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高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教案 新人教A版必修1


3.2.2

函数模型的应用实例

[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.

[预习导引] 1.解决函数应用问题的基本步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原. 这些步骤用框图表示如图:

2.数学模型 就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题, 得出关 于实际问题的数学描述. 解决学生疑难点

要点一 用已知函数模型解决问题 例 1 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述 问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保 持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌 握和接受概念的能力(f(x)值越大, 表示接受的能力越强), x 表示提出和讲授概念的时间(单 位:min),可有以下的公式:

1

-0.1x +2.6x+43,0<x≤10, ? ? f(x)=?59,10<x≤16, ? ?-3x+107,16<x≤30. (1)开始后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)开讲后 5 min 与开讲后 20 min 比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 min 时间,老师能否及时在学生一直达到所 需接受能力的状态下讲授完这个难题? 解 (1)当 0<x≤10 时,

2

f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9.
故 f(x)在(0,10]上单调递增,最大值为

f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59;
当 16<x≤30 时,f(x)单调递减,

f(x)<-3×16+107=59.
因此,开讲后 10 min,学生达到最强的接受能力(值为 59),并维持 6 min. (2)f(5)=-0.1×(5-13) +59.9=59.9-6.4=53.5,
2

f(20)=-3×20+107=47<53.5=f(5).
因此,开讲后 5 min 学生的接受能力比开讲后 20 min 强一些. (3)当 0<x≤10 时,令 f(x)=55, 则-0.1×(x-13) =-4.9,(x-13) =49. 所以 x=20 或 x=6.但 0<x≤10, 故 x=6. 当 16<x≤30 时,令 f(x)=55,则-3x+107=55. 1 所以 x=17 . 3 因此,学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为 1 1 17 -6=11 <13(min), 所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这 3 3 道难题. 规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题, 关键是考虑该题考查的是哪种函数, 并要注 意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答. 解决此类型函数应用题的基本步骤是: 第一步:阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景.在此基础上,分 析出已知是什么,所求是什么,并从中提炼出相应的数学问题.
2 2

2

第二步:根据所给模型,列出函数关系式. 根据问题的已知条件和数量关系, 建立函数关系式, 在此基础上将实际问题转化为一个函数 问题. 第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果. 第四步:再将所得结论转译成具体问题的解答. 跟踪演练 1 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为 y(升)关于行驶速 1 3 度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为:y= x3- x+8(0<x≤120).已知甲、乙两 12 800 80 地相距 100 千米.当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? 解 当 x = 40 时 , 汽 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 了 100 = 2.5( 小 时 ) , 要 耗 油 40

? 1 ×403- 3 ×40+8?×2.5=28.75(升),即当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时, ?12 800 ? 80 ? ?
从甲地到乙地耗油 28.75 升. 要点二 建立函数模型解决实际问题 例 2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度 为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 / 时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时) 解 (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
?200a+b=0, ? 再由已知得? ?20a+b=60, ?

1 ? ?a=-3, 解得? 200 ?b= 3 . ? 故函数 v(x)的表达式为 60,0≤x≤20, ? ? v(x)=?1 ?200-x?,20≤x≤200. ? ?3 (2)依题意并由(1)可得

3

60x,0≤x≤20, ? ? f(x)=?1 x?200-x?,20≤x≤200. ? ?3 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x) 3 1 2 200 1 2 =- x + x=- (x -200x) 3 3 3 1 10 000 2 =- (x-100) + , 3 3 所以当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 10 000 . 3 10 000 ≈3 333, 3

综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时. 规律方法 根据收集到的数据的特点,通过建立函数模型,解决实际问题的基本过程,如下 图所示.

跟踪演练 2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 M(亿元)和 N(亿元),它 1 们与投资额 t(亿元)的关系有经验公式:M= 3

t,N= t,今该公司将用 3 亿元投资这两个

1 6

项目,若设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元. (1)写出 y 关于 x 的函数表达式; (2)求总利润 y 的最大值. 1 解 (1)当甲项目投资 x 亿元时,获得利润为 M= x(亿元),此时乙项目投资(3-x)亿元, 3 1 1 1 获得利润为 N= (3-x)(亿元),则有 y= x+ (3-x),x∈[0,3]. 6 3 6 (2)令 x=t,t∈[0, 3],则 x=t , 1 1 1 2 2 2 此时 y= t+ (3-t )=- (t-1) + . 3 6 6 3
4
2

2 ∵t∈[0, 3],∴当 t=1,即 x=1 时,y 有最大值为 . 3 2 即总利润 y 的最大值是 亿元. 3

1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系, 如图所示, 由图中 给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )

A.310 元 B.300 元 C.390 元 D.280 元 答案 B 解析 由图象知,该一次函数过(1,800),(2,1 300),可求得解析式 y=500x+300(x≥0), 当 x=0 时,y=300. 2. 小明的父亲饭后出去散步, 从家中走 20 分钟到一个离家 900 米的报亭看 10 分钟报纸后, 用 20 分钟返回家里,下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是 ( )

答案 D 3.某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,??现有 2 个这样的细胞,分 裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的函数关系是( A.y=2x B.y=2 C.y=2 答案 D 解析 分裂一次后由 2 个变成 2×2=2 个,分裂两次后 4×2=2 个,??,分裂 x 次后 y =2
x+1
2 3

)

x-1

x

D.y=2

x+1

个.

5

4. 长为 3, 宽为 2 的矩形, 当长增加 x, 宽减少 时, 面积达到最大, 此时 x 的值为________. 2 答案 1 2

x

解析 S=(3+x)(2- )=- + +6 2 2 2 1 1 2 49 =- (x- ) + , 2 2 8 1 49 ∴x= 时,Smax= . 2 8

x

x2 x

1.函数模型的应用实例主要包括三个方面: (1)利用给定的函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决实际问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要 检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求. 3.在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语言,如引入字母,列表,画图 等使实际问题数学符号化.

一、基础达标 1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先前进了 a km, 觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了 b km(b<

a),当他记起诗句“不到长城非好汉”,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时
间的函数关系图象大致为( )

答案 C 解析 由题意可知,s 是关于时间 t 的一次函数,所以其图象特征是直线上升.由于中间休 息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回,图象下降,再 调转车头继续前进,则直线一致上升. 2.国内快递 1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表:

6

运送距离

0<x≤ 500 5.00

500<x≤ 1 000 6.00

1 000<x≤ 1 500 7.00

x(km)
邮资 y(元)

? ? )

如果某人在西安要快递 800 g 的包裹到距西安 1 200 km 的某地,那么他应付的邮资是( A.5.00 元 B.6.00 元 C.7.00 元 D.8.00 元 答案 C 解析 由题意可知,当 x=1 200 时,y=7.00 元.

3. 某机器总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=x -75x, 若每台机器售价为 25 万元,则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( A.30 B.40 C.50 答案 C 解析 设安排生产 x 台,则获得利润 D.60 )

2

f(x)=25x-y=-x2+100x
=-(x-50) +2 500. 故当 x=50 台时,获利润最大. 4 . 根 据 统 计 , 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 : 分 钟 ) 为 f(x) =
2

c ? ? x,x<A, ?c ? ? A,x≥A

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 min,组装第 A 件产

品用时 15 min,那么 c 和 A 的值分别是( A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 答案 D

)

解析 由题意知,组装第 A 件产品所需时间为 30,解得 c=60.将 c=60 代入

c c =15,故组装第 4 件产品所需时间为 = A 4

c =15,得 A=16. A

5.某工厂生产某产品 x 吨所需费用为 P 元,而卖出 x 吨的价格为每吨 Q 元,已知 P=1 000 1 2 x +5x+ x ,Q=a+ ,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为 150 吨时利润最大,此时 10 b 每吨的价格为 40 元,则有( )

A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45 C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30 答案 A
7

解析 设生产 x 吨产品全部卖出,获利润为 y 元, 1 2? ? x? ? 则 y=xQ-P=x?a+ ?-?1 000+5x+ x ? b 10

?

? ?

?

?1 1 ? 2 =? - ?x +(a-5)x-1 000(x>0). ?b 10?
由题意知,当 x=150 时,y 取最大值,此时 Q=40.

? 2??1- 1 ??=150, ∴? ?b 10? 150 ?a+ b =40,


a-5

解得?

?a=45, ? ?b=-30. ?

6.已测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x +1,乙:y=3x -1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用________作为拟合模型较好. 答案 甲 解析 对于甲:x=3 时,y=3 +1=10, 对于乙:x=3 时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好. 7.武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份 0.40 元,卖出的价格是每份 0.50 元,卖不掉的报纸还可以以每份 0.08 元的价格退回报社.在一个月(以 30 天计算)里, 有 20 天每天可卖出 400 份, 其余 10 天每天只能卖出 250 份, 但每天从报社买进的份数必须 相同, 他应该每天从报社买进多少份, 才能使每月所获得的利润最大?并计算他一个月最多 可赚得多少元? 解 设报摊主每天买进报纸 x 份,每月利润为 y 元(x 为正整数). 当 x≤250 时,y=0.1×30×x=3x. 当 250≤x≤400 时,
2

2

y=0.1×20×x+0.1×10×250-(x-250)×0.32×10
=2x+250-3.2x+800 =1 050-1.2x. 当 x≥400 时,

y=0.1×20×400+0.1×10×250-(x-400)×0.32×20-(x-250)×0.32×10
=800+250-6.4x+2 560-3.2x+800 =-9.6x+4 410. 当 x≤250 时,取 x=250,ymax=3×250=750(元). 当 250≤x≤400 时,取 x=250,ymax=750(元). 当 x≥400 时,取 x=400,ymax=570(元). 故他应该每天从报社买进 250 份报纸,才能使每月所获得的利润最大,最大值为 750 元.
8

二、能力提升 8.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为 a,经过 t 天后体 积 V 与天数 t 的关系式为: V=a·e 8 变为 a,则需经过的天数为( 27 A.125 B.100 C.75 D.50 答案 C 4 ?4? -50k -k 解析 由已知,得 a=a·e ,∴e =? ? 50 . 9 ?9? 8 设经过 t1 天后,一个新丸体积变为 a,则 27 8 a=a·e-kt1, 27
1 4? 50 8 ? -k ∴ =(e )t1=? ? , 27 ?9?

-kt

4 .已知新丸经过 50 天后, 体积变为 a.若一个新丸体积 9

)

1

t

t1 3 ∴ = ,t1=75. 50 2
9.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数 t=-144lg?1- ?中,t 表 ? 90? 示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N 表示每分钟打出的字数.则当 N=40 时,t= ________(已知 lg 2≈0.301,lg 3≈0.477). 答案 36.72 5 ? 40? 解析 当 N=40 时,则 t=-144lg?1- ?=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)=36.72. 9 ? 90? 10.如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积 y(m )与时间 t(月)的关系 y=a ,有以下几种说法:
2

?

N?

t

①这个指数函数的底数为 2; ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30 m ; ③浮萍从 4 m 蔓延到 12 m 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等. 其中正确的命题序号是________.
9
2 2 2

答案 ①② 解析 由图象知,t=2 时,y=4, ∴a =4,故 a=2,①正确. 当 t=5 时,y=2 =32>30,②正确, 当 y=4 时,由 4=2t1 知 t1=2, 当 y=12 时,由 12=2t2 知 t2=log212=2+log23.
5 2

t2-t1=log23≠1.5,故③错误;
浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误. 11.在对口扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品 专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙, 并约定从该店经营的利润中, 首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后, 逐步偿还转让费(不计息).根据甲提供的资料有:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该 店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如下图所示;③每月需各种开支 2 000 元.

(1)当商品的价格为每件多少元时, 月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额. (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 解 设该店月利润余额为 L,则由题设得:

L=Q(P-14)×100-3 600-2 000.①
-2P+50,14≤P≤20, ? ? 由销量图易得:Q=? 3 - P+40,20<P≤26, ? ? 2 代入①式得 ?-2P+50??P-14?×100-5 600,14≤P≤20, ? ? L=? 3 ?- P+40??P-14?×100-5 600,20<P≤26, ? 2 ? (1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450(元), 此时 P=19.5(元); 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= (元),此时 P= (元). 3 3 故当 P=19.5(元)时,月利润余额最大,最大余额为 450 元. (2)设可在 n 年后脱贫,依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20.
10

即最早可望在 20 年后脱贫. 三、探究与创新 12.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0,经过一

?1? 其中 T 表示环境温度, 定时间 t 后的温度是 T, 则 T-Ta=(T0-Ta)·? ? h , h 称为半衰期. 现 a ?2?
有一杯用 88℃热水冲的速溶咖啡,放在 24℃的房间中,如果咖啡降温到 40℃需要 20 min, 那么降温到 35℃时,需要多少时间?

t

?1? 解 由题意知 40-24=(88-24)·? ? ?2?
1 ?1? 即 =? ? 4 ?2?
20 h

20 h



,解得 h=10.
t

?1? 故 T-24=(88-24)·? ? 10 . ?2?
当 T=35 时,代入上式,得

?1? 35-24=(88-24)·? ? 10 , ?2?
11 ?1? 即? ? 10 = . 2 64 ? ? 两边取对数,用计算器求得 t≈25. 因此,约需要 25 min,可降温到 35℃. 13. 今年冬季, 我国大部分地区遭遇雾霾天气, 给人们的健康、 交通安全等带来了严重影响. 经 研究, 发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素, 污染治理刻不容缓. 为此, 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备, 使产生的废气经过过滤后排放, 以降低对空气 的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量 P(单位:mg/L)与过滤时间 t(单位:小时)间的 关系为 P=P0e
-kt

t

t

(P0,k 均为非零常数,e 为自然对数的底数),其中 P0 为 t=0 时的污染物

数量.若经过 5 小时过滤后还剩余 90%的污染物. (1)求常数 k 的值; (2)试计算污染物减少到 40%至少需要多少时间(精确到 1 小时, 参考数据: ln 0.2≈-1.61, ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11.) 解 (1)由已知,当 t=0 时,P=P0; 当 t=5 时,P=90%P0. 于是有 90%P0=P0e
-5k

.

1 解得 k=- ln 0.9(或 0.022). 5

11

(2)由(1)得,知 P= P0 e

?1 ? ? In 0.9 ? ?t ? ?5 ?

.

当 P=40%P0 时,有 0.4P0= P0 e

?1 ? ? ? 5 In 0.9 ? ?t ? ?

.

ln 0.4 -0.92 4.60 解得 t= ≈ = ≈41.82. 1 1 0.11 ln 0.9 ×?-0.11? 5 5 故污染物减少到 40%至少需要 42 小时.

12


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