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2012年上海静安区高三数学二模


2012 年上海静安区高三数学二模

第 I 卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的. 1. 复数 A. B. 1 C. D. 2. 设集合 , 则集合 M,N 的关系为 A. B. C. D. 3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 n 的值为 A.5 B.6 C

.7 D.8 4. 已知圆 上两点 M、N 关于直线 2x+y=0 对称,则圆的半径为 A.9 B.3 C.2 D.2 5. 一空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图为 6. 设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z=x+2y 的最大值为 A.1 B.4 C.5 D.6 7. 在等比数列 中, , ,则 A.64 B.32 C.16 D.128 8. 为了解疾病 A 是否与性别有关, 在一医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如下 的列联表: 患疾病 A 不患疾病 A 合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计 30 20 50 请计算出统计量 ,你有多大的把握认为疾病 A 与性别有关 下面的临界值表供参考:

0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 9. 函数 是 A.最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 10. 设 是空间两条直线, , 是空间两个平面,则下列选项中不正确的是 A.当 时, ”是“ ”的必要不充分条件 “ B.当 时, ”是“ ”的充分不必要条件 “ C.当 时, ”是“ ∥ ”成立的充要条件 “ D.当 时, ”是“ ”的充分不必要条件 “ 11. 函数 的图象大致为

A.

B.

C.

D.

12. 已知函数 ,若函数 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 若向量 , , ,则实数 . 14. 已知双曲线 的焦点 到一条渐近线的距离为 ,点 为坐标原点,则此双曲线的离心率 为 . 15. 在 中, , , ,则 . 16. 对大于或等于 的自然数 的 次方幂有如下分解方式: 根据上述分解规律,若 的分解中最小的数是 73,则 的值为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 (其中 >0),且函数 f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为 . (1)求ω 的值; (2)将函数 的图象上各点横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 的图象,求函 数 在区间 的最大值和最小值. 18. (本小题满分 12 分) 为了宣传今年 10 月在济南市举行的“第十届中国艺术节” “十艺节”筹委会举办了“十 , 艺节”知识有奖问答活动,随机对市民 15~65 岁的人群抽样 n 人,回答问题统计结果如下 图表所示: (1)分别求出 a,x 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人, “十艺节”筹委会决定在 所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖, 求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的 概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 斜三棱柱 中, 侧面 底面 ABC, 底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形, 侧面 是菱形, , E、F 分别是 、AB 的中点. 求证: (1) ; (2)求三棱锥 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 的前 项和为 ,且 ,数列 满足 ,且 . (1)求数列 , 的通项公式; (2)设 ,求数列 的前 项和 . 21.(本小题满分 13 分) 已知函数 的图象如右图所示. (1)求函数 的解析式; (2)若 在其定义域内为增函数,求实数 的取值范围. 22. (本小题满分 13 分)

已知点 F1 和 F2 是椭圆 M: 的两个焦点,且椭圆 M 经过点 . (1)求椭圆 M 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 和椭圆 M 交于 A、B 两点,且 ,求直线 l 的方程; (3)过点 P(0,2)的直线和椭圆 M 交于 A、B 两点,点 A 关于 y 轴的对称点 C,求证:直线 CB 必过 y 轴上的定点,并求出此定点坐标. 2013 年 4 月济南市高三巩固性训练文科数学参考答案 1.D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.A 8. C 9.B 10. A 11.B 12.C 13. 14.2 15. 1 或 16.9 17.解: (1) = . ????????????3 分 ∵函数 f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为 , ∴ . ????????????5 分 ∴ . ????????????6 分 (2)由(1)得 , ∴ . ????????????8 分 由 x 可得 , ???????????10 分 ∴当 ,即 x= 时, 取得最大值 ; 当 ,即 x= 时, 取得最小值 . ????12 分 18. 解: (1)由频率表中第 1 组数据可知,第 1 组总人数为 , 再结合频率分布直方图可知 . ????????????2 分 ∴a=100×0.020×10×0.9=18, ????????????4 分 , ????????????6 分 (2)第 2,3,4 组中回答正确的共有 54 人. ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:第 2 组: 人,第 3 组: 人, 第 4 组: 人. ????????????8 分 设第 2 组的 2 人为 、 ,第 3 组的 3 人为 、 、B3,第 4 组的 1 人为 ,则从 6 人中抽 2 人 所有可能的结果有: , , , , , , , , , , , , , , ,共 15 个基本事 件, ????????????10 分 其中第 2 组至少有 1 人被抽中的有 , , , , , , , , 这 9 个基本事件. ∴第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为 . ????????????12 分 19. 证明: (1) 在平面 内,作 ,O 为垂足. 因为 ,所以 ,即 O 为 AC 的中点,所以 .??3 分 因而 .因为侧面 ⊥底面 ABC,交线为 AC, ,所以 底面 ABC. 所以 底面 ABC. ??6 分 (2)F 到平面 的距离等于 B 点到平面 距离 BO 的一半,而 BO= . ??8 分 所以 . ??12 分 20.解: (1)当 , ; ??????????1 分 当 时, ,∴ . ?????2 分 ∴ 是等比数列,公比为 2,首项 , ∴ . ???3 分 由 ,得 是等差数列,公差为 2. ????????4 分 又首项 ,∴ . ????????????6 分 (2) ????????8 分 ?????10 分 . ???????????12 分

21.解: (1)∵ , ????????????????2 分 由图可知函数 的图象过点 ,且 . 得 , 即 . ??????????????????4 分 ∴ . ??????????????????5 分 (2)∵ , ????????????6 分 ∴ . ????????????????8 分 ∵ 函数 的定义域为 , ????????????????9 分 ∴若函数 在其定义域内为单调增函数,则函数 在 上恒成立,即 在区间 上恒成 立. ???????????10 分 即 在区间 上恒成立. 令 , , 则 (当且仅当 时取等号). ???????12 分 ∴ . ????????????????????????????13 分 22.解: (1)由条件得:c= ,设椭圆的方程 ,将 代入得 ,解得 ,所以椭圆方程为 . --------4 分 (2)斜率不存在时, 不适合条件;----------------------5 分 设直线 l 的方程 ,点 B(x1,y1), 点 A(x2,y2), 代入椭圆 M 的方程并整理得: . ,得 . 且 . -------------------7 分 因为 ,即 ,所以 . 代入上式得 ,解得 , 所以所求直线 l 的方程: . --------------------9 分 (3)设过点 P(0,2)的直线 AB 方程为: ,点 B(x1,y1), 点 A(x2,y2), C(-x2,y2). 将直线 AB 方程代入椭圆 M: ,并整理得: , ,得 . 且 . 设直线 CB 的方程为: , 令 x=0 得: .----------11 分 将 代入上式得: . 所以直线 CB 必过 y 轴上的定点,且此定点坐标为 . ---------12 分 当直线斜率不存在时,也满足过定点的条件。---------13 分


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