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河南省开封市2008届高三年级第一次质量检测数学试题(文科)


河南省开封市 2008 届高三年级第一次质量检测 数学试题(文科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 2.请将第Ⅰ卷选择题的答案填用 2B 铅笔涂在答题卡上,第Ⅱ卷在各题后直接作答. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
k 次的概率 Pn (k ) ? C n P k (1 ? P) n ? k

S ? 4?R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式
4 V球 ? ?R 3 3

其中 R 表示球的半径

(k=0,1,2,?,n)

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},则(CUA)∩(CUB)=( ) A.{1} B.{5} C.{2,4} D.{1,2,4,5} 2.已知 a ? (1,2), b ? ( x,1), 且a ? 2b与2a ? b 平行,则 x 等于 A.2 3. ( x ? B.1 C. ( D. )

1 2

1 3
( )

2 6 ) 展开式中常数项为 x

A.20 B.-160 C.160 D.—270 4. “a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上的动点 P 到直线 x+y-7=0 的距离的最小值等于
2 2









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A. 4 2 ? 2 6.设 f ( x) ? lg(

B. 4 2

C. 4 2 ? 4

D. 4 2 ? 2 ( )

D. ? , ∪ (- 0) (1, ? ) + 7.两位到北京旅游的外国游客要与 2008 奥运会的吉祥物福娃(5 个)合影留念,要求排成 一排,两位游客相邻且不排在两端,则不同的排法共有 ( ) A.1440 B.960 C.720 D.480 8.下列函数中,即在(0,
2

2 ? a) 是奇函数,则 f ( x) ? 0 的解集为 1? x A. (-1,0) B. (0,1) C. (- ? ,0)

? )上是增函数,又以 ? 为最小正周期的偶函数的是 ( 2
C. y ?| sin 2 x | D. y ?| sin x |



A. y ? x | cos x | B. y ? cos 2 x

9.已知等比数列 {a n } 各项均为正数,公比 q ? 1, 设P ?

a 2 ? a3 , Q ? a 4 a7 . 则 P 与 Q 的大 2

小关系是 ( ) A.P<Q B.P=Q C.P>Q D.无法确定 10.从 P 点出发三条射线 PA,PB,PC 两两成 60°,且分别与球 O 相切于 A,B,C 三点, ( 1 3 , A. 2 B. 3 C. D.2 2 3 11.函数 f (x) 的定义域为(0,+ ? )且 f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, m 为正数,则函数 , 5 若球的体积为 ? ,则 OP 的距离为

4 3



y ? ( x ? m) ? f ( x ? m)
A.存在极大值 12 . 设 椭 圆 B.存在极小值 C.是增函数 D.是减函数





x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ?

1 2

, 右 焦 点 F ( c,0 ) 方 程 ,

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)在
A.圆 x ? y ? 2 内
2 2





B.圆 x ? y ? 2 上
2 2

C.圆 x ? y ? 2 外
2 2

D.以上三种情况都有可能

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第Ⅱ卷
1 , 三、解答题(本大题共有 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 3 ?2 x ? 3 y ? 6 , ? 13.已知 ? x ? y ? 0 则z ? 3 x ? y 的最大值为 . 5

?y ? 0 ?

14.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 15 . 曲 线 y ?

sin B 的值为 sin C

.

1 和y ? x 2 在 它 们 的 交 点 处 的 两 条 切 线 与 x 轴 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 x

是 . 16.已知直线 a、b 所成的角为 80°,过空间一点 P 作直线 m,若 m 与直线 a、b 所成角都 为 50°,则这样的直线共有条数为 . 三、解答题(本大题共有 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? a ? b, 其中向量a ? (2 cos x,1), b ? (cos x, 3 sin 2 x), x ? R (1)若 f ( x) ? 1 ? 3, 且x ? [?

? ?

, ]求x; 3 3

(2)若函数 y ? 2 sin 2 x的图象按向量c ? (m, n)(| m |? 的图象,求实数 m,n 的值.

?
2

) 平移后得到函数 y ? f (x)

18. (本小题满分 12 分) 体育课进行篮球投篮达标测试, 规定: 每位同学有 5 次投篮机会, 若投中 3 次则 “达 标” ;为节省测试时间,同时规定:若投篮不到 5 次已达标,则停止投篮;若既使后面 投篮全中,也不能达标(如前 3 次投中 0 次)则也停止投篮.同学甲投篮命中率为 次投篮互不影响. (1)求同学甲投篮 4 次的概率; (2)求同学甲测试达标的概率.

2 且每 3

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19. (本小题满分 12 分) 如图 PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB,PD 的中点. (1)求证:AF//平面 PCE; (2)若 PA=AD 且 AD=2,CD=3,求 P—CE—A 的正切值.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ?2 x ? 2(

1 ? x ? 1) 的反函数为 2

y ? g ( x), a1 ? 1, a2 ? g (a1 ) ,??an=g(an-1)??求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和 Sn.

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x)是定义在[?2,0) ? (0,2] 上的偶函数,当

x ? [?2,0)时f ( x) ?

1 3 x ? 2mx (m为实数). 3

(1)当 x ? (0,2]时, 求f ( x) 的解析式; (2)若 m ? ?2, 指出f ( x)在(0,2] 上的单调性,并给出证明; (3)是否存在 m,使得 x ? (0,2]时, f ( x)有最大值 ?并说明理由.

4 3

x2 y2 22. (本小题满分 12 分)双曲线 2 ? 2 ? (a ? 0, b ? 0) 的左、可焦点分别为 F1、F2,O 为 a b
坐标原点,点 A 在双曲线的右支下,点 B 在双曲线左准线上,

F2 O ? AB, OF2 ? OA ? OA ? OB.
(1)求双曲线的离心率 e; (2)若此双曲线过 C(2, 3 ) ,求双曲线的方程; (3)在(2)的条件下,D1、D2 分别是双曲线的虚轴端点(D2 在 y 轴正半轴上) ,过 D1 的直线 l 交双曲线 M、N, D2 M ? D2 N , 求直线l 的方程.
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河南省开封市 2008 届高三年级第一次质量检测 数学试题(文科)参考答案
一、选择题 1—12 BCBCA ABDCB CA 二、填空题 13.9 14.

3 5

15.

3 4

16.3

三、解答题: 17.解: (1) f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x

1 , 3 , 5

? 1 ? 2 sin(2 x ?
? sin(2 x ?

?
6

) ? 1? 3
3 2

?
6

)??

?? ??

?

?

3

?x?

?
3

2

? 2x ?

?

? 2x ?

?
6

??

?

6 3

?

5? 6

即x ? ?

?
4

(2)函数 y ? 2 sin 2 x的图明按向量c ? (m, n) 平移后得 y ? 2 sin 2( x ? m) ? n 而 f ( x) ? 2 sin 2( x ?

?
12

) ?1

?| m |?

?
2

?m ? ?

?

12

,n ?1

1 1 18.解: (1)同学甲投蓝 4 次的概率 P(? ? 4) ? C3 ( )( ) 3 ? C3 ( )( ) 3 ?

1 2 2 1 10 3 3 3 3 27 2 2 2 64 1 1 2 1 (2)同学甲投篮达标的概率: P ? ( ) 3 ? C3 ( ) ? ( ) 3 ? C 4 ( ) 2 ( ) 3 ? 3 3 3 3 3 81
∵FM//CD,FM=

19.证: (1)取 PC 中点 M,连 ME,MF

1 1 CD ,AE//CD,AE= CD 2 2
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∴AE//FN,且 AE=FM,即四边形 AFME 是平行四边形 ∴AE//EM, ∵AF ? 平面 PCE ? AF//平面 PCE 解: (2)延长 DA,CE 交于 N,连接 PN,过 A 作 AH⊥CN 于 H 连 PH ∵PA⊥平面 ABCD ∴PH⊥CN(三垂线定理) ∴∠PHA 为二面角 P—EC—A 的平面角 ∵AD=2,CD=3 ∴CN=5,即 EN= ∴PA=2

5 , P A=AD 2

3 AN ? AE 6 ∴AH= ? 2 ? 5 EN 5 2 2?
∴ tan ?PHA ?

PH 2 5 ? ? AH 6 3 5
5 3

∴二面角 P—EC—A 的正切值为 . 20.解:由已知得 g ( x) ? ? 则 a1 ? 1, a n?1 ? ?

x ? 1(0 ? x ? 1) 2

1 an ? 1 2 2 1 2 a n ?1 ? ? ? (a n ? ) 3 2 3 2 1 {an ? }是公比为q ? ? 的等比数列, 3 2 2 2 1 n ?1 a n ? ? (a1 ? ) ? (? ) 3 3 2 2 1 1 n?1 ? a n ? ? (? ) 3 3 2 2 1 1 1 1 S n ? a1 ? a 2 ? ?? ? a n ? n ? [1 ? (? ) ? (? ) 2 ? ?? ? (? ) n?1 ] 3 3 2 2 2

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1 1 ? (? ) n 2 1 2 ? n? 1 3 3 1? 2 2 2 1 ? n ? [1 ? (? ) n ] 3 9 2
21.解: (1)设 x ? (0,2], 则x ? [?2,0)

1 f (? x) ? ? x 3 ? 2mx, 3
? f (x) 为偶函数,

1 ? f ( x) ? f (? x) ? ? x 3 ? 2mx, x ? (0,2] 3
(2) f ?( x) ? ? x ? 2m
2

? x ? (0,2],

? ? x 2 ? [?4,0), 又 ? m ? ?2,? ?2m ? 4
? ? x 2 ? 2m ? 0.即f ?( x) ? 0,

? f ( x)在(0,2] 上为增 函数.
(3)当 m<-2 时, f ( x)在(0,2] 上是增函数,

8 4 f ( x) max ? f (2) ? ? ? 4m, ? 3 3 ?m ? ?1 ,不合题意舍去.
2 当 ? 2 ? m ? 0时, f ?( x) ? ? x ? 2m, 令f ?( x) ? 0, 得x ?

? 2m
( ? 2m ,2)
— 减

x

(0, ? 2m )
+ 增

? 2m
0 最大值

f ?(x) f (x)

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? f ( x)在x ? ? 2m 处取得最大值.

1 4 ? ( ? 2m) 3 ? 2m ? 2m ? 3 3

? m ? ?2

?

1 3

? ?2
? 1 3
2

1

? x ? ? 2m ? 2 ? 2

? 23 ? 2

当 m>0 时, f ?( x) ? ? x ? 2m ? 0, f ( x)在(0,2] 上单调递,

f ( x)在(0,2] 上无最大值.
? 存在m ? ?2 3 , 使f ( x)在(0,2] 上的最大值
? 1

4 3

22. (1) F2 O ? AB, ? 四边形 F2ABO 是平行四边形 又由 OF2 ? OA ? OA ? OB ?

OA (OF2 ? OB) ? 0,即OA ? BF 2 ? 0
? OA ? BF 2 ,
∴四边 形 F2ABO 是菱形. ∴ | AB |?| F2 A |?| F2 O |? c. 由双曲线定义得 | AF1 |? 2a ? c, e ?

| AF1 | | AB |

?

2a ? c 2 ? ? 1, c e

? e 2?e ? 2 ? 0,

? e ? 2(e ? ?1舍去)
(2) e ? 2 ?

c , a
x2 y2 ? 2 ? 1, a 2 3a
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? c ? 2a, b 2 ? 3a 2 ,双曲线方程为
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把点 C (2, 3 ) 代入有

4 3 ? 2 ? 1. ? a 2 ? 3, 2 a 3a

∴双曲线方程

x3 y 2 ? ? 1. 3 9

(3)D1(0,-3) 2(0,3) ,D ,设 l 的方程为 y ? kx ? 3, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 )

?y ? kx? 3 ? ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 6k x ? 18 ? 0 则由 ? x 2 y2 ?1 ? ? 9 ?3
因为与双曲线有两个交点,

? k ? ? 3.

? x1 ? x2 ?

? 6k ? 18 , x1 ? x2 ? 2 3? k 3? k2 ? 18 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 6 ? , y1 ? y 2 ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 9 2 3? k

? D2 M ? ( x1 , y1 ? 3), D2 N ? ( x 2 , y 2 ? 3), D2 M ? D2 N ,

? x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 3( y1 ? y1 ) ? 9 ? 0

?

? 18 ? 18 ?9 ?3 ? 9 ? 0.即k 2 ? 5, 2 3? k 3? k2

?k ? ?5. 故所求直线 l 方程为 y ? 5 x ? 3或y ? ? 5 x ? 3

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