/15

2 6/15

P
X 的数学期望:4/3

19、 (1)证明:因为 AD ?

1 BC , N 是 BC 的中点。所以 AD ? NC ,又 AD / / BC 2 所以四边形 ANCD 是平行四边形,所以 AN ? DC 又因为等腰梯形, ?ABC ? 60 , 所以 AB ? BN ? AD ,所以四边形 ANCD 是菱形, z 1 C? 所以 ?ACB ? ?DCB ? 30 2 所以 ?BAC ? 90 ,即 AC ? AB 由已知可知 平面 C ?BA ? 平面 ABC , D? 因为 平面 C ?BA 平面 ABC ? AB A 所以 AC ? 平面 ABC ? ……………………4 分 (2)证明:因为 AD / / BC , AD? / / BC ? , AD AD? ? A, BC BC? ? B B N x 所以平面 ADD? / / 平面 BCC ? ? ? ? ? 又因为 C N ? 平面 BCC ,所以 C N / / 平面 ADD ………………7 分 (3)因为 AC ? 平面 ABC ? ,同理 AC ? ? 平面 ABC ,建立如图如示坐标系。设 AB ? 1 ,
则 B(1, 0, 0) , C (0, 3,0) , C?(0,0, 3) , N ( , 则 BC? ? (?1,0, 3) , CC? ? (0, ? 3, 3) 设平面 C ?NC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,有 BC ? ? n ? 0 , C ?C ? n ? 0 得 n ? ( 3,1,1) 设平面 ANC ' 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , 有 AN ? m ? 0, AC' ? m ? 0 , 得 m ? (? 3,1,0) 所以 cos ? ?

D

C

y

1 3 , 0) , 2 2

?

? ? n?m 5 ? ?? m?n 5

由图形可知二面角 A ? C ?N ? C 为钝角,所以二面角 A ? C ?N ? C 的余弦值为 ? 20、 (1) x ? 4 y ………4分
2

5 5

(2)由圆心 ? 0, ?1? 到直线 l 的距离 d ?

t ?1
2

k ?1 ? y ? kx ? t ? x 2 ? 4kx ? 4t ? 0 设交点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,由 ? 2 ? x ? 4y
其中 ? ? 16k ? 16t ? 0 ? t ? 3t ? 0 ? t ? 0或t ? ?3
2 2

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t

? x1 ? x2 ? 4k ………9 分 ? y1 ? y2 ? 4k 2 ? 2t ? x x ? ? 4 t ? 1 2 ? OC ? ? OM ? ON ? ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? (4k , 4k 2 ? 2t ) 代入 x2 ? 4 y

?

?

2 得 ? 4k ? ? ? 4? (4k ? 2t ) 2



2k 2 ? t t 1 1 ?? ? 1? 2 ? 1? ? 2 2k 2k 2 t?2

………11 分

?1 ? ? 5? t ? 0或t ? ?3 ,在 ? ??, ?3? , (0, ??) 都是单调递减函数? ? ? ? ,1? ?1, ? …13 ?2 ? ? 4?


21、解: (Ⅰ) g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x ? x ? ax, g ?( x) ?
2

1 ? 2 x ? a. x 1 由题意,知 g ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 a ? (2 x ? ) min .…… 2 分 x 1 2 又 x ? 0, 2 x ? ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立. x 2 1 故 (2 x ? ) min ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 . ……4 分 x x (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1 ? a ? 2 2. 令 e ? t ,则 t ?[1,2] ,则 h(x) ? H (t ) ?t 3 ?3at .

H ?(t ) ? 3t 2 ? 3a ? 3(t ? a )(t ? a ). ……5 分
由 H ?(t ) ? 0 ,得 t ? , a ? (1, 2 2],? a ?[1, 2 4 ] , a 或 t ? ? a (舍去)
3

①若 1 ? t ? a ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递减; h( x) 在 (0,ln a ] 也单调递减; ②若 a ? t ? 2 ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递增. h( x) 在 [ln a ,ln 2] 也单调递增; 故 h( x) 的极小值为 h(ln a ) ? ?2a a ……8 分 (Ⅲ)设 F ( x ) 在 ( x0 , F ( x0 )) 的切线平行于 x 轴,其中 F ( x) ? 2ln x ? x2 ? kx.

?2 ln m ? m2 ? km ? 0, ① ? 2 ?2 ln n ? n ? kn ? 0, ② ? 结合题意,有 ?m ? n ? 2 x0 , ③ ? ? 2 ? 2 x0 ? k ? 0, ④ ? ? x0

……10 分

m 2ln m n ? 2x . 由 ④ 得 ( ? n )m (?n ? ) k m ( ? n, )所 . 以k? ①—②得 2 ln ? m 0 n m?n
k? 2 ? 2 x0 . x0

m ? 1) m 2(m ? n) n 所以 ln ? ? . ⑤ ……11 分 m n m?n ?1 n 2(
m 2(u ? 1) ? (0,1) , ⑤ 式 变 为 ln u ? ? 0(u ? (0,1)). 设 n u ?1 2(u ? 1) y ? ln u ? (u ? (0,1)) , u ?1 1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 ? y ? ? ? ? ? 0, u (u ? 1)2 u(u ? 1)2 u(u ? 1) 2 2(u ? 1) 所 以 函 数 y ? ln u ? 在 (0,1) 上 单 调 递 增 , 因 此 , y ? y |u ?1 ? 0 , 即 u ?1 2( u? 1) l nu ? ? 0. u ?1


u?

m ? 1) m n 也就是, ln ? ,此式与⑤矛盾. m n ?1 n 所以 F ( x ) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴.……14 分 2(

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