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大学生物理竞赛2(力学)


物理竞赛辅导
力 学 (Ⅱ)

纯滚动(无滑动的滚动)
? 质心的速度为 vc ? 质心的加速度为 ac
轮子上一点相对于质心系的角速度为 ?
轮子上一点相对于质心系的角加速度为 ?

接触点对地的速度为零

vc ? R? ac ? R?

? vc

/>A B

例: (18th, 5)半径为R 的圆环静止在水平地面上。 t =0 时 刻开始以恒定角加速度 ? 沿直线纯滚动。任意时刻 t > 0,环 上最低点 A 的加速度的大小为 , 最高点 B 的加速度 的大小为?????????。

解: 质心系中

v2 2 ? R? 2 t 2 ? ? an ? R? R
最低点A,地面系中

a? ? R? t
B
向左 向右

? ? ? at ? at? ? ac

a? ? R? t

at ? 0
an ? R? 2t 2
合加速度的大小

ac ? R?

? vc
a? t
A

a ? R? 2 t 2

最高点B

v a? ? ? R? 2 ? R? 2 t 2 n R
a? ? ac ? R? t

2

a? ? R? t

? ? ? at ? at? ? ac at ? 2R?

an ? R? 2t 2

a ? ( 2 R? ) 2 ? ( R? 2 t 2 ) 2 ? R ? 4 ? ? 2 t 4
B

? vc
A

例:一长 L=4.8m 的轻车厢静止于光滑的水平轨道上,固定于车 厢地板上的击发器 A 自车厢中部以 u0 = 2m/s 的速度将质量为 m1 = 1kg 的物体沿车厢内光滑地板弹出,与另一质量为 m2 =1 kg 的 物体碰撞并粘在一起,此时 m2 恰好与另一端固定于车厢的水平 位置的轻弹簧接触,弹簧的弹性系数 k = 400N/m ,长度l =0 .30m ,车厢和击发器的总质量 M = 2kg 求车厢自静止至弹簧压缩最甚 时的位移(不计空气阻力, m1 和m2 视作质点) 解:车+m1+m2 系统动量守恒

m1u0 ? MV ? 0 m1 V? u0 M
m1+m2 系统动量守恒

? V

+
? A u
0

m1 m 2

m1u0 ? (m1 ? m2 )u
m1u0 u? ( m1 ? m2 )

令m1从被弹出到与m2 碰撞结束所用的时间为 Dt m1相对车厢的位移为 ( L ? l ) 2

+
? V
? A u
0

m1相对车厢的速度为

u0+V

m 1 m2

L ? l ? (V ? u0 )Dt 2
L ( ? l) Dt ? 2 V ? u0
在Dt 内,车厢向左的位移为:

L m1 L V L ( ? l) ? ( ? l) DX 1 ? VDt ? ( ? l )? m m1 ? M 2 1 V ? u0 2 u0 ? u0 2 M

m1u0 M

车+m1+m2+弹簧系统机械能守恒 弹簧压缩最甚时,m1、m2 速度为零。车厢相对地面也静止

1 1 1 2 2 k ( Dl ) ? MV ? ( m1 ? m 2 )u 2 2 2 2
1 1 1 1 Dl ? m1u0 [ ( ? )] 2 k M m1 ? m2

A
? V (t )

? u(t )

在m1和m2与弹簧碰撞的过程中,全部系统的动量守恒

(m1 ? m2 )u ? MV ? (m1 ? m2 )u(t ) ? MV (t ) ? 0

u( t ) M u ? ? V ( t ) ( m1 ? m2 ) V

M u( t ) ? V (t ) ( m1 ? m2 )

设m1和m2与弹簧碰撞所用的时间为 Dt ’ 在Dt ’ 内, m1和m2相对车厢的速度为 u’(t) ?

A
V (t )

? u(t )

u?(t ) ? V (t ) ? u(t )

m1 ? m2 ? M M ? V (t ) ? V (t ) ? V (t ) ( m1 ? m2 ) ( m1 ? m2 )
Dt ?

? u?(t )dt ? Dl
0

Dt ?

? V ( t )dt ? DX
0

2

m1 ? m2 DX 2 ? Dl m1 ? m2 ? M 1 m1 ? m2 1 1 1 ? ? m1u0 [ ( ? )] 2 m1 ? m2 ? M k M m1 ? m2

车厢的总位移为DX

DX ? DX 1 ? DX 2 ?

m1 L ( ? l) m1 ? M 2

1 m1 ? m2 1 1 1 ? ? m1u0 [ ( ? )] 2 m1 ? m2 ? M k M m1 ? m2

DX= 0.75(m)
A

? u(t )

? V (t )

例: (20th 9) 车厢内的滑轮装置如图所示,平台 C 与车厢一起运 动,滑轮固定不转动,只是为轻绳提供光滑的接触。物块A 与 平桌面摩擦系数 m=0.25,A 的质量 mA =20kg,物块 B 的质 量 m B =30 kg 。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动,加速 度 a0=2m/s2 ,假定稳定后绳将倾斜不晃,试求绳子张力T。 解: 以车厢为参照系,引入惯性力

A
B

T ? m A a0 ? mm A g ?m A a
m B a 0 ? m B g ? T ?m B a
2 2 2 2

A

a0
C B

T?

a 2 ? g 2 ? mg ? a 0 0 m A ?m B

N

?m A ?m B

f mA g

f*

T T a a mB g f*

=125.4(N)

行星绕恒星的椭圆运动
b 一、能量和角动量 P2 ①

v1

a

c
2 2

P1
2

mv1 (a ? c ) ? mv2 (a ? c )

1 Mm 1 Mm 2 2 mv 1 ? G ? mv2 ? G 2 a?c 2 a?c
由①

a ?c ? b


a?c v1 ? v 2 ( ) a?c
2 2 2

4GMc 由② v 1 ? v ? b2

(a ? c ) 2 2 v2 ? GM 2 ab

(a ? c ) 2 2 v2 ? GM 2 ab
b

v1 P2 a c P1

GM L ? m(a ? c )v2 ? mb a
1 Mm GMm 2 E ? mv2 ? G ?? 2 a?c 2a

a 2 ? c 2 ? b2

b2 二、椭圆在 P1 点的曲率半径为 ? ? a
三、椭圆轨道的偏心率为

c a 2 ? b2 e? ? a a

四、轨道按能量的分类

e ? 1?

2 Eh2

m2

E < 0,则偏心率 e < 1, 质点的运动轨道为椭圆。

E = 0,则偏心率 e= 1, 质点的运动轨道为抛物线。
E > 0,则偏心率 e>1, 质点的运动轨道为双曲线。

以地球为例:
U(r) 0 K=E-U E1<0 RE rmax E2>0 r

例:行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发 生爆炸,通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍,行星 随即进入椭圆轨道绕S 运行,试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提 示(记椭圆的半长,半短轴分别为A、B ,则 A2 ? B 2 e? ) A 解:变轨后 P 或为近地点,或为远地点 v0 先考虑 P 为近地点,后考虑P 为远地点的情况 P mv 2 0 GM0 m 对圆轨道 P 点: ? 对椭圆轨道 P1 点:

A?C

( A ? C )2

S

mv 2 0

?

GgM 0 m ? ( A ? C )2
2

v1
A P2 B C P1

B ?? A

A2 ? B 2 ? C 2

GM0 m ? A ? C ( A ? C )2 mv 2 0 GgM 0 m ? ? ( A ? C )2

mv 2 0



B2 ?? A

A2 ? B 2 ? C 2



?
(A? C)

?

1

g

B2 1 ? A( A ? C ) g

A? C 1 ? A g

e?

A2 ? B 2 C ? A A
1? g e? g
P2 C

v1 P1

对P2 点
GM0 m ? A ? C ( A ? C )2 mv 2 0 GgM 0 m ? ? ( A ? C )2 mv 2 0
P2 C

v1
P1

A?C 1 ? A g

因为 g < 1 ,因此上式不成立 。 故 行星变轨后不可能处于P2点,只能处于P1 点。

解二:椭圆轨道的角动量

mv1 ( A ? C ) ? mv2 ( A ? C )



1 Mm 1 Mm 2 2 mv 1 ? G ? mv 2 ? G 2 A?C 2 A?C



GM L ? m( A ? C )v2 ? mB A
圆轨道的角动量

M ? g M0

L ? mvR ? m GM0 R
R ? A?C
P2 C

v1
P1

角动量守恒

GgM 0 ? m GM0 ( A ? C ) L ? mB A

gB 2
A

? A?C

g( A ? C ) ?1 A
2 2

A2 ? B 2 ? C 2

C e? ? A
1? g e? g

A ?B A

v1
A P2 B C P1

例(21届,10分)一个质量为m 的卫星绕着质量为 M ,半径 为 R 的大星体作半径为 2R 的圆运动。远处飞来一个质量为 GM 2m,速度为 v ? 的小流星,它恰好沿着卫星的运动方向 R 追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结合成一个新的星体,作用 时间非常短。假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计,新星的 速度仍沿原来的方向, (1)用计算表明新的星体的运动轨道类型,算出轨道的偏心 率e (2)如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞,算出 此时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的 判断。 m 解: (1) 碰撞前卫星的速度 M 2 2m v0 Mm 2R GM R G ?m v0 ? 2 ( 2 R) ( 2 R) 2R

小流星与卫星碰撞,动量守恒

m
M 2R R 2m
GM v? R

m

GM GM ? 2m ? (2m ? m)V 2R R 4 ? 2 GM V? 6 R

新星体的能量 椭圆轨道 偏心率 对比

1 M (3m) GM ( 3m ) 2 E ? (3m)V ? G ?? ?0 2 2R 2 ? 5.4 R

GMm E?? 2a

a ? 5 .4 R ? 2 R
在近地点

a ? r近 e? ? 0.63 a

a

(2) 小流星与卫星反方向碰撞,动量守恒

GM v? R

2m

GM GM ?m ? 2m ? ( 2m ? m )v? 2R R
2R

m

M
R

2 2 ? 1 GM v? ? 3 2R
新星体的能量 GM ( 3m ) 1 M ( 3m ) 2 ?? ?0 E ? ( 3m )v ? ? G 2 ? 1.2 R 2 2R 椭圆轨道 对比

GMm E?? 2a

a ? 1 .2 R ? 2 R

在远地点

r?a e? ? 0.67 a
新星与 M 在近地点时的距离

GM v? R

2m

m

M
2R R

r近=2a ? r ? 0.4R ? R
a ? 1 .2 R ? 2 R
两者发生碰撞

a

例:(11th,15)质量为2m 的匀质圆盘形滑轮可绕过中心O 并 与盘面垂直的水平固定光滑轴转动,转轴半径线度可忽略,物 体1、2的质量分别为m 和2m ,它们由轻质、不可伸长的细绳 绕过滑轮挂在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同,记为 m,开始时,滑轮和两物体均处于静止状态,而后若m =0则滑 轮不会转动;若m ≠ 0,但较小时,滑轮将会转动,同时与绳之 间有相对滑动;当 m 达到某临界值m0 时,滑轮与绳之间的相对 滑动刚好消失,试求m0 值。 解: T1 ? m1 g ? m1a

m1 ? m m2 ? 2m
T2 T1

m2 g ? T2 ? m2a

1 T2 R ? T1 R ? J? ? 2mR2? 2

a ? R?

m2 g

m1 g

解:

T1 ? m1 g ? m1a m2 g ? T2 ? m2a

m1 ? m m2 ? 2m
T2 T1

T2 R ? T1 R ? J? ? mR2 ?

a ? R?

T1 ? mg ? ma
2mg ? T2 ? 2ma
T2 ? T1 ? ma

1 a? g 4 5 T1 ? mg 4 3 T2 ? mg 2

m2 g

m1 g

绳子的质量忽略不计
? ? Fi ? 0
T (? ? d ? )

d? 2

? dN

df
d?

d? d? T (? ? d? ) cos ? df ? T (? ) cos 2 2 d? ? 0

?

df ? T (? ? d? ) ? T (? ) ? dT
d? d? dN ? T (? ? d? ) sin ? T (? ) sin 2 2
d? d? sin ? 2 2

T (?)

d? d? dN ? T (? ? d?) ? T (?) 2 2
对临界m值

dN ? Td ?

df ? m0dN

dT ? m 0Td?
dT ? m 0 d? T
T2

df ? T (? ? d? ) ? T (? ) ? dT

dN ? Td ?

df ? m0dN
5 T1 ? mg 4 3 T2 ? mg 2

dT ? T ? ? m 0 d? T1 0

?

T2 ln ? m 0? T1

T2 ? T1e

m 0?

6 m 0 ? ln ? 5

1

例:(4th,)光滑的平面上整齐地排列着一组长为 l,质量为m 的均 匀 细杆, 杆的间距足够大。 现有一质量 为 M 的小球以垂直于杆 的 速度 V0 与杆的一端做弹性碰撞,随着细杆的旋转,杆的另一 端又与小球做弹性碰撞,而后小球相继再与第二杆、第三杆…..相 碰。当 m/M 为何值时, M才能仍以速度 V0 穿出细杆阵列? 解: 由动量守恒 由角动量守恒 由动能守恒

MV0 ? MV ? mVc l l MV0 ? MV ? J c ? 2 2




1 Jc ? ml 2 12

1 1 1 1 2 2 2 2 MV0 ? MV ? mVc ? J? 2 2 2 2


? V0

V = Vc

④ M

m,l

由① ② ④得:

MV0 ? MV ? mVc
l l MV0 ? MV ? J c ? 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 MV0 ? MV ? mVc ? J? 2 2 2 2

① ② ③

6Vc ?? l
代入③

M 1 ? m 2

V = Vc



例:21届18题 将劲度系数为 k,自由长度为L,质量为m 的均匀柱形圆柱弹 性体竖直朝下,上端固定,下端用手托住。 (1)设开始时弹性体处于静止的平衡状态,其长度恰好为L, 试求此时手上的向上托力。 (2)而后将手缓慢向下移动,最终与弹性体分离,试求其间 手的托力所作的功W。 0 解: (1) 取下面一段研究 它处于静止的平衡状态 0 T G

y

y

L? y T =G-F0 ? mg ? F0 L 取 一微元dy 计算其弹性系数

dy
F0 y

将圆柱看做由许多的小段 dy 串联而成 F0

1 1 1 1 1 L ? ? ? ?? ? ? k k1 k2 kn kdy dy

对微元dy, 设伸长为 dx

L T ? kdy dx ? dy kdx
1 L? y T ( mg ? F0 )dy dx ? dy ? Lk L Lk
其总伸长为

L kdy ? k dy
T

T+dT

x ? ? dx ? ?
0

L

1 L? y ( mg ? F0 )dy Lk L

令 x 为零

1 L? y x ?? ( mg ? F0 )dy ? 0 Lk L 0
L

1 F0 ? mg 2

(2)问 中 x 为

1 1 1 L? y ( mgL ? F0 L) x ? ? dx ? ? ( mg ? F0 )dy ? Lk L Lk 2 0 0
L L

mg F0 x? ? 2k k
令F = 0
x0

1 x0 ? mg 2k
mg

1 F0 ? mg ? kx 2

W ? ? ? Fdx ?
0

?
0

2k

1 ( kx ? mg)dx 2

( mg ) ?? 8k

2

例:22届18题 如图所示,光滑水平面上有一半径为R的固定圆环, 长2l 的匀质细杆开始时绕着中心C点旋转,C点靠在 圆环上,且无初速度,假定此后细杆可无相对滑动 的绕着圆环外侧运动,直到细杆的一端与环接触后 彼此分离,已知细杆与圆环之间的摩擦因数μ 处处 相同,试求μ的取值范围。 A
ω

A
l ω

C
l R

B
ω ω θ R B

P

? r ? Rθ v

解:设细杆初始角速度为ω 0 ,转过θ 角后角速度为ω,
在光滑水平面中转动,机 械能守恒

1 1 2 2 J C? 0 ? J P? 2 2

J P ? JC ? mr
解得

2

1 2 J C ? ml 3
A C θ R

A ω
θ B
r ? Rθ

??

l l ? 3r
2 2

?0

? v

vC ? r? ?

l?0

l 2 ? 3r 2

r , r ? R?
ω

P

B

vC ? r ? R?

l? 0 l ? 3r
2 2

A

r

C点沿圆的渐开线运动
θ A C θ R
1 ? 2 2

ω B
r ? Rθ

ac ,?

dv c d v c d r d? ? ? dt dr d? dt
2 2

? v

P

1 2 2 ? 0 l ( l ? 3r ? 6r ( l ? 3r ) ) ω B 2 ? R? 2 2 l ? 3r 1 ? 1 2 2 2 2 2 ? 0 l[ l ? 3r ? 6r ( l ? 3r ) 2 ] l 2 R ? ?0 2 2 l ? 3r l 2 ? 3r 2

ac ,? ?

?02 l 4 R
( l 2 ? 3r 2 ) 2

ac ,? ?

? l R
2 4 0

A C

( l 2 ? 3r 2 ) 2
2

aCn ? ? r ?

? l r
2 2 0

?
P B N

f r

C 切向

l 2 ? 3r 2

细杆受力 N 和f 分别为

N ? maC? ,

f ? maCn

f ? mN

摩擦因子取值范围为

?l 2 ? 3r 2 ?r f aCn ? m? ? 2 l R N aC?

l?r?0
4l ?m? R

例:22届1题 质量m,半径 R 的匀质圆板静止在光滑水平面上,极 ? 短时间内使其受水平冲量 I 。有关的几何方位和参量 ? 如图所示。圆板中心O点将因此获得速度 v0 ? , 同时,圆板将绕过O点的竖直轴以角速度 ? ? 旋 ? ? ? ? 转。 ? I ? v? 对质心 I ? p2 ? p1 ? mv 解: m ? ? ? ? ? m 对质心 Mdt ? dL r ? Fdt ? dL
O R
? I
R/2

rdI ? dL

R mR2 I? ? 2 2

I ?? mR

The End


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