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山西省太原五中2013届高三5月月考数学理试题


太 高 三

原 数





2012—2013 学年度第二学期月考(5 月 28 日)

学(理)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 2? , B ? {x | 0 ? x ? 5} ,则集合 CU A) ? B ? ( ( A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} ( ) )

D. {x | 0 ? x ? 2}

2.命题“若 x ? 1, 则 x ? 0 ”的否命题是 A.若 x ? 1 ,则 x ? 0 C.若 x ? 1 ,则 x ? 0

B.若 x ? 1 ,则 x ? 0 D.若 x ? 1 ,则 x ? 0

3.已知 i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数是 z ,如果

| z | ? z ? 8 ? 4i ,那么 z 等于(
A. ?3 ? 4i C. 4 ? 3i B. ?3 ? 4i D. 3 ? 4i

)

4 下图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, P 表示 估计结果,则图中空白框内应填入( ) A. P ? N 1000 C. P ?
M 1000

B. P ? 4 N 1000 D. P ? 4M 1000

5.以下四个命题中错误的是( ) A. 已知随机变量 X~N(2,9) P( X ? c ? 1) ? P( X ? c ? 1) 则 c ? 2 , B. 两个随机变量相关性越强,则相关系数 r 的绝对值越接近于 1

? C. 在回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均增加 ?
0.2 个单位

D. 对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 2 的观测值 k , k 越小,“ X 与 Y 有关系”的把握程度越
大. 6.若 ( x ? A.4

1 2 x
3

) n 的展开式中第四项为常数项,则 n ? (
B.5 C.6 D.7



7.已知函数 f ? x ? ? 2 2 sin x cos x ,为了得到函数 g ? x ? ? sin 2x ? cos 2x 的图象,只需
1

要将 y ? f ? x ? 的图象(

)

A.向右平移

? 个单位长度 4
? 个单位长度 8

B.向左平移

? 个单位长度 4

C.向右平移

D.向左平移

? 个单位长度 8
) D. 360

8.给四面体 ABCD 的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点 的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法共有 ( A.96 B.144
2

C. 240
2

9.已知直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A 、B ,O 是坐标原点, 且有 | OA ? OB |≥ A. ( 3, ??)

??? ??? ? ?

? 3 ??? | AB | ,那么 k 的取值范围是( 3
B. [ 2, ??) C. [ 2, 2 2)

) D. [ 3, 2 2)

10.把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的正四棱锥形骨架内,使皮 球的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径为( ) A.l0 3 cm C.10 2 cm B.10 cm D.30cm

11.已知函数 f ( x) ? a ln x ? y y

2(1 ? x) ( a ? R )定义域为 (0,1) ,则 f (x) 的图像不可能是( ) 1? x
y y

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

(A)

(B)

(C)

(D)

12. 如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A , D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上移动,则

OB ? OC 的最大值是(
A

) C

2

B

1? 2

3 2

D 4

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分。

2

13. 如图, 平面截圆柱, 截面是一个椭圆, 若截面与圆柱底面所成的角为 60 ? , 则椭圆的离心率为 __________ 14.“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解 的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个 三角恒等变换公式:________.

图甲

图乙

15.已知数列{an}中,a1=1,a2=0,对任意正整数 n,m(n>m)满足 an 2 ? am 2 ? an ?m an ? m ,则 a119= 16.在 ΔABC 中, 2sin 2

A AC __________。 ? 3 sin A , sin( B ? C ) ? 2 cos B sin C ,则 2 AB

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在公比为 2 的等比数列 ?an ? 中, a2 与 a4 的等差中项是 5 3 . (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)若函数 y ? a1 sin ?

?? ? x ? ? ? , ? ? ? ,的一部分图像如图所示, M ? ?1, a1 ? , 4 ? ?

N ? 3, ? a1 ? 为图像上的两点,设 ?MPN ? ? ,其中 P 与坐标原点 O 重合, 0 ? ? ? ? ,求

tan ?? ? ? ? 的值.

18. (本题满分 12 分) 2013 年,我国许多城市遭遇了雾霾天气。经气象局统计,某市从 1 月 1 日至 1 月 30 日 这 30 天里有 26 天出现雾霾天气。 《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行) 》依据 AQI 指数高低将空气污染级别分为:优,指数为 0—50;良,指数为 51—100;轻微污染, 指数为 101—150;轻度污染,指数为 151—200;中度污染,指数为 201—250;中度重 污染,指数为 251—300;重度污染,指数大于 300.下面表 1 是该观测点记录的 4 天里, AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y (千米)的情况,表 2 是某气象观测点记录的该 市 1 月 1 日到 1 月 30 日 AQI 指数频数统计结果,

3

表 1:AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y (千米)情况 AQI 指数 M 空气可见度 y (千米)
900 0.5 700 3.5 300 6.5 100 9.5

表 2: 1 月 1 日到 1 月 30 日 AQI 指数频数统计 AQI 指数 频数
[0, 200] (200, 400] (400, 600]
(600, 800] (800, 1000]

3

6

12

6

3

M ? ,根据表 1 的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程; 100 (Ⅱ) 小王在记录表 2 数据的观测点附近开了一家小饭馆, 饭馆生意的好坏受空气质量影响 很大。假设每天空气质量的情况不受前一天影响。经小王统计:AQI 指数不高于 200 时,饭 馆平均每天净利润约 700 元,AQI 指数在 200 至 400 时,饭馆平均每天净利润约 400 元,AQI 指数大于 400 时,饭馆每天要净亏损 200 元. (ⅰ)将频率看作概率,求小王在连续三天里饭馆净利润约 1200 元的概率; (ⅱ)计算该饭馆一月份每天收入的数学期望.
(Ⅰ)设变量 x ?

? (用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

? ? , a ? y ? bx ).

2

i

? nx 2

19.(本小题满分 12 分) 如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 1, E为CD 的中点,F 为 AE 的中点.现在沿 AE 将三 角形 ADE 向上折起,在折起的图形中解答下列两个问题: (I)在线段 AB 上是否存在一点 K,使 BC//面 DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在, 请说明理由; (II)若面 ADE ? 面 ABCE,求二面角 E—AD—B 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知点 E(m,0)为抛物线 y ? 4x 内的一个定点, E 作 过
2

4

斜率分别为 k1、k2 的两条直线交抛物线于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点 (1)若 m = 1,k1k2 = -1,求三角形 EMN 面积的最小值; (2)若 k1 + k2 = 1,求证:直线 MN 过定点。

21.(本小题满分 12 分)

( x ? 2 m) 2 (其中 m 为常数). ln x (Ⅰ)当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 1 (Ⅱ) 当 0 ? m ? 时,设函数 f (x) 的 3 个极值点为 a,b,c ,且 a ? b ? c . 证明: 2
已知函数 f ( x) ?

a?c ?

2 . e

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请 写清题号。 22.(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 和两 圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

23. (本题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与参数 方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方 程为 ?

? x ? ?2 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数),直线 l 与曲线 C : ( y ? 2) ? x ? 1 交于 A, B 两点
2 2

(1)求 | AB | 的长; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 (2 2 , 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离.

3? ), 4

5

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ?a . (Ⅰ)若 a ? 0 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? x 有三个不同的解,求 a 的取值范围.

太原五中数学参考答案
一、选择题 1. C 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.D 8.A 9. C 10.B 11.D 12.A 二、填空题 13.

3 ; 2

14. sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;15.-1;16.

1 ? 13 2

6

18、解: (Ⅰ)由 x ?

M ,则 x1 ? 9 , x2 ? 7 , x3 ? 3 , x4 ? 1 , x ? 5 , y ? 5 100
4 i ?1

?x y
i ?1 i

4

i

? 9 ? 0.5 ? 7 ? 3.5 ? 3 ? 6.5 ? 1 ? 9.5 ? 58 , ? xi2 ? 140

58 ? 4 ? 5 ? 5 21 21 41 ∴b ? ? ? , a ? 5 ? 5 ? (? ) ? 2 140 ? 4 ? 5 20 20 4 21 41 ∴ y 关于 x 的线性回归方程是 y ? ? 4分 x? 20 4 (Ⅱ) (ⅰ) 由表 2 知 AQI 指数不高于 200 的频率为 0.1, 指数在 200 至 400 的频率为 0.2, AQI AQI 指数大于 400 的频率为 0.7,设“饭馆某天收入约 700 元”为事件 A , “饭馆某天收入约 400 元”为事件 B , “饭馆某天亏损约 200 元”为事件 C ,若将频率看作概率,则 P( A) ? 0.1 , P( B) ? 0.2 , P(C ) ? 0.7 .

则“连续三天里饭馆净利润约 1200 元”的概率:
2 P ? P(BBB) ? P( ACA) ? P( AAC) ? P(CAA) ? 0.23 ? C3 ? 0.12 ? 0.7 ? 0.029

??8 分 (ⅱ)由(ⅰ) ,设饭馆每天的收入为 X ,则 X 的分布列为 ?200 400 700 X 0.7 0.2 0.1 P 10 分 则 X 的数学期望为 E ( X ) ? ?200 ? 0.7 ? 400 ? 0.2 ? 700 ? 0.1 ? 10 . 19. 解: Ⅰ) ( 线段 AB 上存在一点 K , 且当 AK ? 时, BC ∥面 DFK 证明如下: 设 H 为 AB 的中点,连结 EH ,则 BC ∥ EH ???????1 分 12 分

1 AB 4
D

z
E F A

C

1 又因为 AK ? AB , F 为 AE 的中点 4

x

K H

B y

7

所以 KF ∥ EH ,所以 KF ∥ BC ,????4 分

? KF ? 面 DFK , BC ? 面 DFK ,? BC ∥面 DFK ???????5 分
(Ⅱ)? H 为 AB 的中点,? AH ? HE ? BC ? 1,

? F 为 AE 的中点,? FH ? AE . ? DA ? DE ? 1 , ? DF ? AE ,? 面 ADE ? 面 ABCE ,? DF ? 面 ABCE
由此可以 FA, FH , FD 分别为 x, y, z 轴,建立坐标系如图?????7 分 因为 DF ? 面 ABCE ,所以 DF ? FH ,又? FH ? AE , DF ? AE ? F ,

???? ? FH ? 面 ADE ,则 FH 为面 ADE 的一个法向量.
因为 AB ? 2 , BC ? 1 ,所以 FH ?

2 ???? 2 , FH ? (0, , 0) ????9 分 2 2

又可得: D(0, 0,

???? ???? 2 2 2 2 2 2 , 0, ) , AH ? (? , , 0) ) , A( , 0, 0) ,所以 AD ? (? 2 2 2 2 2 2

设面 ADB 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?

? ???? ? n ? AD ? 0 ? 由 ? ? ???? ? ?n ? AH ? 0 ?

? ?? ? ? ?? ? ?

2 2 x? z?0 ? ?? x ? z ? 0 2 2 ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 n ? (1,1,1) ?11 分 2 2 ?? x ? y ? 0 x? y?0 2 2
2 2 3? 2 2

???? ? 所以 cos ? FH , n ??

?

3 3 ,故二面角 E ? AD ? B 的余弦值为 ???12 分 3 3

20、解析: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

∵ k1k2 ? ?1 ,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

4 ? y ? k1 ( x ? 1) 由? ,得 k1 y 2 ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ?4 2 k1 ? y ? 4x
AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) , 2 2 k1 k1

同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) ??2 分
8

∴S

?EMN

1 1 2 2 2 2 1 ? | EM | ? | EN |? ( 2 ) ? ( ) ? (2k12 ) 2 ? (?2k1 ) 2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 ??4 分 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k12 ?

1 ,即 k1 ? ?1 时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

?6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y 2 ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) , 2 2 k1 k1

同理,点 N (

2 2 ? m, ) ??8 分 2 k2 k2
?10 分

∴ k MN ?

yM ? y N kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2

∴MN: y ?

2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1
?12 分

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) .

x(2 ln x ? 1) ln 2 x 令 f ' ( x) ? 0 可得 x ? e .列表如下: x ?0,1? 1, e f ?? x ? 减 减 f ?x ?
21.(Ⅰ) f ' ( x) ?

?

? ?

e
0 极小值

?


e ,??
+

?

单调减区间为 ?0,1? , 1, e ;增区间为

e ,?? .------------4 分 2m ( x ? 2m)(2 ln x ? ? 1) x (Ⅱ)由题, f '( x) ? ln 2 x 2m 2 x ? 2m 对于函数 h( x) ? 2 ln x ? ? 1 ,有 h '( x) ? x x2 ∴函数 h(x) 在 (0, m) 上单调递减,在 (m, ??) 上单调递增 ∵函数 f (x) 有 3 个极值点 a ? b ? c , 1 从而 hmin ( x) ? h(m) ? 2 ln m ? 1 ? 0 ,所以 m ? , e

?

?

?

9

1 时, h(2m) ? 2 ln 2m ? 0 , h(1) ? m ? 1 ? 0 , 2 ∴ 函数 f (x) 的递增区间有 (a, 2m) 和 (c, ??) ,递减区间有 (0, a ) , (2m,1) , (1, c) , 此时,函数 f (x) 有 3 个极值点,且 b ? 2m ; 1 2m ∴当 0 ? m ? 时, a, c 是函数 h( x) ? 2 ln x ? ? 1 的两个零点,————8 分 2 x 2m ? ?2 ln a ? a ? 1 ? 0 ? 即有 ? ,消去 m 有 2a ln a ? a ? 2c ln c ? c ? 2 ln c ? 2m ? 1 ? 0 ? c ? 1 1 令 g ( x) ? 2 x ln x ? x , g ' ( x) ? 2 ln x ? 1 有零点 x ? ,且 a ? ?c e e 1 1 ∴函数 g ( x) ? 2 x ln x ? x 在 (0, ) 上递减,在 ( ,??) 上递增 e e 2 2 2 要证明 a?c ? ? a ? g (c ) ? g ( ? a) ? c? e e e 2 2 ? g ? a ? ? g ? c ? ? 即证 g (a ) ? g ( ? a) ? g (a) ? g ( ? a) ? 0 e e ? 1 ? 2 构造函数 F ? x ? ? g ( x) ? g ( ? =0————10 分 ? x) ,? F ? ? ? e ? e?
当0 ? m ? 只 需 要 证 明 x ? (0,

1 e

] 单 调 递 减 即 可 . 而 F ?? x ? ? 2 ln x ? 2 ln(

2 e

? x) ? 2 ,

F ' ' ?x ? ?

2( x(

2 e 2 e

? 2 x) ?0 ? x)

? F ?? x ? 在 (0,

1

? 1 ? ? ? 0 —12 分 ] 上单调递增, ? F ?? x ? ? F ? ? ? e ? e?

22.解:(I)∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D, 5? 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. (II)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2, ∴xy=12 ①

A O1 O2 P B C E

PD AP 9+x 6 ∵AD∥EC,∴ = ,∴ = PE PC y 2
?x=3 ? 由①、②解得? ? ?y=4



(∵x>0,y>0)

D

10

∴DE=9+x+y=16, ∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD =DB·DE=9×16,∴AD=12.
2

10?

1 ? ? x ? ?2 ? 2 t 23. 错误!未找到引用源。解(1)直线 l 的参数方程化为标准型 ? ( t 为参数) ? 3 ?y ? 2 ? t ? 2 ?
代入曲线 C 方程得 t 2 ? 4t ? 10 ? 0 设 A, B 对应的参数分别为 t1 ,t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?4 , t1t 2 ? ?10 , 所以 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 5分

(2)由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 (?2,2) ,

所以点 P 在直线 l ,

中点 M 对

应参数为 10 分

t1 ? t 2 ? ?2 ,由参数 t 几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |? 2 2

x ? ?1 ??1, ? 24. (Ⅰ) a ? 0 时, f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ? ?2 x ? 1, ? 1 ? x ? 0 , ?1, x?0 ? ∴当 x ? ?1 时, f ( x) ? ?1 ? 0 不合题意; 1 当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ? ? x ? 0 ; 2 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 符合题意. 3分 1 综上, f ( x) ? 0 的解集为 [? , ? ?) 5分 2 (Ⅱ)设 u ( x) ? | x ? 1| ? | x | , y ? u( x) 的图象和 y ? x 的图象如右图: 7分 易知 y ? u( x) 的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个单位)与 y ? x 的图象始终有 3 个

交点, 从而 ?1 ? a ? 0 .

10 分

11


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