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(学)高中数学数列放缩专题:用放缩法处理数列和不等问题


数列和不等问题(教师版)
一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理) 例 1.正数数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ,满足 2 S n ? a n ? 1,试求: (1)数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn ? 2 a n a n ?1

r />解:(1)由已知得 4S n ? (an ? 1) 2 , n ? 2 时, 4S n?1 ? (an?1 ? 1) 2 ,作差得:

an ? an?1 ? 2 ,即 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,由 2 S1 ? a1 ? 1,得 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1
(2) bn ?

2 2 an ? 为正数数列,所以 4an ? an ? 2an ? an ?1 ? 2an?1 ,所以 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,又因为 ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,所以 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

Bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? )? ? ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2
4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3

真题演练 1:(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列 ?an ? 的前 n 项的和, S n ?

n 2n 3 (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;(Ⅱ)设 Tn ? , n ? 1, 2,3,? ? ?,证明: ? Ti ? . 2 Sn i ?1

4 1 2 4 1 2 解: (Ⅰ)由 Sn= an- ×2n+1+ , n=1,2,3,? , ① 得 a1=S1= a1- ×4+ 所以 a1=2 3 3 3 3 3 3 4 1 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2n+ , n=2,3,4,? 3 3 3 4 1 n+1 n 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- ×(2 -2 ),n=2,3, ? 3 3

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特级教师 王新敞
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整理得: an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3, ? , 因而数列{ an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即 : an+2n=4×4n-1= 4n, n=1,2,3, ?, 因而 an=4n-2n, n=1,2,3, ?, 4 1 2 1 (Ⅱ)将 an=4n-2n 代入①得 Sn= ×(4n-2n)- ×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 3 3 3 3 2 = ×(2n+1-1)(2n-1) 3 2n 3 2n 3 1 1 Tn= = × n+1 = ×( n - n+1 ) n Sn 2 (2 -1)(2 -1) 2 2 -1 2 -1 所以,

? T = 2 ? ( 2 -1 - 2
i ?1 i
i

n

3

n

1

i+1

i ?1

1 ) -1

3 1 3 1 = ×( 1 - n ?1 ) < 2 2 -1 2 2 ?1

1

二.先放缩再求和 1.放缩后成等比数列,再求和
1 例 2.等比数列 ?an ? 中, a1 ? ? ,前 n 项的和为 Sn ,且 S7 , S9 , S8 成等差数列. 2

a 1 设 bn ? n ,数列 ?bn ? 前 n 项的和为 Tn ,证明: Tn ? . 3 1 ? an
解:∵ A9 ? A7 ? a8 ? a9 , A8 ? A9 ? ?a9 , a8 ? a9 ? ?a9 ,∴公比 q ?
a9 1 ?? . a8 2

2

∴ a n ? (? ) n . bn ?

1 2

1 4n 1 1 ? (? ) n 2

?

1 1 . ? n 4 ? (?2) 3 ? 2n
n

(利用等比数列前 n 项和的模拟公式 Sn ? Aqn ? A 猜想)

1 1 (1 ? 2 ) 1 1 1 1 2 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 . ∴ Bn ? b1 ? b2 ? ?bn ? ? ??? ? ?2 2 n 1 3? 2 3? 2 3 3 3 3? 2 2n 1? 2
真题演练 2:(06 福建卷理科 22 题)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 滿足 4b1 ?14b2 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1)bn (n ? N * ) ,证明:数列 ?bn ? 是等差数列; (Ⅲ)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ) . 2 3 a2 a3 an?1 2

(I)解:? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ),

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列

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? an ? 1 ? 2n. 即

an ? 22 ?1(n ? N * ).

(II)证法一:? 4k1 ?14k2 ?1...4kn ?1 ? (an ? 1)kn .

? 4( k1 ?k2 ?...?kn )?n ? 2nkn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,
2

① ②

即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ③-④,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,
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bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0, ?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ), ??bn ? 是等差数列
ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2

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(III)证明:?

?

a a1 a2 n ? ? ... ? n ? . a2 a3 an?1 2

?
?

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2
a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
2.放缩后为“差比”数列,再求和 例 3.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a n ?1 ? (1 ? 证明:因为 a n ?1 ? (1 ? 即 a n ?1 ? a n ? 即 a n ?1 ? a n ? 令 Sn ?

n n ?1 )a n (n ? 1,2,3?) .求证: a n ?1 ? a n ? 3 ? n ?1 n 2 2

n )a n ,所以 a n?1 与 an 同号,又因为 a1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? 0 , 2n

n a n ? 0 ,即 an?1 ? an .所以数列 {an } 为递增数列,所以 an ? a1 ? 1, 2n n n 1 2 n ?1 a n ? n ,累加得: a n ? a1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 . n 2 2 2 2 2

1 2 n ?1 1 1 2 n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ,所以 S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ,两式相减得: 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 n ?1 n ?1 n ?1 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ,所以 S n ? 2 ? n ?1 ,所以 a n ? 3 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2
故得 a n ?1 ? a n ? 3 ?

n ?1 . 2 n ?1

3.放缩后成等差数列,再求和
2 例 4.已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

3

(1) 求证: Sn ? (2) 求证:

an 2 ? an ?12 ; 4 Sn ?1 ? 1 2

Sn 2

? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ?

2 2 解:(1)在条件中,令 n ? 1 ,得 a1 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 ,? a1 ? 0 ? a1 ? 1 ,又由条件 an ? an ? 2S n 有

2 an ?1 ? an?1 ? 2S n?1 ,上述两式相减,注意到 an ?1 ? S n ?1 ? S n 得

(an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0

? an ? 0 ? an?1 ? an ? 0
n(n ? 1) 2
2 2

∴ an?1 ? an ? 1

所以, an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n , Sn ?

n(n ? 1) 1 n 2 ? (n ? 1) 2 a n ? a n?1 所以 S n ? ? ? ? 2 2 2 4
(2)因为 n ? n(n ? 1) ? n ? 1 ,所以

n 2

?

n(n ? 1) n ? 1 ,所以 ? 2 2

S1 ? S 2 ? ? S n ?
? n 2 ? 3n 2 2 ? S n?1 ? 1 2

2 3 n ?1 1? 2 2?3 n(n ? 1) ? ? ??? ? ??? 2 2 2 2 2 2

; S1 ? S 2 ? ? S n ?

1 2

?

2 2

???

n 2

?

n(n ? 1) 2 2

?

Sn 2

练习: 1.(08 南京一模 22 题)设函数 f ( x) ?

1 2 3 x ? bx ? ,已知不论 ? , ? 为何实数,恒有 f (cos ? ) ? 0 且 4 4 f (2 ? sin ? ) ? 0 .对于正数列 ?an ? ,其前 n 项和 Sn ? f (an ) , (n ? N * ) .
(Ⅰ) 求实数 b 的值;(II)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)若 cn ? 解:(Ⅰ) b ?

1 1 , n ? N ? ,且数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,试比较 Tn 和 的大小并证明之. 6 1 ? an

1 (利用函数值域夹逼性);(II) an ? 2n ? 1; 2

(Ⅲ)∵ cn ?

1 1? 1 1 ? 1?1 1 ? 1 ? ? ? ??? +cn ? ? ? ? ,∴ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ?? 2 (2n ? 2) 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 ? 3 2n ? 3 ? 6

2.(04 全国)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1 (1)写出数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 ;(2)求数列 {an } 的通项公式;
4

(3)证明:对任意的整数 m ? 4 ,有

1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

分析:⑴由递推公式易求:a1=1,a2=0,a3=2; ⑵由已知得: an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an ?1 ? (?1)n?1 (n>1) 化简得: an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1

an a 1 a a 1 2 2 ? ?2 n?n ? 2 , n n ? ? ?2[ n?n ? ] n ?1 ?1 3 3 (?1) (?1) (?1) (?1)
故数列{

an 2 2 ? }是以 ? a1 ? 为首项, 公比为 ? 2 的等比数列. n 3 3 (?1)
∴ an ?



an 2 1 ? ? (? )(?2) n?1 n 3 3 (?1)

2 n?2 [2 ? (?1) n ] 3

∴数列{ an }的通项公式为: an ?

2 n?2 [2 ? (?1) n ] . 3

⑶观察要证的不等式,左边很复杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能够求和。而左边

1 1 1 3 1 1 1 = ? ??? ? [ 2 ? 3 ? ? ? m?2 ] ,如果我们把上式中的分母中的 ? 1 去掉,就可利 a4 a5 am 2 2 ? 1 2 ? 1 2 ? (?1) m
用等比数列的前 n 项公式求和,由于-1 与 1 交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩, 尝试知:

1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? 3, 2 ?1 2 ?1 2 2
2

1 1 1 1 1 ? 4 ? 3 ? 4 ,因此,可将 2 保留,再将后面的项两两组合后放缩,即可求和。这里需要对 2 ?1 2 ?1 2 2 2 ?1 m 进行分类讨论,(1)当 m 为偶数 (m ? 4) 时,
3

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ( ? ) ??? ( ? ) a 4 a5 am a4 a5 a 6 am?1 am
? ? 1 3 1 1 1 ? ( 3 ? 4 ? ? ? m?2 ) 2 2 2 2 2 1 3 1 1 ? ? (1 ? m ? 4 ) 2 2 4 2

?

1 3 7 ? ? 2 8 8

(2)当 m 是奇数 (m ? 4) 时, m ? 1 为偶数,

1 1 1 1 1 1 1 1 7 ? ??? ? ? ? ??? ? ? a 4 a5 a m a 4 a5 a 6 am am?1 8
5

所以对任意整数 m ? 4 ,有

7 1 1 1 ? 。 ? ??? a 4 a5 am 8

本题的关键是并项后进行适当的放缩。 3.(07 武汉市模拟)定义数列如下: a1 ? 2, an?1 ? an ? an ? 1, n ? N ?
2

求证:(1)对于 n ? N ? 恒有 a n ?1 ? a n 成立; (2)当 n ? 2且n ? N ? ,有 an?1 ? an an?1?a2 a1 ? 1 成立; (3) 1 ?

1 2
2006

?

1 1 1 ? ??? ?1 a1 a2 a2006

分析:(1)用数学归纳法易证。 (2)由 an?1 ? an ? an ? 1 得: an?1 ? 1 ? an (an ? 1) ? an ? 1 ? an?1 (an?1 ? 1) ? ?
2

a2 ? 1 ? a1 (a1 ? 1)

以上各式两边分别相乘得: an?1 ? 1 ? an an?1 ?a2 a1 (a1 ? 1) ,又 a1 ? 2

? an?1 ? an an?1 ?a2 a1 ? 1
(3)要证不等式 1 ?

1 2
2006

?

1 1 1 ? ??? ? 1, a1 a2 a2006

可先设法求和:

1 1 1 ,再进行适当的放缩。 ? ??? a1 a 2 a 2006 1 an?1 ? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? an ? 1 an an an ? 1 an?1 ? 1

? an?1 ? 1 ? an (an ? 1) ?
? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) a1 a 2 a 2006 a1 ? 1 a 2 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 a 2006 ? 1 a2007 ? 1 1 1 1 ? 1 又 a1a2 ?a2006 ? a12006 ? 22006 ? ? 1? a1 a 2? a 2006 a1 ? 1 a 2007 ? 1 1 1 ? 1 ? 2006 ? 原不等式得证。 a1a2 ? a2006 2

?1 ?

本题的关键是根据题设条件裂项求和。

6

数列和不等问题(学生版)
一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理) 例 1.正数数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ,满足 2 S n ? a n ? 1,试求: (1)数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn ? 2 a n a n ?1

真题演练 1:(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列 ?an ? 的前 n 项的和, S n ? (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;(Ⅱ)设 Tn ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3

n 2n 3 , n ? 1, 2,3,? ? ?,证明: ? Ti ? . 2 Sn i ?1

7

二.先放缩再求和 1.放缩后成等比数列,再求和
1 例 2.等比数列 ?an ? 中, a1 ? ? ,前 n 项的和为 Sn ,且 S7 , S9 , S8 成等差数列. 2

a 1 设 bn ? n ,数列 ?bn ? 前 n 项的和为 Tn ,证明: Tn ? . 3 1 ? an

2

真题演练 2:(06 福建卷理科 22 题)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 滿足 4b1 ?14b2 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1)bn (n ? N * ) ,证明:数列 ?bn ? 是等差数列; (Ⅲ)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ) . 2 3 a2 a3 an?1 2

8

2.放缩后为“差比”数列,再求和 例 3.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a n ?1 ? (1 ?

n n ?1 )a n (n ? 1,2,3?) .求证: a n ?1 ? a n ? 3 ? n ?1 n 2 2

3.放缩后成等差数列,再求和
2 例 4.已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1) 求证: Sn ? (2) 求证:

an 2 ? an ?12 ; 4 Sn ?1 ? 1 2

Sn 2

? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ?

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练习: 1.(08 南京一模 22 题)设函数 f ( x) ?

1 2 3 x ? bx ? ,已知不论 ? , ? 为何实数,恒有 f (cos ? ) ? 0 且 4 4 f (2 ? sin ? ) ? 0 .对于正数列 ?an ? ,其前 n 项和 Sn ? f (an ) , (n ? N * ) .
(Ⅰ) 求实数 b 的值;(II)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)若 cn ?

1 1 , n ? N ? ,且数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,试比较 Tn 和 的大小并证明之. 6 1 ? an

2.(04 全国)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1 (1)写出数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 ;(2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对任意的整数 m ? 4 ,有

1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

3.(07 武汉市模拟)定义数列如下: a1 ? 2, an?1 ? an ? an ? 1, n ? N ?
2

求证:(1)对于 n ? N ? 恒有 a n ?1 ? a n 成立; (2)当 n ? 2且n ? N ? ,有 an?1 ? an an?1?a2 a1 ? 1 成立; (3) 1 ?

1 2
2006

?

1 1 1 ? ??? ?1 a1 a2 a2006

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