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高中物理竞赛


高中物理奥赛综合训练题
1、长方形风筝如图 1 所示,其宽度 a = 40cm ,长度 b = 50cm ,质量 M = 200g(其中包括以轻绳吊挂的 纸球“尾巴”的质量 M′= 20g ,纸球可当作质点)。AO 、BO 、CO 为三根绑绳, AO = BO ,C 为底边中 点;绑绳及放风筝的牵绳均不可伸缩,质量不计。放风筝时,设风速为零,牵绳保持水平拉紧状态。当放风

筝者以速度 v 持牵绳奔跑时,风筝单位面积所受的空气作用力垂直于风筝表面,量值为 P = Kvsinα ,K = 8N ? s/m3 , 为风筝表面与水平面的夹角。 α 风筝表面为光滑平面, 各处所受空气作用力近似相等, 取 10m/s2 。 g 试求: (1)放风筝者至少应以多大速度持牵绳奔跑,风筝才 能做水平飞行? (2)这时风筝面与水平面的夹角应为何值?假设通过 调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度 α 。

3、(前苏联奥林匹克竞赛题)快艇系在湖边,湖岸是直线,系绳突然松脱,风吹着快艇以恒定速度 v0 = 2.5km/h 沿与湖岸成 15°角的方向飘去,一人能在岸上以 v1 = 4km/h 行走或在水中以 v2 = 2km/h 游泳。试问: (1)他能否赶上快艇; (2)当快艇速度多大时,他总可以赶上快艇。

4、(北京市高中物理竞赛题)一辆汽车沿水平公路以速度 v 无滑动地运动,如果车轮半径为 R ,试求 车轮抛出的水滴上升的最大高度和抛出点的位置。

2、如图 2 是一个直径为 D 的圆柱体,其侧面刻有 螺距为 h 的螺旋形凹槽,槽内有一小球,为使小球能 自由落下,必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子?

1

5、(全国中学生物理竞赛题)图 3 中,AOB 是一内表面光滑的楔形槽,固定在水平桌面(图中纸面)上, 夹角 α = 15°, 现将一质点在 BOA 面内从 C 处以速度 v = 3m/s 射出, 其方向与 AO 间的夹角为 β = 30°,OC = 1m , 设质点与桌面的摩擦可忽略不计, 质点与 OB 面及 OA 面 的碰撞都是弹性碰撞,且每次碰撞时间极短,可忽略不计。并设 OA 和 OB 都足够长。试求: (1)上述质点的多次碰撞中,最后一次碰撞是发生在哪个 面上? (2)质点从 C 出发至发生最后一次碰撞,共经历了多少时 间? 7、(全国中学生力学竞赛题)如图 5 所示,平板 A 长 L = 5m ,质量 M = 5kg ,放在水平桌面上,板 右端与桌边相齐。在 A 上距右端 s = 3m 处放一物 B(大小可忽略,即可看成质点),其质量 m = 2kg 。已知 A 、 B 间动摩擦因数 μ1 = 0.1 ,A 与桌面间和 B 与桌面间的动摩擦因数都是 μ2 = 0.2 ,原来系统静止。现在板的 右端施大小一定的水平力 F ,作用一段时间后,将 A 从 B 下抽出,且使 B 最后恰停于桌的右侧边缘。试求: (1)力 F 大小为多小? (2)力 F 最短作用时间为多少?

6、图 4 中细杆 AB 长 L ,端点 A 、B 分别被约束在 x 和 y 轴上运动,试求: (1)杆上与 A 相距(0<a<L)的 P 点的运动轨迹; (2)如果图中 θ 角和 vA 为已知,那么 P 点的 x 、y 方向分运动速度 vpx 、 vpy 是多少?

2

8、(吉林省高中物理竞赛题)如图 6 所示,质量为 m 的链条,围成半径为 R 的圆,套在半张角为 θ 的 光滑圆锥上。如果链条以恒定的角速度 ω 绕竖直轴旋转,试求链条内的张力。

10、(上海市高中物理竞赛题)如图 8 所示,竖直放置的质量为 4m ,长为 L 的圆管顶端塞有一个质量 为 m 的弹性圆球,球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为 4mg 。圆管从下端离地面距离为 H 处自 由落下,落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等。试求: (1)圆管弹起后圆球不致滑落,L 应满足什么条件。 (2)圆管上升的最大高度是多少? (3)圆管第二次弹起后圆球不致滑落,L 又应满足什么条件?

9、1844 年杰出的数学家和天文学家贝塞耳发现天狼星的运动偏离直线路径的最大角度 α 为 2.3°,周期 T 为 50 年,且呈正弦曲线(与地球上观察者的运动无关),如图 7 所示.贝塞耳推测天狼星运动路线的弯曲 是由于存在着一个较小的伴星。如果天狼星自身的质量 M 为 2.3M 日 ,求它的伴星质量与太阳质量 M 日之比。 已知从天狼星看地球轨道半径 R0 的张角 β 为 0.276°,可以把天狼星和它的伴星的轨道看作圆形,并且轨道 平面垂直于太阳系到天狼星的方向。

3

11、(全国中学生物理竞赛题)从地球表面向火星发射火星探测器,设地球和火星在同一平面上绕太归 作圆周运动,火星轨道半径 R 。为地球轨道半径 R0 的 1.5 倍,简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步 进行:第 1 步,在地球表面用火箭对探测器进行加速,使之获得足够动能,从而脱离地球引力作用成为一个 沿着地球轨道运动的人造卫星。第二步,在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机,在短时间内对探 测器沿原方向加速,使其速度数值增加到适当值,从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长 轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上,如图 9-a 所示,问: (1)为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星,必须加速探测器,使之在地面附近获得多大的速度(相 对地球)? (2)当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后,在某年 3 月 1 日 0 时测得探测器与火星之间的角 距离为 60°,如图 9-b 所示,问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机,方能使探测器恰好落在火星 表面(时间计算需要精确到日)?已知地球半径 R0 = 6.4×106m ,重力加速度 g 取 9.8m/s2 。

12、如图 10 所示,有一绝缘水平台面,处于一个足够大空间有互相正交的匀强电场和匀强磁场的区域。 电场强度 E = 10N/c ,方向水平向右;磁感应强度 B = 5T ,方向垂直于纸面向里。今有一质量 m = 1g ,带 电量 g = +4×10 4C 的可视为质点的小球 A 由静止开始在台面上运动,g = 10m/s2 ,求在 A 运动中速度能达 到的最大值。


4

0.493t1≤t2≤2.573t1

参考解答(或答案)
1、解答: 设人以速度 v0 持牵绳奔跑时,风筝恰能水平飞行,设此时风筝面与地面夹角为 α(如图 11 所示),则 风对风筝的作用力: F = Kv0absinα 其竖直分量应与重力平衡,即: Fy = Kv0absinα ? cosα = Mg
1 即: Kv0absin2α = Mg 2

(2)2 2 km/h

4、解答: 如图 14 所示,取轮轴为坐标原点,设雨滴车轮上 A 点脱离车轮,其脱离瞬时速度 vA = v ,其竖直分量 vy = v ? sinα ,水平分量 vx = v-v ? cosα 抛出点离地高度:hA = R(1-cosα) 则水滴上升的最大高度:H = hA +
(v sin ? ) 2 2g

即:H = R(1-cosα) +

v 2 sin 2 ? v2 = R-Rcosα + (1-cos2α) 2g 2g

(2)当 2α = 90°,即 α = 45°时,v0 取最小值,且: (1)v0min =
2Mg sin90°= 2.5m/s Kab

可见 H 与 α 有关,将上式进一步整理,得:
v2 v2 2 )=0 ? cos α + Rcosα + (H-R- 2g 2g

可解得:cosα =- 2、解答: 将等螺距线展开成图 12 所示的三角形,其中倾角 α 满足: tanα =
h ?D

gR 2gH gR ± (1 ? 2 ) 2 ? 2 2 v v v

要 cosα 有意义,必须满足: (1)Δ≥0 ,即:(1 +
v2 gR 2 2gH gR ) - 2 ≥0 ,可得:H≤ (1 + 2 )2 2 2g v v v

在转过 n 周过程中,有:
1 nπD = at2 2 1 nh = gt2 2
(1 ?

(2)cosα≤1 。这又需要分两种情况讨论: ①若
gR 2gH gR gR > 1 , 则 只 有 cosα = - 2 + (1 ? 2 ) 2 ? 2 是 可 能 的 。 如 H 有 最 大 值 , 只 有 取 2 v v v v

gR 2 2gH ) ? 2 足够小,即当 α = π(cosα =-1)时,Hmax = 2R v2 v

消去时间 t ,可得:a =

?gD h
(1 ?

②若

gR 2gH gR gR ≤ 1 , 则 只 有 cosα = - 2 - (1 ? 2 ) 2 ? 2 是 可 能 的 。 如 H 有 最 大 值 , 只 有 取 v v v2 v

3、解答: (1)设人在岸上跑的时间为 t1 ,到达 A 点下水,其过程如图 13 所示。若能使 t3≤t2 ,则表示人能追 上(或超过)小艇。由余弦定理,可得追上的条件为: (v1t1)2 + [v0(t1 + t2)]2-2(v1t1) [v0(t1 + t2)]cos15°≤(v2t2)2 整理并代入数据后,可得: 2.85 t -6.9t1t2 + 2.25 t ≤0
2 1 2 2

gR 2 2gH ) ? 2 足够大,即当 α = 0(cosα = 1)时,Hmax = 0 。 v2 v

5、解: (1)由 BO 面起,每隔 α 角作一对称面,如图 15 所示。令其从 BO 面起,依次为第 1 、第 2 、?、第 n 、第(n + 1)面。再作射线 CD ,作为出射路径,使其依次和所有可能相交的对称面相交,且最后一个相交 的面为 n ,其交点为 K ,则有: ∠AOK = nα

对于任意确定的 t1 ,t2 必有正解,应为:

5

由于第(n + 1)个对称面和 CD 无交点(但和第 n 个对称面有交点),故 n 应满足: nα + β<180°≤(n + 1)α + β 即:n<
180o ? ? ≤n + 1 ?


碰地后瞬间,管的速度 v 管 =- 2gH ,球的速度 v 球 = 2gH 。球相对管的速度 v 相 = 2 2gH 碰后,管受重力作用及向下的摩擦力作用,加速度 a 管 = 2g ;球受重力和向上的摩擦力作用,加速度 a =-3g 。球相对管的加速度 a 相 =-5g 。 以管为参考系,则球与管相对静止前,球相对管下滑的距离为: s 相1 =
2 0 ? v相

将 α = 15°,β = 30°代入,得:n<10 所以 n = 9 ,即质点自 C 点出发后,还将分别与 OB 面和 OA 面共发生 9 次碰撞, 由此可以确定其最后一次碰撞 是发生在 OB 面上。 (2) 由于质点自出发至最后一次碰撞所通过的路程总 长度等于 CK ,则在 ΔCOK 中,由正弦定理可得:
CK OC = sin135o sin15o

2a 相

=

-(2 2gH) 2 2 ? (?5g)

4 = H 5

4 要使球不滑出圆管,应满足:L>s 相 1 = H 5

(2)设管从碰地到它弹到最高点所需时间为 t1(设球与管这段时间内摩擦力方向不变),则: t1 =
? v管 2gH = 2a 管 2g

设管从碰地到与球相对静止所需的时间为 t2 ,则: t2 =
? v相 2a 相

即: CK = 2.73m 则质点由 C 点出发至最后一次碰撞所经历的总时间为: t=
CK 2.73 = = 0.91s v 3

=

2 2gH 5g

因为 t1>t2 ,说明球与管先达到相对静止,再以共同速度上升到最高点。设球和管达相对静止时的高度 为 h′,共同速度为 v′,则: h′= v 管 ? t2-
1 12 H ? a 管? t2 = 2 2 25

6、答案: P 点的轨迹为椭圆方程,vpx = a ? cotθ ? vA 、vpy = (1-a)vA

v′= v 管-a 管 ? t2 =

1 5

2gH

7、答案: (1)26N ;(2)1.5S

此后,球和管以初速度 v′竖直上抛。设再上升的高度为 h″,则: h″=
v ?2 1 = H 2g 25

8、答案: T=
m(? R ? g cot ?) 2?
2

因此,管上升的最大高度 H′= h′+ h″=

13 H 25 13 4 H ,球距管顶 H 。类比第(1)问可解出两者在第 25 5

(3)当球与管第二次共同下落时,离地高度为 二次反弹中发生的相对位移:
4 52 s 相 2 = H′= H 125 5

9、答案:
m = 1.49 M

则当 s 相 1 + s 相 2<L 时,球不会滑出管外,即:L> 10、解答: (1)取竖直向下为正方向,则: 球与管第一次碰地前的瞬时速度 v0 = 2gH 11、答案:

152 H 125

6

(1)11.2×103m/s ; (2)3 月 1 日之后的 38 天即同年的 4 月 7 日。

12、答案与提示: 将即将飞起的速度分解成 v1 = 5.4m/s 、v2 = 2m/s ,方向和重力和电场力的合力垂直,并且 bqv1 = F 合 , 当 v1 和 v2 方向相同时,获得最大的速度 7.4m/s 。

7


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