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浙江省杭州二中2015届高三仿真考数学理试题


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2015 年浙江省杭州二中高三年级仿真考

数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页. 满 分 150 分,

考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式:
柱体的体积公式 V=Sh 锥体的体积公式 V= 台体的体积公式 V ?
1 3 1 3 4 3 h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 Sh 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V= πR 3

第 I 卷(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 不是奇函数,则下列命题一定为真命题的是( A. ?x ? R,f (? x) ? ? f ( x) C. ?x0 ? R,f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) B. ?x ? R,f (? x) ? f ( x) D. ?x0 ? R,f (? x0 ) ? f ( x0 ) ) )

2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a3 ? a8 ? 13 且 S7 ? 35 ,则 a7 ? ( A.11 B.10 C .9 D.8

3.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 则只要将 f ( x) 的图象( )

?
2

) )的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin ? x 的图象,

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移 ) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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4.设 a, b ? R ,则“ a > b ”是“ a a > b b ”的( A.充分不必要条件
第 1 页(共 9 页)

B.必要不充分条件

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?x ? 2 y ?1 ? 0 5.若变量 x, y 满足 ? ? 2 x ? y ? 0 ,则点 P(2 x ? y, x ? y) 所在区域的面积为( ?x ? 1 ?

A.

3 4

B.

4 3

C.

1 2

D. 1

?| log 2 x |, 0 ? x ? 2 6 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 若 存 在 实 数 x1 , x 2 , x3 , x 4 , 满 足 x1 ? x2 ? x3 ? x4, 且 ? ? sin( x ), 2 ? x ? 10 ? ? 4

f ( x1 ) ? f ( x ) 2 )? f ( x 3 )? f ( x 4 ,则
A. (4,16) B. (0,12)

( x3 ? 2) ? ( x4 ? 2) 的取值范围是( x 1?x2
C. (9, 21)



D. (15, 25)

x2 y2 7.已知点 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1 , F2 分别 a b
为双曲线的左右焦点,且 | F1 F2 |?

b2 , I 为三角形 PF1 F2 的内心,若 a

D1 C1 B1

S?IPF1 ? S?IPF2 ? ?S?IF1F2 成立,
1? 2 2 A. 2

则 ? 的值为(

B. 2 3 ? 1

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

A1

8.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱 DD1 的中点与直线 BD1 所成角为 40° ,且 与平面 AC C1A1 所成角为 50° 的直线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.无数

D A

C B

第 II 卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 题每题 4 分,共 36 分.
2 x 9 .设全集为 R ,集合 M ? { x ? R | x ? 4 x ? 3 ? 0},集合 N ? { x ? R | 2 ? 4},则 M ? N ?



M ?N ?
10.已知 0 ? α ?

; CR (M ? N ) ?

.

π π 3 3 , ? ? β ? 0 , cos(α ? β ) ? ,且 tan α ? ,则 cos α ? ________, sin β ? _______. 2 2 5 4 11.在如图所示的空间直角坐标系 O—xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(2,0,0),(0,2,0),(0,
0,2),(2,2,2).给出编号为① ,② ,③ ,④ 的四个图,则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为(填 写编号) ,此四面体的体积为 .

第 2 页(共 9 页)





③ ④ 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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12.已知圆 C : ( x ? cos ? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 2(? ? R) 与直线 l : x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0(? ? R) ,则圆 C 的圆心轨迹方程为 13.已知点 A( ? ,直线 l 与圆 C 的位置关系是______.

1 1 , ) 在抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线上,点 M,N 在抛物线 C 上,且位于 x 轴的 2 2
. .

两侧,O 是坐标原点,若 OM ? ON ? 3 ,则点 A 到动直线 MN 的最大距离为 14.在直径 AB 为 2 的圆上有长度为 1 的动弦 CD,则 AC ? BD 的取值范围是 15.已知 a, b, c 为非零实数, f ( x) ?

??? ? ??? ?

ax ? b d , x ? R ,且 f (2) ? 2, f (3) ? 3 .若当 x ? ? 时,对于任意实 cx ? d c


数 x ,均有 f ( f ( x)) ? x ,则 f ( x ) 值域中取不到的唯一的实数是

三、解答题:本大题共 5 小题,第 16 至 19 题每题 15 分,第 20 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16. ?ABC 中,内角 A,B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列,且 cos B ?

3 . 4

1 1 ? 的值; tan A tan B ??? ? ??? ? 3 (Ⅱ)设 BA ? BC ? ,求 a ? c 的值. 2
(Ⅰ)求

17.已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为 ?ABC ? 2 ? 的菱形, PA ? 平面 ABCD,点 Q 在直线 PA 上.
3

(Ⅰ)证明:直线 QC ? 直线 BD; (Ⅱ)若二面角 B ? QC ? D 的大小为 2? ,点 M 为 BC 的中点,求直
3
P

线 QM 与 AB 所成角的余弦值.

Q

D C A B M

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?1 an ? n, n为奇数

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18.已知数列{an}中, a1 ? 1, an ?1 ? ? ?3

?a ? 3n, n为偶数 ? n

(Ⅰ)求证:数列 {a2 n ? } 是等比数列; (Ⅱ)设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n .

3 2

19.如图,中心在坐标原点,焦点分别在 x 轴和 y 轴上的椭圆 T1 , T2 都过点 M (0, ? 2) ,且椭圆 T1 与 T2 的离心率均为 2 . 2 (Ⅰ)求椭圆 T1 与椭圆 T2 的标准方程; (Ⅱ) 过点 M 引两条斜率分别为 k , k ? 的直线分别交 T1 ,T2 于点 P, Q, 当 k ? ? 4k 时,问直线 PQ 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
O P M y

Q

x

20.设 f ( x) ? ? x ? ax ? 1, g ( x) ?
2

ax 2 ? x ? a , x2

(Ⅰ)若 f ( x) ? b ? 0 在 [1,2] 上有两个不等实根,求 g (1) ? b 的取值范围; (Ⅱ)若存在 x1 ? [1,2] ,使得对任意的 x2 ? [ ,1] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

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参考答案

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一、选择题 题号 答案 二、填空题: 9. (??,1) ? (2, ??) ; (3, ??) ; (??,3] 12. x 2 ? y 2 ? 1;相交; 三、解答题: 16. 解: (Ⅰ)因为 a, b, c 成等比数列,所以 b ? ac ,
2

1 C

2 D

3 A

4 C

5 D

6 B

7 D

8 B

10.

4 7 ;? 5 25 3 1 , ]; 2 2

11. ③ ② ② ;

8 ; 3

13.

5 2 ; 2

14. [?

15.

5 2

由余弦定理可知: cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 1 c a ? ? ( ? ? 1) 2ac 2ac 2 a c

又 cos B ? 于是

1 c a 3 c 1 3 7 ,所以 sin B ? ,且 ( ? ? 1) ? ,解得 ? 2或 . 4 2 a c 4 a 2 4

1 1 cos A cos B sin C c 8 2 ? ? ? ? ? ? 7或 7. tan A tan B sin A sin B sin A ? sin B a ? sin B 7 7 ??? ? ??? ? 3 3 (Ⅱ)因为 BA ? BC ? ,所以 ca cos B ? ,所以 ca ? 2 , 2 2 c 1 又 ? 2或 ,于是 c ? a ? 3 . a 2 ??? ? ??? ? 3 3 3 2 【另解】由 BA ? BC ? 得 ca ? cos B ? ,由 cos B ? 可得 ca ? 2 ,即 b ? 2 4 2 2
由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac ? cos B 得 a ? c ? b ? 2ac ? cos B ? 5
2 2 2 2 2 2

?a ? c?

2

? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9 ∴ a ? c ? 3 .

17. (Ⅰ)证明:显然 BD ? AC , PA ? 平面 ABCD,则 PA ? BD ,故 BD ? 平面PAC , QC ? 平面PAC ,则直线 QC ? 直线 BD;

AQ ? x , (Ⅱ) 由已知和对称性可知, 二面角 B ? QC ? A 的大小为 ? , 设底面 ABCD 的棱长为单位长度 2,
3

设 AC,BD 交于点 E,则有点 B 到平面 AQC 的距离 BE 为 1,过点 E 做 QC 的垂线,垂足设为 F,则有

tan ?BFE ? tan

?
3

?

BE 2 3 3 ,BE=1,则 BE= ,点 A 到 QC 的距离为 ,则有 EF 3 3

2 3 6 ? x 2 ? (2 3)2 ? x ? 2 3 ,得 x ? . 3 2
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过点 M 作 AB 的平行线交 AD 的中点为 G,则 GM=2, QG ? (

6 2 2 10 , ) ?1 ? 2 2

AM ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ?1?

2 1 6 34 , ? 7 ,则 QM ? ( )2 ? 7 ? 2 2 2

34 10 ?4? QM 2 ? GM 2 ? QG 2 4 ? 5 34 , cos ?QMG ? ? 4 2QM ? GM 34 34 2? ?2 2
即所求的 QM 与 AB 所成角的余弦值为

5 34 . 34

3 1 3 1 1 3 1 a2 n ?1 ? (2n ? 1) ? (a2 n ? 6n) ? (2n ? 1) ? a2 n ? 2?3 2?3 2 ? 1, 2?3 18.(Ⅰ)证明: 3 3 3 3 3 a2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ? 2 2 2 2 3 3 1 1 所以数列 {a2 n ? } 是以 a2 ? ? ? 为首项, 为公比的等比数列。 2 2 6 3 a2( n ?1) ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得

3 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ( )n ?1 ? ? ? ( n),则 a2 n ? ? ? ( ) n ? ; 2 6 3 2 3 2 3 2 1 1 1 n ?1 15 由 a2 n ? a2 n ?1 ? (2n ? 1) ,得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3(2n ? 1) ? ? ? ( ) ? 6n ? , 3 2 3 2 1 1 n ?1 1 n 1 n 得: a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? [( ) ? ( ) ] ? 6n ? 9 ? ?2( ) ? 6n ? 9 , 2 3 3 3 a2 n ?

S2n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ???? ? (a2n?1 ? a2n )
1 1 1 1 ? ?2[ ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ] ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n) ? 9n 3 3 3 3 1 1 [1 ? ( )n ] 3 ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ?2 ? 3 1 2 1? 3 1 1 ? ( ) n ? 1 ? 3n 2 ? 6n ? ( ) n ? 3( n ? 1) 2 ? 2 3 3
显然,当 n ? N 时, {S2 n } 单调递减,
?

7 8 ? 0 , n ? 2 时 S 4 ? ? ? 0 ,则当 n ? 2 时, S2 n ? 0 ; 3 9 3 1 n 5 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ? ? ( ) ? ? 3n 2 ? 6n , 2 3 2
当 n ? 1 时, S 2 ? 同理可得仅当 n ? 1 时, S2 n?1 ? 0 ,

第 6 页(共 9 页)

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综上,可得满足条件 Sn ? 0 的 n 的值为 1 和 2.

19.解: (Ⅰ)

x2 y 2 y2 ? ? 1, ? x 2 ? 1; 4 2 2

(Ⅱ)直线 MP 的方程为 y ? kx ? 2 ,联立椭圆方程得:

? x2 y 2 ?1 4 2k ? ? ,消去 y 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4 2kx ? 0 ,则 xP ? ,则点 P 的坐标为 2 ?4 2 2 k ? 1 ? y ? kx ? 2 ?

P:(

4 2k 2 2k 2 ? 2 , ) 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

同理可得点 Q 的坐标为:

Q:(

2 2k ? 2k ?2 ? 2 2 4 2k 8 2 k 2 ? 2 ? k ? 4 k ,又 ,则点 Q 为: , ) ( , ), k ?2 ? 2 k ?2 ? 2 8k 2 ? 1 8k 2 ? 1

k PQ

8 2k 2 ? 2 2 2k 2 ? 2 ? 2 2k 2 ? 1 ? ? 1 , ? 8k ? 1 2k 4 2k 4 2k ? 2 2 8k ? 1 2k ? 1

则直线 PQ 的方程为: y ?

2 2k 2 ? 2 1 4 2k ? ? ( x ? 2 ) ,即 2 2k ? 1 2k 2k ? 1

y?

1 2 2k 2 ? 2 1 4 2k x? 2, ? ? ( x ? 2 ) ,化简得 y ? ? 2 2k 2k ? 1 2k 2k ? 1

即当 x ? 0 时, y ?

2 ,故直线 PQ 过定点 (0, 2) .
x2 y 2 ? ? 1 上的任一点 T ( x0 , y0 ) 和曲线上两个关于中心的对称点 a 2 b2

方法 2 :先证明一个结论:曲线

P( x?, y?),Q(? x?, ? y?) (T 不同于 P,Q)连线的斜率乘积为 ?

b2 . a2

证明: kTP ? kTQ ?

x2 y 2 y0 ? y? y0 ? y? y02 ? y?2 ? ? ? ? 1 上,则有: P ( x , y ) ,点 ,点 在曲线 T ( x0 , y0 ) ? ? a 2 b2 x0 ? x? x0 ? x? x02 ? x?2

x0 2 y0 2 x?2 y ?2 x0 2 ? x?2 y0 2 ? y?2 y0 2 ? y?2 b2 ? ? 1 ? ? 1 , ,两式相减得: ,则 ? ? 0 kTP ? kTQ ? 2 ?? 2 。 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b x0 ? x? a
回到本题,设点 N (0, 2) ,PN 与曲线 T2 交于点 Q? ,则有: 对曲线 T1 ,则有 k PM ? k PN ? ?
第 7 页(共 9 页)

2 1 ?? , 4 2
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对曲线 T2 ,则有 kQ?M ? kQ?N ? kQ?M ? k PN ? ?

k ? ?k k ? 2 ? ?2 ,则 Q M PN ? 4 ,则 Q M ? 4 ,又 1 kPM ? kPN k PM

kQM k? ,则 Q 与 Q? 重合,即直线 PQ 过定点 N (0, 2) . ?4? k kPM
20.解: (Ⅰ)依题意可设: F ( x) ? f ( x) ? b ? ? x2 ? ax ? 1 ? b

? ?( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中 x1 ? x2 , x1 , x2 ?[1, 2] , ? F (?2) ? ?(?2 ? x1 )(?2 ? x2 ) ? ?(2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? (?16, ?9)
则 g (1) ? b ? 2a ? 1 ? b ? F (?2) ? 4 ? (?12, ?5) ; (Ⅱ)由题意,问题转化为(f(x ))max ? 对函数 g ( x) ?

g(x ),对 x ? [ ,1] 恒成立。

1 2

1 ax 2 ? x ? a ,令 ? t ? [1, 2] , 2 x x

ax 2 ? x ? a g ( x) ? ? h(t ) ? at 2 ? t ? a 则问题转化为: 2 x

( f ( x))max ? h(t ), t ?[1, 2] 恒成立.
??2a ? 3, a ? ?4 ? 2 ?a ? ? ? 1, ?4 ? a ? ?2 , ?4 ? ? ? a , a ? ?2

显然: ( f ( x)) max

(1)当 a ? ?4 时,

?2a ? 3 ? at 2 ? t ? a 对 t ?[1, 2] 恒成立,则 a ? ?
4 a ? ? ,得 a ? ?4 ; 3 (2)当 ?4 ? a ? ?2 时,

t ?3 对 t ?[1, 2] 恒成立,得 t2 ? 2

a2 a2 ? 1 ? at 2 ? t ? a 对 t ?[1, 2] 恒成立,则 H (t) ? at 2 ? t ? a ? 1 ? ? 0 对 t ?[1, 2] 恒成立, 4 4
关于 t 的二次函数的对称轴在 [? , ? ] 之间,开口向下,则 H (1) ? 0 ,得 a ? 0, a ? 8 , 即得 ?4 ? a ? ?2 ; (3)当 a ? ?2 时,

1 4

1 8

?a ? a 2 t ? t?对 a t ?[1, 2] 恒成立,则 a ?

?t 对 t ?[1, 2] 恒成立,得 t ?2
2

第 8 页(共 9 页)

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2 2 ,得 ?2 ? a ? ? ; 4 4
2 . 4

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a??

综上,得满足题意的 a 的范围是: a ? ?

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