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河北省衡水中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题


2013—2014 学年度第二学期高二年级期中考试 (理科)数学试卷
一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序 号填涂在答题卡上) 1.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2 ? X ? 4) =0.6826,则 p (X>4)=( A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 )

2.如图所示,已知⊙O 的半径为 5,两弦 AB、CD 相交于 AB 的中点 E,且 AB=8,CE∶ED=4∶9, 则圆心到弦 CD 的距离为( 2 14 A. 3 2 7 C. 3 ). B. 28 9 80 9

D.

3.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率为 b ,不得分 的概率为 c ( a 、 b 、 c ? (0 ,1) ) ,已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其它得分情况) , 则 ab 的最大值为 A.

1 48

B.

1 24

C.

1 12


D.

1 6

4.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则 事件 A 在一次试验中发生的概率 P 的取值范围是( A.[0.4,1) C.(0,0.6]

B.(0,0.4] D.[0.6,1)

5..设 (5x ? x )n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开式 x3 的系数为 A.-150 B.150 ( ) C.-500 D.500

6.下列正确的个数是( ) (1) 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等。 (2) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的平均数改变,方差不改变。

(3)一个样本的方差是 s = 60.

2

1 2 2 2 [(x 1 一 3) +-(X 2 —3) +?+( X n 一 3) ],则这组数据的总和等于 20

(4) 数据 a1 , a2 , a3 ,..., an 的方差为 ? ,则数据 2a1 , 2a2 , 2a3 ,..., 2an 的方差为 4?
2

2

A.4

B. 3

C .2

D. 1
2

7.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AE∶EB=1∶2,若 S ?AEF =6cm , 则 S ?ADF 为( A.54 cm C.18 cm
2

).

B.24 cm D.12 cm

2

2

2

1 8. 设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的概率 9 与 B 发生 A 不发生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是 2 A. 9 B. 1 18 1 C. 3 2 D. 3 ( ).

9. 如图所示,⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E,AC 和 BD 的延长线相 交于点 P,下面结论: ①PA?PC=PD?PB;②PC?CA=PB?BD;③CE?CD=BE?BA; ④PA?CD=PD?AB.其中正确的有 A.1 个 B.2 个
1999

C.3 个

D .4 个

10.对于二项式 ?1 ? x ?

, 有下列四个命题正确的是( )
B.展开式中非常数项系数和是 1.

1000 999 A.展开式中T1000 ? C 1999 x .

C.展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项; D.当 x ? 2000 时, ?1 ? x ?
1999

除以 2000 的余数是 1

11. 如图所示,P、Q 分别在 BC 和 AC 上,BP∶CP=2∶5,CQ∶QA=3∶4, 则 ( A.3∶14

AR RP

). B.14∶3 C.17∶3 D.17∶14

12.若一个三位正整数 a1a2a3 满足 a1 ? a2 ? a3 ,则称这样的三位数 为凸数, 则所有的三位凸数的个数是 A.240 B.204 C.729 D.920

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上) 13.如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,

∠ABC=90°,点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 的夹 角是 14.已知函数 f(x)= lna+lnx 在[1,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是

x

1 2 15.如图阴影部分是由曲线 y= ,y =x 与直线 x=2,y=0 围成,则其面积为________.

x

x2 y2 16.已知 F1 、F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点,椭 a b
圆上存在一点 P,使得 S ?F1PF 2 ? 值范围是 。

3b 2 ,则该椭圆的离心率的取

三、 解答题 (共 70 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中,任选 3 人参加学校的 义务劳动. (1) 求男生甲或女生乙被选中的概率 (2);设“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,求 P(B)和 P(A|B).

18.(本题满分 12 分)如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的 延长线相交于点 P , E 为⊙O 上一点,弧 AE 等于弧 AC, DE 交

AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 ,求 PF 的长度.

19.(本题 12 分) “中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式 过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取 30 名路人进行了问卷调查,已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是

8 .得到了如下列联表: 15

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程) ,并据此资料 分析是否有百分之九十五以上的把握认为反感“中国式过马路 ”与性别是否有关? (Ⅱ)若从这 30 人中的女性路人中随机抽取 2 人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.附表 P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 E A F G P B D O C

k

3.841

6.635

10.828

20.(本题满分 12 分)如图, A 是以 BC 为直径的⊙O 上一点, AD ? BC 于点 D ,过点 B 作⊙O 的 切线 , 与 CA 的延长线相交于点 E,G 是 AD 的中点 , 连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F , 延长

AF 与 CB 的延长线相交于点 P .
(1)求证: BF ? EF ; (2) 若 PB ? BC ? 3 2 , 求 PA 的长. 21. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0, 3)、(0,- 3)的距离之和 等于 4.设点 P 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程; → → → (2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点,k 为何值时OA⊥OB?此时|AB|的值是多少? 22.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x +ax +1(a∈R).
3 2

? 2? ?2 ? (1)若函数 y=f(x)在区间?0, ?上递增,在区间? ,+∞?上递减,求 a 的值; ? 3? ?3 ?
(2)当 x∈[0,1]时,设函数 y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为 θ ,若给定常数

? ? a∈? ,+∞?,求 tan ? 的取值范围;
3

?2

?

(3)在(1)的条件下,是否存在实数 m,使得函数 g(x)=x -5x +(2-m)x +1(m∈R)的 图象与函数 y=f(x)的图象恰有三个交点.若存在,求实数 m 的取值范围;若不存在,试说明 理由.

4

3

2

高二期中理科数学答案
一选择题 BADBB
0

ACDAD

AB 2 15. +ln2_ 3 16. [

二、填空题 13.60

14. a≥e

3 , 1) 2

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (以下评分标准仅供参考) 17. 解 (1)设“甲、乙都不被选中”为事件 C,

C4 4 1 1 4 则 P(C)= 3= = , ∴所求概率为 P( C )=1-P(C)=1- = . C6 20 5 5 5
2 1

3

--------5 分

C5 10 1 C4 1 P AB 2 = , P(AB) = 3 = , ∴ P(A|B) = = . 3 = C6 20 2 C6 5 P B 5 ------------10 分 18. 解 : 连 结 OC , OD, OE , 由 同 弧 对 应 的 圆 周 角 与 圆 心 角 之 间 的 关 系 结 合 题 中 条 件 弧 (2)P(B) =

AE ? 弧AC 可得 ?CDE ? ?AOC ,又 ?CDE ? ?P ? ?PFD ,

E A C O F B D P

?AOC ? ?P ? ?C ,从而 ?PFD ? ?PCO , PF PD ? 故 ?PFD ?PCO ,∴ , PC PO
由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ? 19.解(Ⅰ) 男性 反感 不反感 合计 10 6 16

PC ? PD 12 ? ?3. PO 4
合计 16 14 30

----------12 分

女性 6 8 14

?????3 分 由已知数据得: ? ?
2

30(10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 ? 1.158 ? 3.841 , 16 ?14 ?16 ?14
???6 分

所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2.

P( X ? 0) ?

2 1 C8 C1 4 48 6C8 ? , P ( X ? 1) ? ? , 2 2 C14 13 C14 91

2 C6 15 P( X ? 2) ? 2 ? , C14 91

?????9 分

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

48 15 91 91 4 48 15 6 X 的数学期望为: EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 13 91 91 7
20. (1)证明:∵ BC 是 O 的直径, BE 是 O 的切线, ∴ EB ? BC .又∵ AD ? BC ,∴ AD ∥ BE . 易证 △BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC . E A F G P B D

4 13

?????12 分


O C

BF CF EF CF ? , ? . DG CG AG CG BF EF ∴ ? . DG AG ∵ G 是 AD 的中点,∴ DG ? AG . ∴ BF ? EF . ------------------6 分 (2)证明:连结 AO,AB .∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ?BAC ? 90° . 在 Rt△BAE 中,由(1) ,知 F 是斜边 BE 的中点, ∴ AF ? FB ? EF .∴ ?FBA ? ?FAB .又∵ OA ? OB ,∴ ?ABO ? ?BAO . ∵ BE 是 O 的切线,∴ ?EBO ? 90° . ∵ ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° ,∴ PA 是 O 的切线. ∴
所以 PA ? PB PC ? 3 2 6 2 ? 36 所以 PA ? 6 -----------12 分 21. 解:(1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3),(0, 3)为焦点,长
2

半轴为 a=2 的椭圆,它的短半轴 b= 2 - 故曲线 C 的方程为 x + =1. 4
2

2

3

2

=1, ----------4 分

y2

y ? ?x2+ =1, 4 (2)由? ? ?y=kx+1,
消去 y 并整理得(k +4)x +2kx-3=0, 2 2 2 Δ =(2k) -4?(k +4)?(-3)=16(k +3)>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2k 3 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 → → 由OA⊥OB,得 x1x2+y1y2=0. 2 而 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k x1x2+k(x1+x2)+1, 2 2 2 3 3k 2k -4k +1 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - 2 +1= 2 . k +4 k +4 k +4 k +4 2 -4k +1 1 → → 由 2 =0,得 k=± ,此时OA⊥OB. k +4 2 1 4 12 当 k=± 时,x1+x2=? ,x1x2=- . 2 17 17 → 2 2 2 |AB|= x2-x1 + y2-y1 = +k x2-x1 2 2 而(x2-x1) =(x2+x1) -4x1x2 2 2 4 12 4 ?52 = 2+4? = 2 , 17 17 17 → 4 65 所以|AB|= . 17 22. [解析]
2 2

2

----------6 分

------------10 分

2



----------12 分

?2? (1)依题意 f′? ?=0, ?3?
-----------2 分

2 ?2?2 2 由 f′(x)=-3x +2ax,得-3? ? +2a? =0,即 a=1. 3 3 ? ? (2)当 x∈[0,1]时,tanθ =f′(x)=-3x +2ax=-3?x- ? + . ? 3? 3
2

?

a?2 a2

a ?1 ?3 ? ? 由 a∈? ,+∞?,得 ∈? ,+∞?. 3 ?2 ?2 ? ? a ?1 ? a2 ?3 ? ①当 ∈? ,1?,即 a∈? ,3?时,f′(x)max= , 3 ?2 ? 3 ?2 ? f(x)min=f′(0)=0.
此时 0≤tanθ ≤ . 3

a2

------------5 分

②当 ∈(1,+∞),即 a∈(3,+∞)时,f′(x)max=f′(1)=2a-3,f′(x)min=f′(0)=0, 3 此时,0≤tanθ ≤2a-3. 3 a 又∵θ ∈[0,π ),∴当 <a≤3 时,0≤tanθ ≤ 2 3
2

a

当 a>3 时,0≤tanθ ≤2a-3 --------------8 分

(3)函数 y=f(x)与 g(x)=x -5x +(2-m)x +1(m∈R)的图象恰有 3 个交点,等价于方程-

4

3

2

x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1 恰有 3 个不等实根,
∴x -4x +(1-m)x =0, 显然 x=0 是其中一个根(二重根), 方程 x -4x+(1-m)=0 有两个非零不等实根,则
? ?Δ =16-4(1-m)>0 ? ?1-m≠0 ?
2 4 3 2

∴m>-3 且 m≠1 故当 m>-3 且 m≠1 时,函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象恰有 3 个交点. -----12 分


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