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浙江省余姚市余姚中学2013届高三上学期第二次质量检测数学文科试题


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余姚中学第二次质量检测高三数学(文科)试卷
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的。 (1) 设 U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3}, B={2,4}, 则 A∪ U B = (A) {1,2,3,4} (B) {1,2,3,5} (C) {2,3,4,5} (D) {1,3,4,5} (2) “x =1”是“x2 = 1”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (3) 在空间中, 下列命题正确的是 (A) 若两直线垂直于同一条直线, 则两直线平行 (B) 若两直线平行于同一个平面, 则两直线平行 (C) 若两平面垂直于同一个平面, 则两平面平行 (D) 若两平面平行于同一个平面, 则两平面平行 (4) 若 z =1-i (i 是虚数单位), 则 (A) z2-2z+2=0 (B) z2-2z-2=0 (C) 2z2-2z+1=0 (D) 2z2-2z-1=0 (5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 k 的值是 (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 k=k+1 结束 k=0 开始

S = 100

否 S>0? 是 S = S-2k 输出 k

(第 5 题) (6) 设向量 a , b 满足: | a |? 1 , | b |? 2 , a ? (a ? b) ? 0 , 则 a 与 b 的夹角是 (A) 30
?

(B) 60

?

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(C) 90

?

(D) 120
?

?

(7) 在 Rt△ABC 中, ∠A= 90 , ∠B= 60 , AB=1, 若圆 O 的圆心在直角边 AC 上, 且与 AB 和 BC 所在的 直线都相切, 则圆 O 的半径是 2 (A)

?

2 3

(B)

1 2

(C)

3 3

(D)

3 2

3 正视图

2 侧视图

(8) 若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此多面体的体积是 (A) 2 cm
3

2 (B) 4 cm
3

(C) 6 cm3

(D) 12 cm3

俯视图 (第 8 题)

(9) 下列各组函数中, 奇偶性相同, 值域也相同的一组是

1 1 , g ( x) ? x ? cos x x 1 1 (B) f ( x ) ? sin x ? , g ( x) ? x ? sin x x 1 1 2 2 (C) f ( x) ? cos x ? , g ( x) ? x ? 2 2 cos x x 1 1 2 2 (D) f ( x) ? sin x ? , g ( x) ? x ? 2 2 sin x x
(A) f ( x) ? cos x ? (10) 过双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)的右焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线 FM(切点为 M), 2 a b

交 y 轴于点 P. 若 M 为线段 FP 的中点, 则双曲线的离心率是 (A)

2

(B)

3

(C) 2

(D)

5

二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 (11) 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: Sn=n2+2n+a(n∈N*), 则实数 a=________. (12) 在平面直角坐标系 xOy 中, 二元一次方程 Ax+By=0(A, B 不同时为 0)表示过原点的直线. 类比以上结 论有: 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 三元一次方程 Ax+By+Cz=0(A, B, C 不同时为 0)表示________.

?2 x ? y ? 0, ? (13) 若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 3x-y 的最小值是________. ?3 x ? y ? 8 ? 0, ?
(14) 在 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个自然数中, 任取 2 个数, 它们的积是偶数的概率是________. (15) 设直线 3x+4y-5=0 与圆 C1: x ? y ? 4 交于 A, B 两点,
2 2

若圆 C2 的圆心在线段 AB 上, 且圆 C2 与圆 C1 相切, 切点在

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D

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圆 C1 的劣弧 AB 上, 则圆 C2 的半径的最大值是________. (16) 如图, 某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上, 小山的高 BC 为 35 米, 在地面上有一点 A, 测得 A, C 间的距离为 91 米,从 A 观测电视发射塔 CD 的视 角(∠CAD)为 45 ? , 则这座电视发射塔的高度 CD 为________米. A B (第 16 题) C

(17) 若对于任意的 x∈[1,3], x2+(1-a)x-a+2≥0 恒成立, 则实数 a 的取值范围 是________. 三、 解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 (18)(本题满分 14 分) 已知函数 f (x)= 2 3 sinxcosx-2cos2x +1. (Ⅰ) 求 f (

5 ? ); 12

(Ⅱ) 求函数 f (x)图象的对称轴方程.

(19) (本题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形, PA⊥底面 ABCD, E, F 分别是 AC, PB 的中点. (Ⅰ) 证明: EF∥平面 PCD; (Ⅱ) 若 PA=AB, 求 EF 与平面 PAC 所成角的大小.

P

F A E B C (第 19 题) D

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(20) (本题满分 14 分) 设数列 {an } 的首项 a1 ? ( n∈N*) . (Ⅰ) 求 a2 及 an ; (Ⅱ) 求满足

3 , 前 n 项和为 Sn , 且满足 2an ?1 ? Sn ? 3 2

18 S2 n 8 ? ? 的所有 n 的值. 17 Sn 7

(21)(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3(2 ? a2 ) x2 ? 6(1 ? a2 ) x ? 1 (a∈R). (Ⅰ) 若函数 f (x)在 R 上单调, 求 a 的值; (Ⅱ) 若函数 f (x)在区间[0,2]上的最大值是 5, 求 a 的取值范围.

(22)(本题满分 15 分) 已知抛物线 C 的顶点在原点, 焦点为 F(0, 1). (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 在抛物线 C 上是否存在点 P, 使得过点 P 的直线交 C 于另一点 Q, 满足 PF⊥QF, 且 PQ 与 C 在点 P 处的切线垂直? 若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由. Q y

F O (第 22 题)

P x

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余姚中学第二次质量检测高三数学(文科)试卷答题纸 一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11. 15. 三、解答题

12. 16.

13. 17.

14.

18. 解:

班级_______________姓名______________学号__________

密 封 线 内 不 要 答
19.


P

座位号

F A E B C (第 19 题) D

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20.解:

21.

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22.

y Q

F O (第 22 题)

P x

余姚中学第二次质量检测高三(文)数学答案
一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分, 满分 50 分。 (1) B (2) A (6) D (7) C (3) D (8) A (4) A (9) B (5) C (10) A

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分, 满分 28 分。 (11) 0 (12) 过原点的平面(原点,平面每对一个得 2 分) (13) 1

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(14)

7 10

(15) 1

(16) 169

(17) (-∞,2]

三、解答题: 本大题共 5 小题, 满分 72 分。 (18) 本题主要考查三角函数恒等变换及图象的对称性等基础知识, 同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 解:因为 f (x) = 3 sin2x-cos2x = 2sin(2x- 所以 f (

5 2? ? ) = 2sin = 3. 3 12

? ), 6

……………………(7 分)

(Ⅱ) 解: 令 2x-

? ? = k ? + (k∈Z), 得 6 2 k? ? ? , x= 2 3

所以函数 f (x)图象的对称轴方程是 x=

k? ? ? (k∈Z). ……………(14 分) 2 3

(19) 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 线面角大小计算, 同时考查空间想象能力和推理论 证能力。满分 14 分。 P (Ⅰ) 证明: 如图, 连结 BD, 则 E 是 BD 的中点. 又 F 是 PB 的中点, 所以 EF∥PD. F 因为 EF 不在平面 PCD 内, 所以 EF∥平面 PCD. …………………(6 分) A (Ⅱ) 解: 连结 PE. 因为 ABCD 是正方形, B 所以 BD⊥AC. 又 PA⊥平面 ABC, 所以 PA⊥BD. 因此 BD⊥平面 PAC. 故∠EPD 是 PD 与平面 PAC 所成的角. 因为 EF∥PD, 所以 EF 与平面 PAC 所成的角的大小等于∠EPD. 因为 PA=AB=AD, ∠PAD=∠BAD= 90 , 所以 Rt△PAD ≌ Rt△BAD. 因此 PD=BD. 在 Rt△PED 中, sin∠EPD=
? ?

E C

D

ED 1 ? , PD 2

∠EPD= 30 . 所以 EF 与平面 PAC 所成角的大小是 30 .
?

…………………(14 分)

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(20) 本题主要考查数列递推关系,等比数列的定义,求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力。满 分 14 分。 (Ⅰ) 解: 由 2an ?1 ? Sn ? 3 , 得

2a2 ? a1 ? 3 ,
又 a1 ?

3 , 2 3 . 4

所以 a 2 ?

由 2an ?1 ? Sn ? 3 , 2an ? Sn?1 ? 3 (n≥2)相减, 得

an ?1 1 ? , an 2


a2 1 ? , a1 2

3 1 为首项,以 为公比的等比数列. 2 2 3 1 n ?1 1 n 因此 an ? ? ( ) ? 3 ? ( ) ( n∈N*). …………………(7 分) 2 2 2
所以数列{an}是以 (Ⅱ) 解: 由题意与(Ⅰ), 得

18 S2 n 1 8 , ? ? 1 ? ( )n ? 17 Sn 2 7


1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ) n ? 因为 ? ( )3 ? ? ( )4 ? , , 17 2 7 17 2 7 17 2 7
…………………(14 分)

所以 n 的值为 3, 4.

(21) 本题主要考查函数的单调性、最值等基本性质、导数的应用等基础知识, 同时考查抽象概括能力和 运算求解能力。 (Ⅰ) 解:

f ?( x) ? 6x2 ? 6(2 ? a2 ) x ? 6(1 ? a2 ) ? 6( x ? 1)(x ? 1 ? a2 ) ,

因为函数 f (x)在 R 上单调, 所以 1 ? 1 ? a ,
2

即 a = 0. (Ⅱ) 解: 因为 1 ? 1 ? a ,
2

…………………(6 分)

所以 max {f (x)}= max{ f (1) , f (2)}= max{3a2+3, 5}=5,
0? x? 2

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即 3a +3 ≤ 5, 解此不等式, 得

2

?

6 6 , ?a? 3 3 6 6 . ?a? 3 3
…………………(15 分)

所以 a 的取值范围是 ?

(22) 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想 方法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 解: 设抛物线 C 的方程是 x2 = ay, 则

a ? 1, 4

即a=4. 故所求抛物线 C 的方程为 x2 = 4y . (Ⅱ) 解:设 P(x1, y1), Q(x2, y2) , 则抛物线 C 在点 P 处的切线方程是 …………………(5 分)

y?

x1 x ? y1 , 2

直线 PQ 的方程是

y??

2 x ? 2 ? y1 . x1

将上式代入抛物线 C 的方程, 得

8 x ? 4(2 ? y1 ) ? 0 , x1 8 故 x1+x2= ? , x1x2=-8-4y1, x1 8 4 所以 x2= ? -x1 , y2= +y1+4 . x1 y1 x2 ?
而 FP =(x1, y1-1), FQ =(x2, y2-1),

FP ? FQ =x1 x2+(y1-1) (y2-1)
=x1 x2+y1 y2-(y1+y2)+1 =-4(2+y1)+ y1( = y1 -2y1 -
2

4 4 +y1+4)-( +2y1+4)+1 y1 y1

4 -7 y1 1 2 =( y1 +2y1+1)-4( +y1+2) y1
=(y1+1)2-

4( y1 ? 1)2 y1

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( y1 ? 4)( y1 ? 1) =0, y1
2

故 y1=4, 此时, 点 P 的坐标是(±4,4) . 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点 P 存在, 其坐标为 P(±4,4). ………………(15 分)


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