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1.1.1集合的含义与表示(两课时)


第一章:集合与函数概念
1.1.1 集合的含义与表示

思考问题:
(1)上面这些图画都给我们什么样的印象?

动物生活在一起——有群居的特点。

(2)初中时,我们有学习到与“集合”有关的

内容吗?

自然数的集合、有理数的集合、不等式x-7≤3 的解的

集合、到定点的距离等于定长的点的集合 (即球面)、到定直线的距离等于定长的点的集 合(即圆柱面)
2013年7月21日星期日 3

一、引入 在生活中,有许多事物给我们以集体的印象,比如,你的家庭;你所在的

班级;山东省的所有城市,等等,你还能举出一些这样的例子吗?

仙居中学2012届新高一的全体同学; 仙居中学2012届高一(7)班全体女同学。

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蓝蓝的天空中,一群鸟在欢快的飞翔

茫茫的草原上,一群羊在悠闲的走动

清清的湖水里,一群鱼在自由地游动;

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二、集合的概念

1、集合的概念 一般地,把研究的对象称为元素(element);通常用小写拉丁字母a,b,c,…, 表示;把一些元素组成的总体叫做集合(set), 简称集; 通常用大写拉丁字母A,B, C,…,表示.

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练习1、请指出下列集合中的元素: (1)“young”中的字母构成一个集合,该集合的元 素是 y,o,u,n,g五个字母

(2)“中国的直辖市”构成一个集合,该集合的元素 是 北京,上海,天津,重庆 (3)“book”中的字母构成一个集合,该集合的元素 是 b,o,k三个字母 还是b, o, o, k四个字母

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2:集合中元素的特征
思考1:某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合?由 此说明什么? 集合中的元素必须是确定的 思考2:在一个给定的集合中能否有相同的元素?由此 说明什么? 集合中的元素是不重复出现的 思考3:高一19班的全体同学组成一个集合,调整座位 后这个集合有没有变化?由此说明什么? 集合中的元素是没有顺序的
总结出集合的三大性质: ①确定性; ②互异性; ③无序性。
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练习1:下列各组能否组成集合?
①数组 1,3,5,7. 能 能 能 能 能 不能 能 不能

②满足3x-2>x+3的全体实数.
③到角两边距离之和相等的点.

④所有直角三角形.
⑤高一(5)班全体同学. ⑥年龄很小的人
(7)《高中数学精编》中所有习题; (8)《高中数学精编》中所有好题。

(1)确定性:

按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不 在,不能模棱两可。

(2)互异性:

集合中的元素没有重复。

(3)无序性:

集合中的元素没有一定的顺序(通
常用正常的顺序写出)

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练习2:下列说法中正确的是(

A A、2004年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合
B、某个班年龄较小的学生组成一个集合



C、1、2、3组成的集合与2、1、3组成的集合是不同的
两个集合 D、{1,2,2,3}是含1个1,2个2,1个3的四个元素的集合

练习3、下列给出的对象中,能表示集合的是( )
A、一切很大的数; B、无限接近0的数;

D
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C、聪明的人;
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D、方程x2=2的实数根。

3、元素与集合的关系 思考1:设集合A表示“1~20以内的所有质数”,那 么3,4,5,22这四个元素哪些在集合A中?哪些不在集 合A中? 思考2:对于一个给定的集合A,那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系? 思考3:如果元素a是集合A中的元素,我们如何用数 学化的语言表达? a属于集合A,记作 a ? A 思考4:如果元素a不是集合A中的元素,我们如何用 数学化的语言表达? a不属于集合A,记作a ? A

又如思考1中,? A, 4 ? A, 5 ? A, 22 ? A. 3

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5、常用数集及记法
思考:所有的自然数,正整数,整数,有理数,实 数能否分别构成集合?

自然数集,正整数集,整数集,有理数集,实数 集等一些常用数集,分别用下列符号表示:
自然数集(非负整数集):记作 N 正整数集:记作 N *或 N ? 整数集:记作 Z 有理数集:记作 Q 实数集:记作 R

练习2、用符号“∈ ”或“

1)   14 ___ Q    ? ___Q 3. ∈ 2)  ? 3)   ___ N    0  N 0 ? 4)  ___ ∈
*

?”填空

5)   2) ∈ N (? __
0

*

? 7) 2 3 ___Q

6) 8)

? 2 3___Z
∈ 2 3___ R

6、集合的表示方法
问题提出:
用自然语言描述一个集合往往是不简明的,如“在 平面直角坐标系中以原点为圆心,2 为半径的圆周上的 点”组成的集合,那么,我们可以用什么方式表示集合 呢?

考察下列集合: (1)小于5的所有自然数组成的集合; (2)方程 x 3 ? x的所有实数根组成的集合. 思考1:这两个集合分别有哪些元素? (1)0,1,2,3,4; (2)-1,0,1 思考2:由上述两组数组成的集合可分别怎样表示? (1){0,1,2,3,4}; (2){-1,0,1} 思考3:这种表示集合的方法叫什么名称? 列举法 思考4:列举法表示集合的基本模式是什么? 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ 括起来,即 {a, b, c,?} }”

考察下列集合: (1)不等式 2 x ? 7 ? 3 的解组成的集合; (2)绝对值小于2的实数组成的集合. 思考1:这两个集合能否用列举法表示? 思考2:如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征? (1)x? R,且 x ? 5 ; (2)x? R,且 | x |? 2 思考3:上述两个集合可分别怎样表示? (1){ x? R| x ? 5 }; (2){ x?R| | x |? 2 } 思考4:这种表示集合的方法叫什么名称? 描述法 思考5:描述法表示集合的基本模式是什么?
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围, 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同 特征。 即: x ? P x x

?

? ??

⑶ 图示法(Venn图)

数形结合思想是数学学科里一种重要的数学思想, 集合中的数形结合主要体现在集合可以用Venn图 表示。我们常常画一条封闭的曲线,用它的内部 试用Venn图表示 表示一个集合. N,Z,Q,R
之间的关系。 例如,图1-1表示任意一个集合A;

图1-2表示集合{1,2,3,4,5} .

A 图1-1

1,2,3, 5, 4.

图1-2

利用数轴来表示集合。
(一般表述数集)

A

a
集合A:数轴上a、b之间的区域。 (在下几节中,数轴表示将会很重要)

b

集合的表示方法
(1)列举法:把集合的元素一一 列举出来写在大括号的方法. (2)描述法:用确定条件表示某 些对象是否属于这个集合的方法.

(3)图示法.

6.集合的分类:

有限集、无限集 问题2:我们看这样一个集合: { x |x2+x+1=0},它有什么特征?
?显然这个集合没有元素.我们把这样的

集合叫做空集,记作?. ? ? (填∈或?) 练习2:⑴ 0 ⑵ { 0 } ≠ ? (填=或≠)

六、集合的分类

⑴有限集:含有有限个元素的集合.

⑵无限集:含有无限个元素的集合.

⑶空 集:不含任何元素的集合.
记作?.

思考1:a与{ a }的含义是否相同? 思考2:集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗?

{x y ? x 2 } 思考3:集合 { y | y ? x , x ? R}与集合 相同吗?
2

思考4:集合 {( x, y) | y ? x 2 , x ? R}的几何意义如何? y

y?x

2

x o

理论迁移 例1 用列举法表示下列集合: (1)小于3的所有自然数组成的集合; (2)方程

x ? x 的所有实数根组成的集合;
2

(3)由1~20以内的所有素数组成的集合;

例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合:

(1)

x 2 ? 2 ? 0的所有根组成的集合 ; 方程

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合

随堂练习 用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值小于3的所有整数组成的集合; (2)在平面直角坐标系中以原点为圆心,1为半径的圆 周上的点组成的集合;

(3)所有奇数组成的集合; (4)由数字1,2,3组成的所有三位数构成的集合.

练习5 请表示出由方程x2-1=0所有的实数解构成的集合。

{1,-1}
练习6 求不等式2x-3>5的解集。

{x∈R|x>4}
注意:
1、列举法与描述法是表示集合的两个常用方法,要特别注意 这两种方法的书写格式; 2、无限集合一般不宜采用列举法; 3、有些集合既可用列举法,也可用描述法表示,选择表示方

法要遵循最简原则.

例题
例3若x∈R,则数集{1,x,x2}中元素x 应满足什么条件.

解:∵x≠1且x2≠1且x2≠x,
∴ x≠1且x≠-1且x≠0.

? 练习7 若集合{-1,|x|}与{x,x2}相等, 求实数x的值. ? [解析] ∵{-1,|x|}与{x,x2}两集合相等, ∴两集合含有相同的元素 ? 即{x,x2}一定含有-1这个元素 ? 由于x2≥0,∴x=-1.

例4设x∈R,y∈R,观察下面四个集合 A={ y=x2-1 } B={ x | y=x2-1 } C={ y | y=x2-1 } D={ (x, y) | y=x2-1 } 它们表示含义相同吗?

例5已知集合
A={x|ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R} 只有一个元素,求a的值与这个元素.

解:当a=0时,x=-1.
当a≠0时,?=16-4×4a=0. a=1. 此时x=-2. ∴a=1时这个元素为-2. a=0时这个元素为-1.

五、课堂练——提升版
? 1. {x? ,3x+2,5x? -x}即{5x? -x,x? ,3x+2}.
对 (无序性)

? 2.若方程x? -5x+6=0和方程x? -x-2=0 的解 ? 为元素的集合为M,则M中元素的个数为 ( C) ? A.1 B.2 C.3 D.4

类比第2题

练:设 x∈R,由实数 x、-x、|x|、 x 、- x 、- x4、 x4所组成的集合 M,最多含有元素的个数为( A.3 个 C.6 个 B.4 个 D.7 个 )

2

3

3

4

A

[分析] 本题重在考查元素的互异性,需要结合实数的性质去思考,尤其是要准确 认识根式的意义.

解集合问题的关键

解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元素所构 成.如何弄清呢?关键在于把抽象问题具体化、形象 化.也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示,或 用图示法来表示抽象的集合,或用图形来表示集合. 例如,在判断集合A={x|x=4k±1,k∈Z}与集合B= {y|y=2n-1,n∈Z}是否为同一集合时,若从代表元素 入手来分析它们之间的关系,则比较抽象,而用列举法 来表示两个集合,则它们之间的关系就一目了然. 即A={…,-1,1,3,5,…}, 而B={…,-1,1,3,5…} ∴A与B是同一集合.

课堂小结
1.集合的含义; 2.集合元素的性质:确定性,互 异性,无序性; 3.元素和集合的关系:属于,不属于 4.数集及有关记法; 5. 集合的表示方法:列举法、描述法、 Venn图 6. 集合的分类:有限集、无限集、空 集

五、课堂练——提升版
4. 用列举法表示下列集合: 9 (1)A={x∈N| ∈N}; A={0,6,8} 9-x 9 (2)B={P∈N|P= 且 x∈N}; B={1,3,9} 9-x (3)C={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N}; C={2,5,6} (4)D={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N};

D={(0,6),(1,5),(2,2)}
p (5)E={x|x=q,p+q=5,p∈N,q∈N*}. 1 2 3

E={0,4 ,3 ,2 ,4}

五、课堂练——提升版
6. 已知集合A={x∈R|ax2+x+2=0},

若A中至少有一个元素,则a的取值范
围是________.

五、课堂练——提升版
7. 已知A ? ?a ? 2, 2a ? 5a,10? , 且 ? 3为
2

A中一个元素,求a.

五、课堂练——提升版
8. 求集合 ?3,x,x ? 2 x?中x的取值范围.
2
怎样用集合 表示?

1、 3≠ x;验证三个性质 2、x? -2x ≠3 ;验证三个性质 3、 x? -2x≠x;验证三个性质 4、得结论。
①x≠-1且x≠0且x≠3

注意或、且的 区别!

②{x|x<-1或-1<x<0或x>3}

五、课堂练——提升版
11. 用描述法表示下列集合 : ?x ? y ? 1 方程组 ? 的解的集合. ?x ? y ? 1
{(x,y)|(1,0)}
这是什么表示法?

{(1,0)}

这又是什么表示法?他们的区别是什么?

六、作 业
Ⅰ、 思考 : (1)集合A ? ?1, a, b? , B ? ?a, a 2 , ab? 且A ? B, 求a, b.
(2)已知M ? ??2,3x 2 ? 3x ? 4, x 2 ? x ? 4? , 若2 ? M , 求x.


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