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2.线线、线面、面面垂直


周末 2:异面直线、线面平行、线面垂直
一、空间直线的位置关系 1、知识梳理
?平行 ?共面直线? ? ?相交 (1)位置关系的分类:? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角: ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a

与 b 所成的角(或夹角). π? ②范围:? ?0,2?. (3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 2 例题 (1) .对于任意的直线 l 与平面 α,在平面 α 内必有直线 m,使 m 与 l( A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 (2) .已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 α∩β=c,那么直线 c 一定( A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 ) ) )

C.至少与 a,b 中的一条相交

(3) .若 P 是两条异面直线 l,m 外的任意一点,则(

A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 (4)如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC= AA1,∠ABC=90° ,点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是( ) C.90° D.120°

A.45° B.60°

(5) .过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD, AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 (6) .A 是△BCD 所在平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点, (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. )

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2、线面、面面平行 1、知识梳理 (1) . 转化与化归思想——平行问题中的转化关 系 (2) .判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行, 因此掌握线面平行的判定方法是必要的, 判定线面 平行的两种方法: ①利用线面平行的判定定理; ②利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面. 2、例题 例 1.如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的每条棱长均为 2, (1)求证:A1B//面 AEC1 ; (2)求 A1B 与 C1E 所成的角。

E 为 BC 中点.

A1 B1
A B
A

C1

C E
A

例 2.已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取 一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH,求证:AP//GH P M G D H A B C

例 3.如图,线段 AB、CD 所在直线是异面直线,E、F、G、H 分别是线段 AC、CB、BD、DA 的 中点。 (1) 求证:E、F、G、H 共面并且所在的平面平行于直线 AB 和 CD A (2) 设 P、Q 分别是 AB 和 CD 上任意一点,求证 PQ 被平面 EFGH 平分 E P C F B Q G H D

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三、直线与平面垂直 1.知识梳理 (1)直线和平面垂直的定义: 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理: 文字语言 一条直线与一个平面内的两 判定定理 条相交直线都垂直,则该直 线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直 线平行 图形语言 符号语言 a,b?α l⊥a l⊥b

a∩b=O

? ? ? ?l⊥α ? ?

性质定理

a⊥α? ? ??a∥b ? b⊥α?

2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 一个平面过另一个平面 判定定理 的垂线,则这两个平面 互相垂直 两个平面互相垂直,则 性质定理 一个平面内垂直于交线 的直线垂直于另一个平 面
? l?β? ??α⊥β l⊥α? ?

图形语言

符号语言

? ? ??l⊥α α∩β=a ? ? l⊥a
α⊥β l?β

(3) 三垂线定理为:__________________________ ________________ (4) 三垂线定理的逆定理为:____________________ _________________ 2、例题 1.已知 ? ABC,P 是 ? ABC 外的一点,点 O 是点 P 在 ? ABC 内的射影 (1)若 P 到 ? ABC 三个顶点的距离相等,则 O 点一定是 ? ABC 的________________心. (2)若 P 到 ? ABC 的三边距离相等,则 O 点一定是 ? ABC 的_______________心 (3)若 PA ? BC、PB ? AC,则 O 点一定是 ? ABC 的_______________心 (4)若 ?ACB ? 90 , ?BAC ? 30 ,BC=5,PA=PB=PC=10,则 PO 的长等于__________
? ?

2.定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ? ? , PB ? ? ,C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点,且

PC ? AC 。那么,动点 C 在平面 ? 内的轨迹是
A.一条线段,但要去掉两个点; C.一个椭圆,但要去掉两个点;

( ) B.一个圆,但要去掉两个点; D.半圆,但要去掉两个点;

(变式)点 A ? ? , P ? ? , B ? ? ,且 PA 是 ? 的斜线, PA ? PB ,则 B 在 ? 内的轨迹是

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3.如图,PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AE⊥ PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE ⊥平面 PBC,其中真命题的序号是________.

例1 .矩形ABCD中, AB ? 1, BC ? a(a ? 0), PA ? 平面AC, 且PA ? 1,问BC边上是否存在点 Q 使得PQ ? QD, 并说明理由 .

例2.如图,已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1的底面是菱形 , 且?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD. (1)证明 : C1C ? BD. (2)当 CD 的值为多少时 , 能使A1C ? 平面C1 BD ? 请给出证明 . CC1

例3.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF.且EC ? 平面ABCD, AB ? 2 , AF ? 1, M是线段EF的中点. (1)求证AM // 平面BDE; (2)求证AM ? 平面BDF

2.在正方形SG1G2 G3中,E、F分别是边G1G2、G2 G3的中点,D是EF的中点, 现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个 几何体,使得 G1、G2、G3三点重合于点 G, 这样,下面结论成立的 是 __________ _ A.SG ? 平面EFG;B.SD ? 平面EFG;C.GF ? 平面SEF;D.GD ? 平面SEF

5.Rt?ABC所在平面外一点 S , 且SA ? SB ? SC, 点D为斜边AC的中点. (1)求证:SD ? 平面ABC; (2)若AB ? BC, 求证:BD ? 面SAC.
6.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是棱 CC1 上的一点,CP=m,在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m,D1,Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP,并证 明你的结论。

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