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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第41讲 合情推理与演绎推理 Word版含解析


第八单元 推理与证明 第41讲 合情推理与演绎推理

1.(2012· 山东省潍坊市三县高三 10 月联合考试)给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理 数集,R 为实数集,C 为复数集) ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比

推出“若 a,b,c,d ∈Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”. 其中类比得到的结论正确的个数是( C ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:因为虚数不能比较大小,所以③错误,故选 C. 1 2.(2013· 衡水调研卷)已知 an=( )n,把数列{an}的各项排成如下的三角形: 3 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ?? 记 A(s,t)表示第 s 行的第 t 个数,则 A(11,12)=( D ) 1 1 A.( )67 B.( )68 3 3 1 111 1 C.( ) D.( )112 3 3 解析: 该三角形数阵每行所对应元素的个数为 1,3,5?, 那么第 10 行的最后一个数为 a100, 1 112 第 11 行的第 12 个数为 a112,即 A(11,12)=( ) ,故选 D. 3 1 3.(2013· 福建福州模拟)“因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=( )x 是指数函 3 1 数(小前提),所以 y=( )x 是增函数(结论)”,上面推理的错误是( A ) 3 A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错都导致结论错 解析:y=ax 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错,故选 A. 4.(2012· 广东省肇庆市第一次模拟)设 M 为平面内一些向量组成的集合, 若对任意正实 数 λ 和向量 a∈M, 都有 λa∈M, 则称 M 为“点射域”, 则下列平面向量的集合为“点射域” 的是( B ) A.{(x,y)|y≥x2} B.{(x,y)|{x-y≥ x+y≤0 } C.{(x,y)|x2+y2-2y≥0} D.{(x,y)|3x2+2y2-12<0} 解析:由题知不可能是曲边界的区域,如果边界为曲边区域,当向量 a∈M,对任意正 实数 λ 所得的向量 λa 不能再通过平移到原区域内,所以排除 A、C、D,易知 B 正确. 5.(2013· 韶关一调)在平面△ABC 中的角 C 的内角平分线 CE 分△ABC 面积所成的比 S△AEC AC = ,将这个结论类比到空间:在三棱锥 ABCD 中,平面 DEC 平分二面角 ACDB S△BEC BC S△ACD VACDE 且与 AB 交于 E,则类比的结论为 = . VBS△BDC CDE

S△AEC AC 解析:此类问题由平面类比空间,应该面积类比体积,长度类比面积,由 = , S△BEC BC S△ACD VA2 2 3 3 4 4 CDE 类比得 = . 6.已知 2+ =2 , 3+ =3 , 4+ =4 ,?, VB3 3 8 8 15 15 S△BDC CDE a a 若 6+ =6 (a,t 均为正实数).类比以上等式可推测 a,t 的值,则 a+t= 41 . t t 解析:由推理可得 a=6,t=62-1,故 a+t=41. 7.(2012· 南通市教研室数学全真模拟)记 Sk=1k+2k+3k+?+nk,当 k=1,2,3,?时, 观察下列等式: 1 1 S1= n2+ n, 2 2 1 3 1 2 1 S2= n + n + n, 3 2 6 1 4 1 3 1 2 S3= n + n + n , 4 2 4 1 5 1 4 1 3 1 S4= n + n + n - n, 5 2 3 30 1 5 S5=An6+ n5+ n4+Bn2, 2 12 1 可以推测,A-B= . 4 1 1 1 5 1 解析: 观察知 A= , 对于 S5, 可令 n=1 得 S5=1, 即有 + + +B=1, 所以 B=- , 6 6 2 12 12 1 所以 A-B= . 4 8.在△ABC 中,∠C=90° ,则 cos2A+cos2B=1,用类比的方法猜想三棱锥的类似性 质,并证明你的猜想. 解析:如图,由平面类比到空间,有下列猜想:

“在三棱锥 PABC 中,三个侧面 PAB,PBC,PCA 两两垂直,且与底面所成的角分别 为 α,β,γ,则 cos2α+cos2β+cos2γ=1” 证明:设 P 在平面 ABC 上的射影为 O,记 PO=h,PC⊥PA 且 PC⊥PB?PC⊥PM(M 为 h CO 与 AB 的交点),且∠PMC=α,cos α=sin ∠PCO= , PC h h 同理 cos β= ,cos γ= , PA PB 1 11 1 1 又 PA· PB· PC= ( PA· PBcos α+ PB· PCcos β+ PC· PAcos γ)· h, 6 32 2 2 cos α cos β cos γ 即( + + )h=1, PC PA PB 2 2 2 即 cos α+cos β+cos γ=1. 9.(2012· 山东省诸城市高三 10 月模拟)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、 (2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越

多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个 小正方形.

(1)求 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你 得到的关系式求出 f(n)的表达式. 解析:(1)f(5)=41. (2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 所以 f(n+1)-f(n)=4n. 由 f(n+1)-f(n)=4n?f(n+1)=f(n)+4n? f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =?? =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4(n-n+2)+4 =2n2-2n+1.


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