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炜昊教育2015年高一数学讲义


炜昊教育 2015 年高一数学讲义(六) 一 新课教学
(一)函数的奇偶性定义 1.偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意: 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定 ○ 是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (二)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 二 典型例题 例 1.1、判断下列函数是否具有奇偶性。 (1) f ( x) ? x ? 4x
3

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x (5) f ( x ) ?

(3) f ( x) ? 1 (6) f ( x) ? ( x ? 1)

(4)

f ( x) ? 1 ? x ? x ? 1

1 ? x2 x?2 ?2

x ?1 1? x

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: ○ 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 2.利用函数的奇偶性求解析式 例 2 已知 f ( x) 函数为偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 x ? 0 , f ( x) 的解析式。

3.函数的奇偶性与单调性的关系 例 3.已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数

规律: 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.



巩固练习
1) f ( x ) ? 1 ; (5) f ( x) ?
2 (2) f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ; (3) f ( x ) ? x ? 1 ;

1.判断下列函数是否具有奇偶性? (4) f ( x) ? x , x ? (?1,1]
2

x ?1 ? 1? x ;

(6) f ( x ) ?

x2 ? 4 ? 4 ? x2

2、(1)对于定义域 R 上的任何奇函数 f(x)都有 ( ) ? R (A) f (x)- f (-x)<0(x ) ; (B) f (x)- f (-x) ? 0 (x ? R ) ; (C) f (x)· f (-x) ? 0(x ? R ) ; (D)f (x)·f (-x)>0(x ? R ) 。 (2)设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A) f ( x) f (? x) 是奇函数 (C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 ( )

(B) f ( x) f (? x) 是奇函数 (D) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 )

2.知 f(x)是实数集上的偶函数,且在区间 [0,+?) 上是增函数,则 f(-2),f(-? ),f(3) 的大小关系是(

A. f(-? )>f(-2)>f(3) B. f(3)>f(-? )>f(-2) C. f(-2)>f(3)>f(-? ) D. f(-? )>f(3)>f(-2) 3.已知 f(x)是奇函数,定义域为{x|x ? R 且 x ? 0},又 f(x)在(0,+ ? )上是增函数,且 f(-1)=0,则满足 f(x)>0 的 x 取值范围是.多少?

?2 x ? 3, x ? 0 ? 4. f ( x ) ? ?0, x ? 0 的奇偶性,并作出图像。 ?2 x ? 3, x ? 0 ?

四 作业布置
1.判断下列函数的奇偶性:
1 f ( x) ? ○

2x 2 ? 2x ; (2) f ( x) ? x3 ? 2x ; (3) f ( x) ? a x ?1

( x? R)

(4) f ( x) ? ?

? x(1 ? x) ? x(1 ? x)

x ? 0, x ? 0.

2.已知 f(x)=ax3+bx-4,其中 a,b 为常数,若 f(-2)=2,则 f(2)的值等于多少?

3 5 3.若 f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则 f(- )与 f(a2+2a+ )的大小关系是什 2 2 么?

4, 若函数 f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是________

ax+b 1 2 5.已知函数 f(x)= 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f( )= ,求函数 f(x)的解析式. 2 5 1+x2


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