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2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案


2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
说明:
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不

要再增加其他中间档次.

一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函数
y ? s in ( x ?

? ? y ? f ( x ) 的图像按向量 a ? ( , 2 ) 平移后, 得到的图像的解析式为 4
) ? 2 . 那么 y ? f ( x ) 的解析式为(

?
4

)

A.

y ? sin x

B.
2

y ? co s x

C.

y ? sin x ? 2
*

D.

y ? cos x ? 4

2. 如果二次方程
( )

x ? p x ? q ? 0 ( p , q ? N ) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有

A. 5 个 3. 设 A. 2 4. 设四棱锥 A. 不存在 5. 设数列
余数为( )

B. 6 个
2

C. 7 个
1 b(a ? b)

D. 8 个
)
A1

P C1 B1 C B

a ? b ? 0 , 那么 a ?

的最小值是(

D1

B. 3

C. 4

D. 5
去截此
A D

P ? A B C D 的底面不是平行四边形, 用平面 ?

四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ? (

)

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个

{ a n } : a 0 ? 2, a 1 ? 1 6, a n ? 2 ? 1 6 a n ? 1 ? 6 3 a n , n ? N*, 则 a 2 0 0 5 被 64 除的

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有( )

A.

30

8



B.

30 ? 25

7



C.

30 ? 20

7



D.
??? ?

30 ? 21

7



二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7. 设向量
??? ?

??? ? ? O A 绕点 O 逆时针旋转 2
王新敞
奎屯 新疆

得向量 O B , 且 2 O A ? O B ? (7 , 9 ) , 则

??? ?

??? ?

向量 O B ? _________

1

8. 设无穷数列

{ a n } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , a n 与

2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为__________

王新敞
奎屯

新疆

9. 函数

y ? | cos x | ? | cos 2 x | ( x ? R) 的最小值是

________

王新敞
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10. 在长方体

A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, A B ? 2 , A A1 ? A D ? 1 , 点 E 、 F 、 G

分别是棱 A A1 、 C 1 D 1 与 B C 的中点, 那么四面体 B 1 ? E F G 的体积是 _________

王新敞
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新疆

11. 由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 位数共有 ________
王新敞
奎屯 新疆

5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5

12. 已知平面上两个点集

M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1 | ?

2 ( x ? y ) , x , y ? R},
2 2

N ? { ( x , y ) | | x ? a | ? | y ? 1 | ? 1, x , y ? R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是__

王新敞
奎屯

新疆

三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ? A B C 的中线 A D 上的一点, 直线 B M 交边
N , 且 A B 是 ? N B C 的外接圆的切线, 设

AC

于点
王新敞
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BC BN

? ? , 试求

BM MN

(用 ? 表示)

A

M B D

N C

2

14. 求所有使得下列命题成立的正整数


n ( n ? 2 ) : 对于任意实数 x1 , x 2 , ? , x n ,

?
i ?1

n

x i ? 0 时, 总有

?
i ?1

n

x i x i ? 1 ? 0 ( 其中 x n ? 1 ? x1 )

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15. 设椭圆的方程为
轴垂直的焦点弦

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) , 线段 P Q

是过左焦点 F

且不与 x

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若在左准线上存在点 R , 使 ? P Q R 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的
y
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取值范围, 并用 e 表示直线 P Q 的斜率

R

Q

F P

o

x

3

16. (1) 若

n ( n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的
王新敞
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最小值, 并说明理由

(2) 若 n ( n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 最小值, 并说明理由
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2005

, 求 n 的

4

2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准
说明:
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次
王新敞
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奎屯

新疆

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新疆

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新疆

一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函数
y ? s in ( x ? ? ? y ? f ( x ) 的图像按向量 a ? ( , 2 ) 平移后, 得到的图像的解析式为 4 ) ? 2 . 那么 y ? f ( x ) 的解析式为

?
4

A.

y ? sin x

B.
?
4

y ? co s x

C.

y ? sin x ? 2

D.

y ? cos x ? 4

答: [ B ] 解: y ? s in [( x ?
)?
2

?
4

], 即

y ? c o sx . 故选 B

王新敞
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2. 如果二次方程 A. 5 个
2

x ? p x ? q ? 0 ( p , q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有

B. 6 个

C. 7 个

D. 8 个
答: [ C ]

解:由 ? ? p ? 4 q ? 0 , ? q ? 0 , 知方程的根为一正一负. 设 f ( x ) ? x ? p x ? q ,则 f (3) ? 3 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9
2 2

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由于 p , q ? N*, 所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2 , q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p , q ) 符合 题意. 故选 C
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3. 设 A. 2

a ? b ? 0 , 那么 a ?
2

1 b(a ? b)

的最小值是

B. 3

C. 4
b?a?b 2 ) ?
2

D. 5
答: [ C ]
1 4 a ,
2

解:由 a ? b ? 0 , 可知 0 ? b ( a ? b ) ? (

5

所以, a ?
2

1 b(a ? b)

? a ?
2

4 a
2

? 4

. 故选 C

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4. 设四棱锥 A. 不存在

P ? A B C D 的底面不是平行四边形, 用平面 ?

去截此四棱锥, 使得

截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ?

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个
答: [ D ]

解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、 n , 直线 m 、
n 确定了一个平面 ? 作与 ?
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平行的平面 ? , 与四棱锥的各个
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? n

P

m

侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形 而这样的平面 ? 数多个.故选 D
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有无

?

A1 D

D1

C1 B1 C B

5. 设 数 列

{a n } :

a 0 ? 2, a 1 ? 1 6, a n ? 2 ? 1 6 a n ? 1 ? 6 3 a n ,

n ? N*, 则 a 2 0 0 5 被 64 除的余数为

A

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48
答: [ C ]

解:数列 { a n } 为:2,16,130,1072,8962,75856,649090,……,被 64 除的余数为 2,16, 2,48,2,16,2,48,……四项一个循环, 又 2005 被 4 除余 1, 故选 C
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6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有

A.

30

8



B.

30 ? 25

7



C.

30 ? 20

7



D.

30 ? 21

7



答: [ D ] 解:铺第一列(两块地砖)有 30 种方法;其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图),那么,第二列的上格不能铺 A 色 若铺 A B 色,则有 6-1=5 种铺法;若不铺 B 色,则有 B 2 ( 6 ? 2 ) =16 种方法 于是第二列上共有 5+16=21
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种铺法 选 D
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同理, 若前一列铺好, 则其后一列都有 21 种铺法. 因此, 共有 3 0 ? 2 1

7

种铺法 故
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二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7. 设向量
??? ? ? O A 绕点 O 逆时针旋转 2
6

得向量 O B , 且 2 O A ? O B ? (7 , 9 ) , 则

??? ?

??? ?

??? ?

向量 O B ? ________
??? ?

??? ?

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解:设 O A ? ( m , n ) , 则 O B ? ( ? n , m ) , 所以 2 O A ? O B ? ( 2 m ? n , 2 n ? m ) ? (7 , 9 )
23 ? m ? , ? ? 5 ? ? n ? 11 . ? 5 ?

??? ?

??? ?

??? ?

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?2m ? n ? 7 , 解得 ? ?m ? 2n ? 9 .

因此 O B ? ( ?

??? ?

11 23 , ) 5 5

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故填

(?

11 5

,

23 ) 5
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8. 设无穷数列

{ a n } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , a n 与

2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为__________
an ? 2 2

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解:由题意知 由 a1 ? S 1 得 又由 ① 式得

?

2Sn , 即 Sn ?

(an ? 2) 8

2
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……… ①

a1 ? 2 2
S n ?1 ?

?

2 a 1 , 从而 a 1 ? 2
2

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( a n ?1 ? 2 ) 8
2

(n ? 2 ) ,

……… ②

于是有

a n ? S n ? S?n1 ?

(an ? 2) 8

?

( a n ?1 ? 2 ) 8

2

(n ? 2) ,

整理得 ( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ? 4 ) ? 0 . 因 a n ? 0, a n ? 1 ? 0 , 故 a n ? a n ? 1 ? 4 ( n ? 2 ), a 1 ? 2
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所以数列 { a n } 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列,其通项公式为 a n ? 2 ? 4 ( n ? 1) , 即 a n ? 4 n ? 2 . 故填
a n ? 4 n ? 2 ( n ?N*)
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9. 函数

y ? | cos x | ? | cos 2 x | ( x ? R) 的最小值是
2

_________

王新敞
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解:令 t ? | co s x |? [0 ,1] ,则 y ? t ? | 2 t ? 1 |
2 2
1 4

王新敞
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? t ? 1 时, y ? 2 t ? t ? 1 ? 2 ( t ?
2

) ?
2

9 8

,得

2 2

? y ? 2;

7

当 0?t?

2 2

时, y ? ? 2 t ? t ? 1 ? ? 2 ( t ?
2

1 4

) ?
2

9 8

,得

2 2

? y ?

9 8



又 y 可取到

2 2

, 故填

2
王新敞
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2
A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, A B ? 2 , A A1 ? A D ? 1 , 点 E 、 F 、 G 分别是

10. 在长方体

棱 A A1 、 C 1 D 1 与 B C 的中点, 那么四面体 B 1 ? E F G 的体积是 _____ 解:在 D 1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ? 易证, H E || B 1 G , H E || 平面 B 1 F G 故 VB
? EFG
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王新敞
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新疆

1
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4
H

D1 A1

F B1

C1

1

? V E ? B FG ? V H ? B FG ? VG ? B FH
1 1 1

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而 S ?B FH ?
1

9 8

E


A

D G B

C

G 到平面 B 1 F H 的距离为 1

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故填

VB

1

? E F G

?

3
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8

11. 由三个数字 位数共有 _______
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1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5

解:在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次,有 C 5 ( C 4 ? C 4 ? C 4 ) ? 7 0 个;
1 1 2 3

若 1 只出现 2 次,有 C 5 ( C 3 ? C 3 ) ? 6 0 个;
2 1 2
1 若 1 只出现 3 次,有 C 53 C 2 ? 2 0 个.则这样的五位数共有 150 个.故填 150 个
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12. 已知平面上两个点集

M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1 | ?

2 ( x ? y ) , x , y ? R},
2 2

N ? { ( x , y ) | | x ? a | ? | y ? 1 | ? 1, x , y ? R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是____

王新敞
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解:由题意知

M

是以原点为焦点、直线

y

x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集,

N

是以 ( a ,1) 为中心的正方形及其内部的点集(如图)

王新敞
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2

N

考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围: 令
2

N

1

M

N x

o
2 2

y ? 1 , 代 入 方 程 | x ? y ? 1 |?

2( x ? y )

, 得

x ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ?

6.
8

所以,当 a ? 2 ?

6 ?1 ? 1?

6

时,

M ? N ?? .
2 2

………… ③
2

令 y ? 2 ,代入方程

| x ? y ? 1 |?

2 ( x ? y ) , 得 x ? 6 x ? 1 ? 0 . 解出得 x ? 3 ?

10 .

所以,当 a ? 3 ? 1 0 时, M ? N ? ? . 因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当 1 ?
M ? N ? ? .故填 [1 ?

………… ④
1 0 ,即 a ? [1 ?

6 ? a ? 3?

6, 3 ?

1 0 ] 时,

6,3 ?

10 ]

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三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ? A B C 的中线 A D 上的一点, 直线 B M 交边 A C 于点 N , 且 A B 是
? N B C 的外接圆的切线, 设

BC BN

? ? , 试求

BM MN
BM MN ?

(用 ? 表示)
NA CD ? ?1 AC DB

王新敞
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A

证明:在 ? B C N 中,由 Menelaus 定理得 因为 B D ? D C ,所以
BM MN ? AC
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M B D

N C

……………… ∽ ? A C B ,则

6分
AB AN ? AC AB ? CB
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AN
?ABN

由 ? A B N ? ? A C B ,知
AB AC
2

BN

? CB ? ? ? ? 所以, ? , 即 AN AB ? BN ? BM
2

? BC ? ? ? ? AN ? BN ? AC

2
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…… 12 分

BC BM ? BC ? 2 ? ? ? ? , 故 ? ? 因此, ? . 又 MN BN MN ? BN ?

王新敞
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…………………… 15 分

14. 求所有使得下列命题成立的正整数


n ( n ? 2 ) : 对于任意实数 x1 , x 2 , ? , x n ,

?
i ?1

n

x i ? 0 时, 总有

?
i ?1

n

x i x i ? 1 ? 0 ( 其中 x n ? 1 ? x1 )

王新敞
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新疆

解: 当 n ? 2 时,由 x1 ? x 2 ? 0 ,得 x1 x 2 ? x 2 x1 ? ? 2 x1 ? 0
2

王新敞
奎屯

新疆

所以 n ? 2 时命题成立

王新敞
奎屯

新疆

…………………… 3 分

当 n ? 3 时,由 x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ,得
( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? ( x1 ? x 2 ? x 3 )
2 2 2 2

x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x1 ?

?

? ( x1 ? x 2 ? x 3 )
2 2 2

? 0.

2
9

2

所以 n ? 3 时命题成立

王新敞
奎屯

新疆

………………… 6 分

当 n ? 4 时,由 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 0 ,得
x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x 4 ? x 4 x1 ? ( x1 ? x 3 )( x 2 ? x 4 ) ? ? ( x 2 ? x 4 ) ? 0
2
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所以 n ? 4 时命题成立

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新疆

………………

9分
n

当 n ? 5 时,令 x1 ? x 2 ? 1 , x 4 ? ? 2 , x 3 ? x 5 ? ? ? x n ? 0 , 则

?
i ?1

xi ? 0 .

但是,

?
n ?1

n

x i x i ? 1 ? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立

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综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2 , 3, 4
x a
2 2

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…………… 15 分
且不与

15. 设椭圆的方程为

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) , 线段 P Q 是过左焦点 F

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使 ? P Q R 为正三角形, 求椭圆的离心率 e

的取值范围, 并用 e 表示直线 P Q 的斜率. 解: 如图, 设线段 P Q 的中点为 M

y
R Q' M' P' F P M Q

王新敞
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过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则
| M M ' |? 1 2 (| P P ' | ? | Q Q ' |) ? 1 | PF | | QF | | PQ | ( ? )? 2 e e 2e
3 2 3
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o

x

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……………

6分
| PQ | 2e 3 2

假设存在点 R ,则 | R M | ?

| PQ | , 且 | M M ' | ? | RM | , 即

?

| PQ |,

所以, e ?

………………………… 12 分

3

于是, cos ? RMM ' ?

| MM ' | | RM |

?

| PQ | 2e

?

2 3 | PQ |

?

1 3e

, 故 cot ? R M M ' ?

1
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3e ? 1
2

若 | P F | ? | Q F | (如图),则 k PQ ? tan ? QFx ? tan ? FMM ' ? cot ? RMM ' ?
10

1
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3e ? 1
2

… 18 分

若 | P F | ? | Q F | ,则由对称性得 k P Q ? ?

1
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3e ? 1
2

……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率 e 的取值范围是

e?(

3 3

,1) , 直线 P Q 的斜率为 ?

1
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3e ? 1
2

16. (1) 若

n ( n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的

最小值, 并说明理由; (2) 若 n ( n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 最小值, 并说明理由
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2005

, 求 n 的

解: (1) 因为 1 0 ? 1 0 0 0, 1 1 ? 1 3 3 1, 1 2 ? 1 7 2 8, 1 3 ? 2 1 9 7 , 1 2 ? 2 0 0 5 ? 1 3 ,
3 3 3 3
3 3

故 n ?1
n m in ? 4
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王新敞
奎屯

新疆

因为 2 0 0 5 ? 1 7 2 8 ? 1 2 5 ? 1 2 5 ? 2 7 ? 1 2 ? 5 ? 5 ? 3 ,所以存在 n ? 4 , 使
3 3 3 3

……………… 6 分
3 3

若 n ? 2 ,因 1 0 ? 1 0 ? 2 0 0 5 , 则最大的正方体边长只能为 1 1 或 1 2 ,计算
2 0 0 5 ? 1 1 ? 6 7 4 , 2 0 0 5 ? 1 2 ? 2 7 7 ,而 6 7 4 与 2 7 7 均不是完全立方数, 所以
3 3

n ? 2 不可能是 n 的最小值

王新敞
奎屯

新疆

……………… 9 分
2 3

若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3 x ? 2005 ? 3 ? 8 , 知 最大的正方体棱长只能为 9 、 1 0 、 1 1 或 1 2
3 3
王新敞
奎屯 新疆

由于 2005 ? 3 ? 9 , 2005 ? 2 ? 9 ? 547 , 2005 ? 9 ? 2 ? 8 ? 0 , 所以 x ? 9
3 3

王新敞
奎屯

新疆

由于 2005 ? 2 ? 10
2005 ? 10
3

3

? 5 , 2005 ? 10 ? 9 ? 276 , 2005 ? 10 ? 8 ? 493 ,
3 3 3 3

? 2?7

3

? 0 , 所以
3 3

x ? 10

王新敞
奎屯

新疆

由于 2 0 0 5 ? 1 1 ? 8 ? 1 6 2 , 2 0 0 5 ? 1 1 ? 7 ? 3 3 1 , 2005 ? 11 ? 2 ? 6 ? 0 ,
3 3

3

3

所以 x ? 1 1

王新敞
奎屯

新疆

11

由于 2 0 0 5 ? 1 2 ? 6 ? 6 1 , 2 0 0 5 ? 1 2 ? 5 ? 1 5 2 ? 5 , 所以 x ? 1 2
3 3 3 3 3

王新敞
奎屯

新疆

因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值

王新敞
奎屯

新疆

综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值. (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x 2 , ? , x n , 则
x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 2 0 0 2
3 3 3 2005
王新敞
奎屯 新疆

……………… 12 分

…………… ⑤

由 2 0 0 2 ? 4 (m o d 9 ) , 4 ? 1(m o d 9 ) ,得
3

2002

2005

? 4

2005

? 4

6 6 8 ? 3 ?1

? (4 )
3

668

? 4 ? 4 (m o d 9 ) …… ⑥
王新敞
奎屯 新疆

…… 15 分

又当 x ? N* 时, x ? 0, ? 1 (m o d 9 ) ,所以
3

x 1 ∕ 4 (m o d 9 ) , x1 ? x 2 ≡ 4 (m o d 9 ) , x1 ? x 2 ? x 3 ∕ 4 (m o d 9 ) . … ⑦ ≡ ∕ ≡
3 3 3 3 3 3

…………… 21 分 ⑤ 式模 9 , 由 ⑥、⑦ 可知, n ? 4
3 3 3 3
王新敞
奎屯 新疆

而 2 0 0 2 ? 1 0 ? 1 0 ? 1 ? 1 ,则
2002
2005

? 2002

2004

? (1 0 ? 1 0 ? 1 ? 1 ) ? ( 2 0 0 2
3 3 3 3

668

) ? (1 0 ? 1 0 ? 1 ? 1 )
3 3 3 3 3 668

? (2002

668

? 10) ? (2002
3
王新敞
奎屯 新疆

668

? 10) ? (2002
3

) ? (2002
3

668

) …… 24 分
王新敞
奎屯 新疆

3

因此 n ? 4 为所求的最小值

12


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