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山东省潍坊一中2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)


山东省潍坊一中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x||x+1|<1},B={x|( ) ﹣2≥0},则 A∩?RB=() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣2,﹣1] C.(﹣1,0) D.[﹣1,0)
x

2. (5 分)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为() A.y=sinx B.y=1g2
x

C.y=lnx

D.y=﹣x

3

3. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.若命题 p:“?x0∈R 使 x0 +x0+1<0”,则¬p 为假命题 4. (5 分)如果 a>b>0,那么下列不等式一定不成立的是() A.log3a>log3b C. a +b <2a+2b﹣2
2 2 2

B. ( ) <( ) D.a﹣ >b﹣

a

b

5. (5 分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为() (锥体体积公式:V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)

A.3
2

B. 2

C.

D.1

6. (5 分) 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、 B 两点, 点 O 是坐标原点, 若|AF|=5, 则△ AOB 的面积为() A.5 B. C. D.

7. (5 分)将函数 y=cos(x﹣ 再向左平移 A.x=

)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,

个单位,所得图象的一条对称轴方程为() B.x= C.x= D.x=π

8. (5 分)已知 f(x)= x +sin ()

2

,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象是

A.

B.
2 2

C.

D.

9. (5 分)过点 P(4,2)作圆 x +y =4 的两条切线,切点分别为 A,B,O 为原点,则△ OAB 的外接圆方程是() A.(x﹣2) +(y﹣1) =5 2 (y+1) =5 D.
2 2

B.(x﹣4) +(y﹣2) =20 2 2 (x+4) +(y+2) =20

2

2

C. (x+2) +

2

10. (5 分)已知 M(x,y)落在双曲线



=1 的两条渐近线与抛物线 y =﹣2px(p>0)

2

的准线所围成的封闭区域(包括边界)内,且点 M 的坐标(x,y)满足 x+2y+a=0.若 a 的最 大值为 2 ﹣2,则 p 为() A.2 B. 4 C. 8 D.16

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 2 2 11. (5 分)已知 F 为双曲线 C:x ﹣my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近 线的距离为.

12. (5 分)设 f(x)=

,若 f(f(1) )=1,则 a=.

13. (5 分)已知向量 与 的夹角为 120°,且| |=| |=1, =

+

,则 与 的夹角大小为.

14. (5 分)一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为 α(0°<α<45°) ,在海面上向山顶的方向 行进 m 米后,测得山顶 C 的仰角为 90°﹣α,则该山的高度为米. (结果化简) 15. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 h 使得对于任意 x∈M(M?D) ,有 x+h∈M,且 f(x+h)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 h 高调函数.现给出下列命题:

①函数 f(x)=( ) 为 R 上的 1 高调函数; ②函数 f(x)=sin2x 为 R 上的 π 高调函数; 2 ③若函数 f(x)=x 为[﹣1,+∞)上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是[2,+∞) . ④函数 f(x)=1g(|x﹣2|+1)上的 2 高调函数. 其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号) .

x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知向量 =(sinx, sinx) , =(sinx,﹣cosx) ,设函数 f(x)= ? ,

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f(A)=0,b+c=7,△ ABC 的面 积为 2 ,求边 a 的长. 17. (12 分) 如图, 简单组合体 ABCDPE, 其底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PD⊥平面 ABCD, EC∥PD,且 PD=2EC=2. (1)在线段 PB 上找一点 M,使得 ME⊥平面 PBD; (2)求平面 PBE 与平面 PAB 的夹角.

18. (12 分)已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N ) ,a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1, 3 后顺次成为等比数列{bn}的前三项. (Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (Ⅱ)设 最小值. 19. (12 分)某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究,发现一天中环境污染指 数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=a| ﹣a|+a+ ,x∈[0,24],其中 a 是与气象有 ,若 恒成立,求 c 的

*

关的参数,且 a∈(0, ],用每天 f(x)的最大值作为当天的污染指数,记作 M(a) . (Ⅰ)令 t= ,x∈[0,24],求 t 的取值范围;

(Ⅱ)按规定,每天的污染指数不得超过 2,问目前市中心的污染指数是否超标? 20. (13 分)已知函数 f(x)= + ﹣lnx﹣ ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线垂直于直线 y= x. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间与极值.

21. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,以原点为圆心,椭圆的短半

轴长为半径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设斜率为 k 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 记△ AOB 面积的最大值为 Sk, 证明: S1=S2.

山东省潍坊一中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x||x+1|<1},B={x|( ) ﹣2≥0},则 A∩?RB=() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣2,﹣1] C.(﹣1,0) D.[﹣1,0)
x

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B, 根据全集 R 求出 B 的补集, 找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:由 A 中的不等式解得:﹣1<x+1<1,即﹣2<x<0, ∴A=(﹣2,0) , 由 B 中的不等式变形得: ( ) ≥2=( ) , 解得:x≤﹣1,即 B=(﹣∞,﹣1], ∵全集为 R,∴?RB=(﹣1,+∞) , 则 A∩(?RB)=(﹣1,0) . 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
x
﹣1

2. (5 分)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为() A.y=sinx B.y=1g2
x

C.y=lnx

D.y=﹣x

3

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据正弦函数的单调性,对数的运算,一次函数的单调性,对数函数的图象及单调 性的定义即可判断每个选项的正误,从而找出正确选项. 解答: 解:根据 y=sinx 图象知该函数在(0,+∞)不具有单调性; x y=lg2 =xlg2,所以该函数是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,所以选项 B 正确; 根据 y=lnx 的图象,该函数非奇非偶; 3 根据单调性定义知 y=﹣x 在(0,+∞)上单调递减. 故选 B. 点评: 考查正弦函数的单调性,对数的运算,以及一次函数的单调性,对数函数的图象, 奇偶函数图象的对称性,函数单调性的定义. 3. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 2 D.若命题 p:“?x0∈R 使 x0 +x0+1<0”,则¬p 为假命题 考点: 命题的真假判断与应用;四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 写出原命题的否命题,可判断 A;根据充要条件的定义可判断 B;根据原命题与逆否 命题真假性相同可判断 C;根据命题的否定与原命题真假性相反可判断 D. 解答: 解:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”,故 A 错误; 2 2 当“x=﹣1”时,“x ﹣5x﹣6=0”成立,当“x ﹣5x﹣6=0”时,“x=﹣1 或 x=6”,即“x=﹣1”不一定成 2 立,故“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件,故 B 错误; 命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题,故命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题,故 C 正确; 若命题 p: “?x0∈R 使 x0 +x0+1<0”为假命题,故¬p 为真命题,故 D 错误; 故选:C 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了四种命题,充要条件,复合命题等知识点, 难度不大,属于基础题. 4. (5 分)如果 a>b>0,那么下列不等式一定不成立的是() A.log3a>log3b C. a +b <2a+2b﹣2
2 2 2 2 2 2 2

B. ( ) <( ) D.a﹣ >b﹣

a

b

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数、不等式的性质即可得出.

解答: 解:∵a>b>0, ∴log3a>log3b,
2 2

, (a﹣1) +(b﹣1) ≥0,

2

2



因此 a +b <2a+2b﹣2 不成立, 故选:C. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数、不等式的性质,属于基础题. 5. (5 分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为() (锥体体积公式: V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)

A.3

B. 2

C.

D.1

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直,判断三棱锥的高 与底面三角形的形状及边长,把数据代入棱锥的体积公式计算. 解答: 解:由三棱锥的俯视图与侧视图知:三棱锥的一个侧面与底面垂直,高为 , 底面为等边三角形,边长为 2, ∴三棱锥的体积 V= × ×2× 故选:D. × =1.

点评: 本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积,判断三棱锥的结构特征及相关几何 量的数据是解题的关键. 6. (5 分) 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、 B 两点, 点 O 是坐标原点, 若|AF|=5, 则△ AOB 的面积为() A.5 B. C. D.
2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,算出抛物线的焦点坐标,从而可设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,与抛物线方程联解消去 x 可得 y ﹣ y﹣4=0,利用根与系数的关系算出 y1y2=﹣ 4.根据|AF|=5 利用抛物线的抛物线的定义算出 x1=4,可得 y1=±4,进而算出|y1﹣y2|=5,最后 利用三角形的面积公式加以计算,即可得到△ AOB 的面积. 2 解答: 解:根据题意,抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0) . 设直线 AB 的斜率为 k,可得直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) , 由 消去 x,得 y ﹣ y﹣4=0,
2 2

设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,由根与系数的关系可得 y1y2=﹣4. 根据抛物线的定义,得|AF|=x1+ =x1+1=5,解得 x1=4, 代入抛物线方程得:y1 =4×4=16,解得 y1=±4, ∵当 y1=4 时,由 y1y2=﹣4 得 y2=﹣1;当 y1=﹣4 时,由 y1y2=﹣4 得 y2=1, ∴|y1﹣y2|=5,即 AB 两点纵坐标差的绝对值等于 5. 因此△ AOB 的面积为: S=△ AOB=S△ AOF+S△ BOF= |OF|?|y1|+ |OF|?|y2|= |OF|?|y1﹣y2|= ×1×5= . 故选:B
2

点评: 本题给出抛物线经过焦点 F 的弦 AB,在已知 AF 长的情况下求△ AOB 的面积.着重 考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识,属于中档题.

7. (5 分)将函数 y=cos(x﹣ 再向左平移 A.x=

)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,

个单位,所得图象的一条对称轴方程为() B.x= C.x= D.x=π

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由条件根据函数 y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,可得 结论. 解答: 解: 将函数 y=cos (x﹣ 可得函数 y=cos( x﹣ 再向左平移 令 x﹣ ) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) ,

)的图象; )﹣ ]=cos( x﹣ )图象,

个单位,可得函数 y=cos[ (x+ , ,

=kπ,k∈z,求得 x=2kπ+

故所得函数的图象的一条对称轴方程为 x=

故选:C. 点评: 本题主要考查函数 y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属 于基础题.
2

8. (5 分)已知 f(x)= x +sin ()

,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象是

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的单调性与导数的关系;函数的图象. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先化简 f(x)= x +sin
2

= x +cosx,再求其导数,得出导函数是奇函数, , )上单调

2

排除 B,D.再根据导函数的导函数小于 0 的 x 的范围,确定导函数在(﹣ 递减,从而排除 C,即可得出正确答案. 解答: 解:由 f(x)= x +sin
2

= x +cosx,

2

∴f′(x)= x﹣sinx,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除 B,D. 又 f″(x)= ﹣cosx,当﹣ 故函数 y=f′(x)在区间(﹣ <x< , 时,cosx> ,∴f″(x)<0, )上单调递减,故排除 C.

故选:A. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.

9. (5 分)过点 P(4,2)作圆 x +y =4 的两条切线,切点分别为 A,B,O 为原点,则△ OAB 的外接圆方程是() A.(x﹣2) +(y﹣1) =5 2 (y+1) =5 D.
2 2

2

2

B.(x﹣4) +(y﹣2) =20 2 2 (x+4) +(y+2) =20

2

2

C. (x+2) +

2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意知 OA⊥PA,BO⊥PB,四边形 AOBP 的四个顶点在同一个圆上,此圆的直径 是 OP,△ AOB 外接圆就是四边形 AOBP 的外接圆. 解答: 解:由题意知,OA⊥PA,BO⊥PB, ∴四边形 AOBP 有一组对角都等于 90°, ∴四边形 AOBP 的四个顶点在同一个圆上,此圆的直径是 OP, ∵OP 的中点为(2,1) ,OP=2 , 2 2 ∴四边形 AOBP 的外接圆的方程为 (x﹣2) +(y﹣1) =5, 2 2 ∴△AOB 外接圆的方程为 (x﹣2) +(y﹣1) =5. 故选:A 点评: 本题考查圆的标准方程的求法,把求△ AOB 外接圆方程转化为求四边形 AOBP 的外 接圆方程,体现了转化的数学思想.

10. (5 分)已知 M(x,y)落在双曲线



=1 的两条渐近线与抛物线 y =﹣2px(p>0)

2

的准线所围成的封闭区域(包括边界)内,且点 M 的坐标(x,y)满足 x+2y+a=0.若 a 的最 大值为 2 ﹣2,则 p 为() A.2 B. 4 C. 8 D.16 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的渐近线公式和抛物线准线的公式,求出三条直线方程,从而得到可行 域是图中△ ABO 及其内部,然后利用直线平移法,即可求得结论. 解答: 解:双曲线
2



=1 的渐近线方程为 y=±

x,抛物线 y =﹣2px 的准线为 x= ,

2

∴抛物线 y =﹣8x 的准线为 x=2, 因此作出三条直线,得可行域是△ ABO 及其内部(如图) 将直线 l:y=﹣ x﹣ 进行平移,可得 当直线 y=﹣ x﹣ 过点( ,﹣ ∴amax=﹣ + ∴p=4 故选:B. p=2 ﹣2, p)时,目标函数 a=﹣x﹣2y 有最大值

点评: 本题以简单的线性规划为载体,求目标函数的最大值,着重考查了双曲线、抛物线 的标准方程和基本概念和简单的线性规划等知识,属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知 F 为双曲线 C:x ﹣my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近 线的距离为 . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将双曲线的方程化为标准方程,求出焦点,以及一条渐近线方程,再由点到直线的 距离公式,计算即可得到. 解答: 解:双曲线 C:x ﹣my =3m 即为 则设 F( ,0) ,一条渐近线方程为 y= = .
2 2 2 2

﹣ x,

=1,

则 F 到渐近线的距离为 d=

故答案为: . 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查点到直线的距离的公 式,考查运算能力,属于基础题.

12. (5 分)设 f(x)=

,若 f(f(1) )=1,则 a=1.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 先根据分段函数求出 f(1)的值,然后将 0 代入 x≤0 的解析式,最后根据定积分的 定义建立等式关系,解之即可. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(1)=0,则 f(f(1) )=f(0)=1 a 2 3 a 3 即∫0 3t dt=1=t |0 =a 解得:a=1 故答案为:1.

点评: 本题主要考查了分段函数的应用,以及定积分的求解,同时考查了计算能力,属于 基础题.

13. (5 分)已知向量 与 的夹角为 120°,且| |=| |=1, = 30°. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 向量 与 的夹角为 120°,且| |=| |=1,可得 . 出. 解答: 解:∵向量 与 的夹角为 120°,且| |=| |=1, ∴ = = =cos120°=﹣ . = = = . = . = = . = =﹣

+

,则 与 的夹角大小为

. 利用

=

即可得



=

=

=



∴ 与 的夹角大小为 30°. 故答案为:30°. 点评: 本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题. 14. (5 分)一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为 α(0°<α<45°) ,在海面上向山顶的方向 行进 m 米后,测得山顶 C 的仰角为 90°﹣α,则该山的高度为 米. (结果化简)

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由题可知, 在图中直角三角形, 在 Rt△ OBC 中,利用 α 角的正切求出 BC;在△ ACD 中,利用正弦定理,求出山高 h. 解答: 解:令 OC=h,在 Rt△ OBC 中,由 sin(90°﹣α)= ,得 BC= ,

在△ ACB 中,由正弦定理可知 h= 即山高为: 故答案为: . . .

=



点评: 本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用正弦定理解三角形. 15. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 h 使得对于任意 x∈M(M?D) ,有 x+h∈M,且 f(x+h)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 h 高调函数.现给出下列命题: ①函数 f(x)=( ) 为 R 上的 1 高调函数; ②函数 f(x)=sin2x 为 R 上的 π 高调函数; ③若函数 f(x)=x 为[﹣1,+∞)上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是[2,+∞) . ④函数 f(x)=1g(|x﹣2|+1)上的 2 高调函数. 其中正确命题的序号是②③④(写出所有正确命题的序号) . 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①函数 f(x)=2 为 R 上的递减函数,可判断①的正误; ②由正弦函数的性质知函数 f(x)=sin2x 为 R 上的 π 高调函数,从而可判断②的正误; 2 ③函数 f(x)=x 为[﹣1,+∞)上 m 高调函数,只有[﹣1,1]上至少需要加 2,从而可求实 数 m 的取值范围; ④f(x+2)=lg(|x|+1)≥f(x) ,知函数 f(x)=lg(|x﹣2|+1)为[1,+∞)上的 2 高调函数, 从而可知④的正误. 解答: 解:①∵函数 f(x)=( ) 为 R 上的递减函数,故不存在 x+l∈D,使得 f(x+l)≥f (x) ,故①不正确; ②∵sin2(x+π)≥sin2x, ∴函数 f(x)=sin2x 为 R 上的 π 高调函数,故②正确; 2 ③如果定义域为[﹣1,+∞)的函数 f(x)=x 为[﹣1,+∞)上 m 高调函数, 只有[﹣1,1]上至少需要加 2, ∴实数 m 的取值范围是[2,+∞) ,故③正确; ④∵f(x)=lg(|x﹣2|+1) ,x∈[1,+∞) , ∴f(x+2)=lg(|x|+1)≥f(x) , ∴函数 f(x)=lg(|x﹣2|+1)为[1,+∞)上的 2 高调函数,故④正确; 综上可知,真命题为②③④.
x
﹣x

x

2

故答案为:②③④ 点评: 本题考查了函数单调性的判断与说明,以及基本初等函数的性质,对于一个新定义 的概念,解题时要注意理解与把握. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知向量 =(sinx, sinx) , =(sinx,﹣cosx) ,设函数 f(x)= ? ,

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f(A)=0,b+c=7,△ ABC 的面 积为 2 ,求边 a 的长. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;余弦定理. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)首先通过三角函数的恒等变换,把函数关系式变形成正弦型函数,进一步求 出函数的周期和单调区间. (Ⅱ)利用上步求得的函数关系式,利用定义域和三角形的面积求出角 A 的大小,进一步利 用余弦定理求出边 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)已知向量 =(sinx, 设函数 f(x)= ? = = = 所以函数的最小正周期为: 令: 解得: 所以函数的单调递减区间为:[ (Ⅱ)由 f(x)= 又因为:f(A)=0,0<A<π 所以: 所以: 解得: ](k∈Z) , (k∈Z) ﹣ sinx) , =(sinx,﹣cosx) ,

又△ ABC 的面积为 2 所以: 解得:bc=8 b+c=7 利用余弦定理:a =b +c ﹣2bccosA 解得:a=5 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变形,正弦型函数的周期和单调区间 的确定,利用三角形的角的范围求出角的大小,余弦定理的应用,属于基础题型. 17. (12 分) 如图, 简单组合体 ABCDPE, 其底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PD⊥平面 ABCD, EC∥PD,且 PD=2EC=2. (1)在线段 PB 上找一点 M,使得 ME⊥平面 PBD; (2)求平面 PBE 与平面 PAB 的夹角.
2 2 2

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)M 为线段 PB 的中点,连接 AC 与 BD 交于点 F,连接 MF,由 F 为 BD 的中点, 知 MF∥PD 且 MF= PD.由 EC∥PD,且 EC= PD,知四边形 MFCE 为平行四边形,由此能 证明 ME⊥面 PDB; (2)求出 E 到平面 PAB 的距离、ME,即可求出平面 PBE 与平面 PAB 的夹角. 解答: (1)证明:M 为线段 PB 的中点,连接 AC 与 BD 交于点 F,连接 MF, ∵F 为 BD 的中点,∴MF∥PD 且 MF= PD. 又 EC∥PD,且 EC= PD, ∴MF∥EC,且 MF=EC, ∴四边形 MFCE 为平行四边形, ∴ME∥FC. ∵DB⊥AC,PD⊥平面 ABCD,AC?面 ABCD,∴AC⊥PD. 又 PD∩BD=D,∴AC⊥面 PBD,∴ME⊥面 PDB; (2)解:△ PBE 中,BE=PE= ,PB=2 ,∴ME= , ∵E 到平面 PAB 的距离等于 PD 中点到 PA 的距离,

∴E 到平面 PAB 的距离等于



∴平面 PBE 与平面 PAB 的夹角的补角的余弦值为 , ∴平面 PBE 与平面 PAB 的夹角为 .

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查平面与平面所成的二面角大小的求法,解题 时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 18. (12 分)已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N ) ,a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1, 3 后顺次成为等比数列{bn}的前三项. (Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (Ⅱ)设 最小值. 考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ) 设 d、 q 分别为数列{an}、 数列{bn}的公差与公比, a1=1. 由题可知, a1=1, a2=1+d, a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2,+d,4+2d 是等比数列{bn}的前三项,从而可得(2+d) 2 =2(4+2d) ,根据 an+1>an,可确定公差的值,从而可求数列{an}的通项,进而可得公比 q, 故可求{bn}的通项公式 (Ⅱ)表示出 ,利用错位相减法求和,即可求 ,若 恒成立,求 c 的
*

得 c 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)设 d、q 分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比,a1=1. 由题可知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2,+d,4+2d 是等比数列{bn} 的前三项, 2 ∴(2+d) =2(4+2d)?d=±2. ∵an+1>an, ∴d>0. ∴d=2, * ∴an=2n﹣1(n∈N ) .

由此可得 b1=2,b2=4,q=2, n * ∴bn=2 (n∈N ) . (Ⅱ) ,①



.②

①﹣②,得 ∴Tn=3﹣ ∴Tn+ .

= +2(

+

+…+

)﹣



﹣ =3﹣ ≤2, 恒成立的最小整数值为 c=2.

∴满足条件

点评: 本题以等差数列与等比数列为载体,考查数列通项公式的求解,考查数列与不等式 的综合,考查错位相减法求数列的和,综合性强 19. (12 分)某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究,发现一天中环境污染指 数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=a| ﹣a|+a+ ,x∈[0,24],其中 a 是与气象有

关的参数,且 a∈(0, ],用每天 f(x)的最大值作为当天的污染指数,记作 M(a) . (Ⅰ)令 t= ,x∈[0,24],求 t 的取值范围;

(Ⅱ)按规定,每天的污染指数不得超过 2,问目前市中心的污染指数是否超标? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用取倒数,求导数,确定函数的单调性,可得 t 的取值范围; (Ⅱ)分段求出每天的综合放射性污染指数不超过 2 时 a 的范围,即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)当 x=0 时,t=0; 当 0<x≤24 时, =x+ . 对于函数 y=x+ ,∵y′=1﹣ ,

∴当 0<x<1 时,y′<0,函数 y=x+ 单调递减,当 1<x≤24 时,y′>0,函数 y=x+ 单调递增, ∴y∈[2,+∞) . 综上,t 的取值范围是[0, ];

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 t 的取值范围是[0, ];

当 a∈(0, ]时,记 g(t)=|t﹣a|+a+

,则 g(t)=

∵g(t)在[0,a]上单调递减,在(a, ]上单调递增, ∴g(t)的最大值只可能在 t=0 或 t= 时取得. 从而 M(a)=g( )=﹣a + a+
2





,解得 0<a≤ ,

∴a∈(0, ]时,污染指数不超标;a∈( , ]时,污染指数超标. 点评: 本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想,考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题. 20. (13 分)已知函数 f(x)= + ﹣lnx﹣ ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线垂直于直线 y= x. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间与极值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函 数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 y= x 可得 f′(1)=﹣ 2,可求出 a 的值; (Ⅱ)根据(I)可得函数的解析式和导函数的解析式,分析导函数的符号,进而可得函数 f (x)的单调区间与极值. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= + ﹣lnx﹣ , ∴f′(x)= ﹣ ﹣ ,

∵曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 y= x. ∴f′(1)= ﹣a﹣1=﹣2,

解得:a= .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)= +

﹣lnx﹣ ,

f′(x)= ﹣

﹣ =

(x>0) ,

令 f′(x)=0, 解得 x=5,或 x=﹣1(舍) , ∵当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0, 故函数 f(x)的单调递增区间为(5,+∞) ; 单调递减区间为(0,5) ; 当 x=5 时,函数取极小值﹣ln5. 点评: 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调 性,利用导数研究函数的极值,是导数的综合应用,难度中档.

21. (14 分)已知椭圆 C: 轴长为半径的圆与直线 x﹣y+ (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为 =0 相切.

,以原点为圆心,椭圆的短半

(Ⅱ) 设斜率为 k 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 记△ AOB 面积的最大值为 Sk, 证明: S1=S2. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由离心率及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切求出 a,b,从 而得到椭圆的方程; (Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出|AB|的距离,表示出△ OAB 的面积,利用基本 不等式求最值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,e =( ) =
2 2 2 2

=

= ,

则 a =2b ; 又∵原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+ 则 b=
2 2

=0 相切,

=1,

∴b =1,a =2; ∴椭圆 C 的方程为 +y =1;
2

(Ⅱ)证明:设直线 l 的方程为 y=kx+m,k=1 或 2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 可得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0,
2 2 2

所以△ =16k ﹣8m +8>0(*) x1+x2= ,x1x2= ,

2

2

|AB|=

?

=

?



由原点 O 到直线 y=kx+m 的距离 d=



S△ AOB= |AB|?d=



当 k=1 时,由 S△ AOB= 当 m = 时,S△ AOB 的面积的最大值为 S1= 当 k=2 时,由 S△ AOB= 当 m = 时,S△ AOB 的面积的最大值为 S2=
2 2

, ,验证(*)成立; , ,验证(*)成立.

即有 S1=S2. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用,联立直线 方程,运用韦达定理和弦长公式,以及基本不等式求最值,属于中档题.


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