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2015广东高考理数(仲元中学)考前交流卷


广东仲元中学 2015 届高三数学(理科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

注意事项: 1.选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上,非选择题应在答题卡上对应的位置作答 . 超出答 题区域书写的答案无效. 2.作选考题时,按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答

题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 参考数据:球的表面积公式 S ? 4?R ,其中 S 是球的表面积, R 是球的半径.
2

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ) 1. 设全集 U ? ?0, 1, 3, 5?, B = ?0, 3? ,则 A I (CU B) ? 1, 2, 3, 4, 5?,集合 A = ? A.

?

B.

?3 ?

C.

?2, 4, 5?

D. ? 1, 5?

2.复数 z ?

1 在复平面上所对应的点在 1 ? 2i
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

A. 第一象限 3.已知?ABC 中, a ? A. 135°

2 ,b ? 3 , B ? 600 ,那么角 A 等于
C. 30°
0

B. 45°或 135°

D. 45°

4.在 ?ABC 中, AB ? (1, 1) , AC ? (2, m) , 且 ?B ? 90 ,则实数 m 的值为 A.2 B.0 C.—1 D.—2

? x ? y ≥ ?1, ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4,则目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( ?y≥ 2 ?
A.10 B.12 C.13 D.14



6.已知函数 f ( x) ? loga ( x ? b) 的大致图象如左图,其中 a , b 为常数,则函数 g ( x) ? a ? b 的大致图象是
x

7.等差数列 ?an ? 的通项 an ? 2n ? 3 ,记其公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的通项 bn ? 3n?1 ,记其公比为 q , 且a ?

b1 ,那么执行如右图所示的程序框图,输出的结果为 a1

理科数学 第 1 页(共 4 页)

A.9

B. 3

C.2

D.—9

8. 记实数 x1 , x2 ,?? xn 中的最大数为 max ?x1 , x2 ,......xn ? ,最小数 为 min ?x1 , x2 ,......xn ? 。已知△ABC 的三边长为 a, b, c ( a ? b ? c ) ,定 义它的倾斜度为

a b c a b c l ? max{ , , } · min{ , , } ,则“ l =1”是“ ? ABC 为等边三角 b c a b c a
形”的 A.必要而不充分的条件 C.充要条件 B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要条件

第 II 卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题: (本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一) 必做题 (9~13 题) 9.离心率 e ?

第7题

1 ,一个焦点是 F ?? 1, 0? 的椭圆标准方程为 * ; 2
* ;

10. (1 ? 2x) 5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? ?a5 x 5 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? ?a5 ? 11.函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的最小值为 * ; 12.已知函数 y ? f ( x) 是以 4 为周期的奇函数,且当 x ? (0, 2) 时,

f ( x) ? x 2 , 则f (7) 的值 * ;
13. 如右图为一个几何体的三视图,其正视图和左视图都是由 半圆和矩形组成的图形,且 AB ? BC ? 2 , BB1 ? 3 ,则此几 何体的表面积为 * ;

(二)选做题 (14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系 ( ? , ? ) 中,曲线 ? ? 2sin ? 与 ? cos? ? 1 的公共点的极坐标为 * .

15. (几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? * .

理科数学 第 2 页(共 4 页)

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分)

?? ? 已知函数 f ( x) ? 2 sin? x ? ? ? 2 cos x, 6? ?
4 ,求函数 f ( x) 的值; 5 (II)求函数 f ( x) 的值域.
(I)若 sin x ?

?? ? x?? ,? ? . ?2 ?

17. (本小题满分 12 分) 为了开展全民健身运动,市体育馆面向市民全面开放,实行收费优惠,具体收费标准如下: ①锻炼时间不超过 1 小时,免费; ②锻炼时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,收费 2 元; ③锻炼时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,收费 3 元; ④锻炼时间超过 3 小时的时段,按每小时 3 元收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)已知甲、乙两人独 立到体育馆锻炼一次, 两人锻炼时间都不会超过 3 小时, 设甲、 乙锻炼时间不超过 1 小时的概率分别是 0.4 和 0.5,锻炼时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.5 和 0.3. (1)求甲、乙两人所付费用相同的概率; (II)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? .

18. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角
0 梯形, AB // CD , ?DAB ? 60 , AB ? AD ? 2CD ,

P

侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 ?PAD 为等腰直角三角形,

M C D

?APD ? 900 , M 为 AP 的中点.
(I) 求证: DM // 平面 PCB ; (II) 求证: AD ? PB (III)求直线 PB 与平面 PAD 所成角的大小.
A

B

19.(本小题满分 14 分)
2 2 2 已 知 抛 物 线 C1 的 方 程 为 y ? ax ( a ? 0 ) , 圆 C 2 的 方 程 为 x ? ( y ? 1) ? 5 , 直 线 l1 :

y ? 2 x ? m (m ? 0) 是 C1 , C 2 的公切线; F 是 C1 的焦点.
(I)求 m 与 a 的值; (II)设直线 l 与抛物线 C1 相切于点 A ,且与 y 轴交于点 B ,若有 FM ? FA ? FB ,证明:点 M 在 某定直线上.

理科数学 第 3 页(共 4 页)

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,当 n ? 2 时,点 (

1 1 1 , ) 在 f ( x) ? x ? 2 的图像上, 且 S1 ? ,且 2 Sn ?1 Sn

bn ? 2( 1 ?n ) an (n ? N*) .
(I)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (II)设 f (n) ?

b n?2 ,求 f ( n) 的最大值及相应的 n 值; (n ? 5)bn ?1
2 ? bn ?1 , 证明Tn ? 1 .

2 2 (III)当 n ? 2 时,设 Tn ? b2 ? b3 ?

21.(本小题满分 14 分)

1 ? x ? ln x (x ? ) ? ? 2 已知函数 f ( x) ? ? ? x2 ? 2x ? a ?1 ( x ? 1 ) ? ? 2
(I)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)求函数 f ( x ) 的零点。

理科数学 第 4 页(共 4 页)

广东仲元中学 2015 届高三数学(理科)参考答案
一、选择题 D A D B C B B A

x2 y2 ? ? 1; 二、填空题 9~13: 4 3
14、 ( 2 ,

-1 ;

2;

-1;

6? ? 24

?
4

)

15、 3

三、解答题 16、 (1)? sin x ?

4 , 5

3 ?? ? x ? ? , ? ? , ? cos x ? ? ,???2 分 5 ?2 ?

? 3 ? 1 ? ? 2c o s f ( x) ? 2? s i n x ? c o s x x ???????4 分 ? 2 ? 2 ? ?
? 3 sin x ? cos x ?

4 3 3 ? .???????6 分 5 5

?? ? (2) f ( x) ? 2 sin? x ? ? ,???????8 分 6? ?
?

?
2

? x ?? ,

?

?
3

?x?

?
6

?

5? , 6

???????9 分

1 ?? ? ? sin? x ? ? ? 1 ,? 函数 f ( x) 的值域为 [1, 2 ] . 2 6? ?

??????12 分

17. 解 : 根 据 题 意 , 分 别 记 “ 甲 付 费 0 元 、 2 元 、 3 元 ” 为 事 件 A1 , A2, A 3 , 它 们 彼 此 互 斥 , 且

p( A1 ) ? 0.4, p( A2 ) ? 0.5 ,? p( A3 ) ? 1 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.1 L L L 1 分
分别记“乙付费 0 元、2 元、3 元”为事件 B1 , B2 , B3 ,它们彼此互斥,且 p( B1 ) ? 0.5, p( B2 ) ? 0.3 ,

? p( B3 ) ? 1 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.2 L L L 2 分
由题意 A1 , A2 , A3 与 B1 , B2 , B3 相互独立 L L L 3 分 记甲、乙两人所付费用相同为事件 M ,则 M ? A 1B 1?A 2 B2 ? A 3 B3

? p(M ) ? p( A1 ) p( B1 ) ? p( A2 ) p( B2 ) ? p( A3 ) p( B3 ) ? 0.37 L L L 6 分
(II)由题意 ? 的可能取值为 0, 2,3,4,5,6

? p(? ? 0) ? p( A1 ) p( B1 ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.2 p(? ? 2) ? p( A1 ) p( B2 ) ? p( A2 ) p(B1 ) ? 0.4 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.37 p(? ? 3) ? p( A1 ) p( B3 ) ? p( A3 ) p( B1 ) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.1? 0.5 ? 0.13 p(? ? 4) ? p( A2 ) p( B2 ) ? 0.5 ? 0.3 ? 0.15
理科数学 第 5 页(共 4 页)

p(? ? 5) ? p( A2 ) p( B3 ) ? p( A3 ) p( B2 ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.1? 0.3 ? 0.13 p(? ? 6) ? p( A3 ) p( B3 ) ? 0.1? 0.2 ? 0.02
? ? 的分布列为

?

0 0.2

2 0.37

3 0.13

4 0.15

5 0.13

6 0.02

L L L 10 分
? ? 的的期望为 E? ? 0 ? 0.2 ? 2 ? 0.37 ? 3 ? 0.13 ? 4 ? 0.15 ? 5 ? 0.13 ? 6 ? 0.02 ? 2.5
答:甲、乙两人所付锻炼费用相同的概率为 0.37, ? 的数学期望为 2.5 L L L 12 分 18、解法一:(Ⅰ) 取 PB 的中点 N,联结 MN、CN, ? M、N 分别为 PA、PB 的中点,

MN // AB ,且 MN ?

1 AB . 2

∵四边形 ABCD 是直角梯形, AB // CD 且 AB ? 2CD , ∴ MN // CD 且 MN ? CD . ∴四边形 CDMN 是平行四边形. ∴DM//CN. 又? CN ? 平面 PCB , ? DM // 平面 PCB .???????4 分 ( Ⅱ ) 取 AD 的中点 G ,连结 PG、GB、BD . 分 ????? 5 ?????6 分 ?????7 分 ??????9 分

PA ? PD , ? PG ? AD . AB ? AD ,且 ?DAB ? 60? , ? ?ABD 是正三角形, BG ? AD . ? AD ? 平面 PGB . ? AD ? PB . (III) 由(II)得, BG ? AD .

又∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,交线为 AD ? BG ? 面PAD ∴ ?BPG 是 PB 与面 PAD 所成的角 设 AB=AD=2 a ,又∵ ?ABD 是正三角形 则 BG= 3a ,PG= a ?????11 分 AB ? AD ,且 ?DAB ? 60? ,

∴在 RT ?PBG 中, tan ?BPG ?
0

BG ? 3 PG

∴ ?BPG = 60

0

即 PB 与面 PAD 所成的角为 60 解法二:(Ⅰ)同解法 1, (Ⅱ) PG ? AD .

?????14 分

又∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,交线为 AD? PG ? 面PAD 又∵ BG ? AD . ?????6 分

∴直线 AD、GB、GP 两两互相垂直,故可以分别以直线 AD、GB、GP 为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立如图所 理科数学 第 6 页(共 4 页)

z
P

示的空间直角坐标系 G ? xyz .

设 PG ? a ,则可求得 P(0,0, a), A(a,0,0), B(0, 3a,0), D(?a,0,0) ,

则 AD ? (?2a,0,0) , PB ? (0, 3a,?a)

? AD ? PB ? 0 ,? AD ? PB

?????9 分

(III) GB ? (0, 3a,0) 是平面 PAD 的法向量 又 PB ? (0, 3a,?a) , 设 PB 与面 PAD 所成的角为 ?

? sin ? ?

PB ? GB PB ? GB

?

3 2
?????14 分

? 直线 PB 与面 PAD 所成的角为 60 0

19、解: (1)圆 C 2 的方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 的圆心为 C2 (0, ? 1) ,半径 r ? 则圆心到直线 l1 : y ? 2 x ? m (m ? 0) 的距离 d ?

5 ,???1 分

1? m 2 2 ? (?1) 2

? 5 ,????2 分
???????4 分

解得 m ? ?6 ( m ? 4 )舍去。则直线 l1 为 y ? 2 x ? 6 , 又因为它与抛物线 C1 y ? ax2 ( a ? 0 )相切 所以 ?

? y ? 2x ? 6 ? y ? ax
2

2 即 ax ? 2 x ? 6 ? 0 ,令 ? ? 0

即4 ? 4?a?6 ? 0

a?

1 6

????7 分

(2)抛物线 C1 y ?

x2 x2 1 2 3 1 x ,焦点 F (0, ) ,设 A( x0 , 0 ) ,则 l 的方程为 y ? x0 ( x ? x0 ) ? 0 ,?9 分 6 2 6 3 6
???12 分

2 2 2 x0 x0 x0 3 3 ) ??10 分 , FA ? ( x0 , ? ) , FB ? (0, ? ? ) 令 x ? 0 ,得 B(0, ? 6 6 2 6 2

3 ? FM ? FA ? FB ? ( x0 , ? 3) ,所以 M ( x 0 , ? ) 2 3 即 点 M 在定直线 y ? ? 上。 ???????14 分 2
20、 (Ⅰ)∵点 (

1 1 1 1 , ) 在 f ( x) ? x ? 2 的图像上, ? ? ? 2(n ? 2) Sn ?1 Sn S n S n ?1
? Sn ? 1 ???2 分 2n

? 数列{

1 1 1 }是首项为 ? 2 公差为 2 的等差数列? ? 2 ? 2(n ? 1) Sn S1 Sn

理科数学 第 7 页(共 4 页)

当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 当 n ? 1时a1 ? S n ?

1 1 1 ? ?? 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)

1 2

?1 (n ? 1) ? ?2 ????????4 分 ? an ? ? 1 ? (n ? 2) ? ? 2n(1 ? n)
由已知得 b1 ? 0, n ? 2时,由(1)知bn ? 2(1 ? n)a n ?

?0 n ? 1 1 ? , ? bn ? ? 1 n n?2 ? ?n

?5 分

bn? 2 (Ⅱ) f (n) ? ? (n ? 5)bn ?1

1 n?2 (n ? 5) ?
1 9 1 n

1 n ?1

? n ?1?

1 4 ?5 n ?1

?

1 ????8 分 9

当且仅当 n=1 时, f (n)取最大值

????????9 分

(Ⅲ)? n ? 2时, bn ? 2(1 ? n)a n ?

?Tn ?
? 1?

1 1 1 1 1 1 ???????11 分 ? 2 ??? ? ? ??? 2 2 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 3 (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 ? Tn ? 1 ? ?1 n ?1 1 1 x ?1 21、解: (1)①当 x ? 时, f '( x) ? 1 ? ? , 2 x x

???????14 分

由 f '( x) ? 0 得 x ? 1 ,? f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数;?????2 分

1 1 2 2 时, f ( x) ? x ? 2x ? a ?1 ? ( x ? 1) ? a ? 2 ,? f ( x) 在 ( ?1, ] 上为增函数;??4 分 2 2 1 ? f ( x) 的单调递增区间为: ( ?1, ] 和 (1, ??) ?????5 分 2 1 1 (2)①当 x ? 时,由(I)知 f ( x ) 在 ( ,1) 递减,在 (1, ??) 上递增,且 f '(1) ? 0 , 2 2 1 ? f ( x) 有极小值 f (1) ? 1 ? 0 ,? f ( x) 在 x ? 时无零点;?????7 分 2 1 2 ②当 x ? 时, f ( x) ? x ? 2 x ? a ? 1, ? ? 4 ? 4(a ? 1) ? 8 ? 4a , 2
②当 x ? 当 ? ? 0 ,即 a ? 2 时, f ( x ) 无零点;?????8 分 当 ? ? 0 ,即 a ? 2 时, f ( x ) 有一个零点-1;?????9 分 理科数学 第 8 页(共 4 页)

?8 ? 4a ? 0 1 1 ? ? ? 0 f ( ) ? 0 ? ? ? a ? 2 时, 当 且 时,即 ? 1 2 4 ?1? a ?1 ? 0 ? ?4
f ( x) 有两个零点: x ?

?2 ? 8 ? 4a ? ?1 ? 2 ? a ??11 分 2

?8 ? 4a ? 0 1 1 ? ? a ? ? 时, 当 ? ? 0 且 f ( ) ? 0 时,即 ? 1 2 4 ?1? a ?1 ? 0 ? ?4
f ( x) 有一个零点: x ? ?1 ? 2 ? a ???13 分
综上,当 a ? 2 时, f ( x ) 无零点;当 a ? 2 时, f ( x ) 有一个零点-1;

1 ? a ? 2 时, f ( x) 有两个零点: x ? ?1 ? 2 ? a ; 4 1 当 a ? ? 时, f ( x ) 有一个零点: x ? ?1 ? 2 ? a ????14 分 4
当?

理科数学 第 9 页(共 4 页)


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