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2014届高三数学辅导精讲精练82


2014 届高三数学辅导精讲精练 82
1 1.已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(6,3),即 P(ξ=2)等于 3 A.16 13 C.243 答案 解析 D 1 已知 ξ~B(6, ),P(ξ=k)=Ck pkqn-k. n 3 1 B.243 80 D.243 ( )

1 当 ξ=2,n=6,p=3时, 1 2 1 有 P(ξ=2)=C

6(3)2(1-3)6-2 1 2 80 =C2(3)2(3)4=243. 6 2.若 X~B(5,0.1),则 P(X≤2)等于 A.0.665 C.0.918 54 答案 D B.0.008 56 D.0.991 44 ( )

3.某厂大量生产某种小零件,经抽样检验知道其次品率是 1%,现把这种零 件每 6 件装成一盒,那么每盒中恰好含一件次品的概率是 99 A.(100)6
1 C6 1 C.100(1-100)5

(

)

B.0.01 1 1 D.C2(100)2(1-100)4 6

答案 解析

C 1 P=C1· (1-100)5. 6 1%·

4.位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单 1 2 位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为3,向右移动的概率为3,则 质点 P 移动五次后位于点(1,0)的概率是 ( )

4 A.243 40 C.243 答案 解析 D

8 B.243 80 D.243

依题意得, 质点 P 移动五次后位于点(1,0), 则这五次移动中必有某两

1 2 80 次向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率等于 C2·3)2·3)3=243,选 D. ( 5( 5.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下 颜色后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 ξ 次球,则 P(ξ=12) 等于 3 5 A.C10(8)10·8)2 ( 12 3 9 5 C.C11(8)9·8)2 ( 答案 解析 B P(ξ=12)表示第 12 次为红球,前 11 次中有 9 次为红球,从而 P(ξ=
9 3 5 3 B.C11(8)9(8)2· 8

(

)

3 5 D.C9 (8)9·8)2 ( 11

3 5 3 12)=C9 ·8)9(8)2×8. 11 ( 6.设 10 件产品中有 4 件不合格,从中任意取 2 件,试求在所取得的产品中 发现有一件是不合格品,另一件也是不合格品的概率是 A.0.2 C.0.4 答案 解析 A 记事件 A 为“有一件是不合格品”,事件 B 为“另一件也是不合格 B.0.3 D.0.5 ( )

1 1 2 2 品”,n(A)=C4C6+C4=30,n(AB)=C4=6,

∴P(B|A)=

n?AB? =0.2. n?A?

7.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好 发生 2 次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 ( A.[0.4,1) C.(0,0.4] 答案 A B.(0,0.6] D.[0.6,1) )

解析

C1p(1-p)3≤C2p2(1-p)2,4(1-p)≤6p, p≥0.4, 0<p<1, 又 ∴0.4≤p<1. 4 4

8.箱子里有 5 个黑球,4 个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则 放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第 4 次取球之后停止的 概率为 C3C1 5 4 A. C4 5 3 1 C.5×4 答案 解析 B 由题意知, 第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球,第四 ?5? 4 B.?9?3×9 ? ? ?5? 4 D.C1×?9?3×9 4 ? ? ( )

?5? 4 次取的球是白球的情况,此事件发生的概率为?9?3×9. ? ? 9. 口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球, ?-1, 定义数列{an}:an=? ?1, 和,那么 S7=3 的概率为 ?1? ?2? ? A.C5?3?2·3?5 7 ? ? ? ?
4?2? ?1? ? C.C7?3?2·3?5 ? ? ? ? 2?2? ?1? ? B.C7?3?2·3?5 ? ? ? ?

第n次摸取红球, 第n次摸取白球.

如果 Sn 为数列{an}的前 n 项 ( )

?1? ?1? ? D.C3?3?2·3?5 7 ? ? ? ?

答案 解析

B
2?2? ?1? ? S7=3 说明摸取 2 个红球,5 个白球,故 S7=3 的概率为 C7?3?2·3?5. ? ? ? ?

10.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层停靠.若该电 1 梯在底层载有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3,用 ξ 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数,则 P(ξ=4)=________. 答案 解析 试验, 1 故 ξ~B(5,3), 10 243 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复

1 2 - 即有 P(ξ=k)=Ck (3)k×(3)5 k, 5 k=0,1,2,3,4,5. 2 10 4 1 ∴P(ξ=4)=C5(3)4×(3)1=243. 11.(2013· 西安五校一模)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题 中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手 正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手 恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于________. 答案 解析 0.128 依题意得, 事件“该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮”即意味

着“该选手在回答前面 4 个问题的过程中, 要么第一个问题答对且第二个问题答 错,第三、四个问题都答对了;要么第一、二个问题都答错;第三、四个问题都 答对了”,因此所求事件的概率等于[0.8×(1-0.8)+(1-0.8)2]×0.82=0.128. 12.在一次考试中出了六道是非题,正确的记“? ”,不正确的记“? ”, 1 若某考生完全记上六个符号且答对每道题的概率均为2,试求: (1)全部正确的概率; (2)正确解答不少于 4 道的概率; (3)至少正确解答一半的概率. 解析 1 1 (1)P1=P6(6)=C6·2)6=64. 6(

(2)P2=P6(4)+P6(5)+P6(6) 1 1 1 1 1 1 11 =C4·2)4(1-2)2+C5·2)5(1-2)1+C6(2)6(1-2)0=32. 6( 6( 6 (3)P3=P6(3)+P6(4)+P6(5)+P6(6) 1 1 1 1 1 1 1 21 =C3·2)3·2)3+C4·2)4·2)2+C5·2)5·2)+C6(2)6=32. ( ( ( 6( 6( 6( 6 13.(2013· 西城期末)一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号 分别为 1,2,3,4,5,6. (1)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 2 次,求取出的两个球编 号之和为 6 的概率;

(2)若从袋中每次随机抽取 2 个球,有放回的抽取 3 次,求恰有 2 次抽到 6 号球的概率; (3)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X,求随机变量 X 的 分布列. 解析 (1)设先后两次从袋中取出球的编号为 m,n,则两次取球的编号的可

能结果(m,n),共有 6×6=36 种, 其中编号之和为 6 的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共有 5 种,则 5 所求概率为36.
1 C5 1 (2)每次从袋中随机抽取 2 个球,抽到编号为 6 的球的概率 p=C2=3. 6

所以,3 次抽取中,恰有 2 次抽到 6 号球的概率为 1 2 2 C2p2(1-p)=3×(3)2×3=9. 3 (3)随机变量 X 所有可能取值为 3,4,5,6.
3 2 C3 1 C3 3 P(X=3)=C3=20,P(X=4)=C3=20, 6 6 2 2 C4 6 3 C5 10 1 P(X=5)=C3=20=10,P(X=6)=C3=20=2. 6 6

所以,随机变量 X 的分布列为 X P 3 1 20 4 3 20 5 3 10 6 1 2

14.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验,准备用 A、B、C 三种人工 降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如下: 方式 A B C 实施地点 甲 乙 丙 大雨 4次 3次 2次 中雨 6次 6次 2次 小雨 2次 3次 8次 模拟实验总次 数 12 次 12 次 12 次

假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,请你根据人工降雨模 拟试验的统计数据.

(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率; (2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同,如果甲地恰需中雨即达到理想 状态,乙地必须是大雨才达到理想状态,丙地只需小雨或中雨即达到理想状态, 记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ξ,求随机变量 ξ 的分 布列和数学期望 E(ξ). 解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据,用 A、B、C 三种人工降雨方式对甲、

乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示. 方式 A B C 实施地点 甲 乙 丙 大雨 1 P(A1)=3 1 P(B1)=4 1 P(C1)=6 中雨 1 P(A2)=2 1 P(B2)=2 1 P(C2)=6 小雨 1 P(A3)=6 1 P(B3)=4 2 P(C3)=3

设“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件 E,则 1 1 1 1 P(E)=P(A2)P(B2)P(C2)=2×2×6=24. (2)设甲、 乙、 丙三地都达到理想状态的概率分别为 P1, 2, 3, P1=P(A2) P P 则 1 1 5 =2,P2=P(B1)=4,P3=P(C2)+P(C3)=6. ξ 的可能取值为 0,1,2,3. 1 3 1 1 P(ξ=0)=(1-P1)(1-P2)(1-P3)=2×4×6=16; 1 3 1 P(ξ=1)=P1(1-P2)(1-P3)+(1-P1)P2(1-P3)+(1-P1)(1-P2)P3=2×4×6 1 1 1 1 3 5 19 +2×4×6+2×4×6=48; 1 1 5 1 3 5 1 P(ξ=2)=(1-P1)P2P3 +P1(1-P2)P3 +P1P2(1-P3)= 2 × 4 × 6 +2 × 4 × 6 + 2 1 1 7 ×4×6=16; 1 1 5 5 P(ξ=3)=P1P2P3=2×4×6=48. 所以随机变量 ξ 的分布列为

ξ P

0 1 16

1 19 48

2 7 16

3 5 48

1 19 7 5 19 所以,数学期望 E(ξ)=16×0+48×1+16×2+48×3=12. 15.(2013· 四川绵阳诊断)某电视台有 A、B 两种智力闯关游戏,甲、乙、丙、 丁四人参加,其中甲、乙两人各自独立进行游戏 A,丙、丁两人各自独立进行游 1 戏 B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为2,丙、丁两人各自闯关成功的概 2 率为3. (1)求游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关成功的人数的概率; (2)记游戏 A、B 被闯关成功的总人数为 ξ,求 ξ 的分布列和期望. 解析 (1)设“i 个人游戏 A 闯关成功”为事件 Ai(i=0,1,2),“j 个人游戏 B

闯关成功”为事件 Bj(j=0,1,2), 则“游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关的人数”为 A1B0+A2B1+ A2B0. ∴ P(A1B0 + A2B1 + A2B0) = P(A1B0) + P(A2B1) + P(A2B0) = P(A1)· 0) + P(B 1 1 ?2? ?1? 21 ?1? ?1? 2 ?1? ?1? ? ? ? C P(A2)· 1)+P(A2)· 0)=C1··· 0?3?0·3?2+C2·2?2·2?0· 1··+C2·2?2· 0·3?2 P(B P(B C ? 2 2 ? 2 2 C2? ? ? ? ? ? ? ? 233 ? ? 2? ? 7 =36. 7 即游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关的人数的概率为36. (2)由题设可知:ξ=0,1,2,3,4. 1 ?1? 0?1? P(ξ=0)=C2?2?2· 2·3?2=36, C0 ? ? ? ? ? 6 1 1 1 1 0?1? 1 2 1 0?1? P(ξ=1)=C2··· 2?3?2+C2··· 2?2?2=36=6, C C 22 ? ? 33 ? ? 11 2 1 13 ?1? ?1? 2 ?1? 2 ?2? ? C0 ? ? C2 ? P(ξ=2)=C2·2?2· 2·3?2+C2·3?2· 2·2?2+C1··· 1··=36, 2 2 2 C2 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 21 1 1 12 1 2 ?1? 2 ?2? ? C1 ? C1 P(ξ=3)=C2·2?2· 2··+C2·3?2· 2··=36=3, 33 22 ? ? ? ? 4 1 ?1? ?2? ? P(ξ=4)=?2?2·3?2=36=9. ? ? ? ?

∴ξ 的分布列为 ξ P 0 1 36 1 1 6 2 13 36 3 1 3 4 1 9

1 1 13 1 1 7 ∴E(ξ)=0×36+1×6+2×36+3×3+4×9=3.

1.设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ξ 表示方程 x2+bx+c=0 实根的个数(重根按一个计). (1)求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率; (2)求 ξ 的分布列和数学期望; (3)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x2+bx+c=0 有实根的 概率. 解析 (1)设基本事件空间为 Ω,记“方程 x2+bx+c=0 有实根”为事件 A,

则 A={(b,c)|b2-4c≥0,b、c=1,?,6} Ω 中的基本事件总数为 6×6=36 个. A 中的基本事件总数为 6+6+4+2+1=19 个, 19 故所求概率为 P(A)=36. (2)由题意,ξ 可能取值为 0,1,2,则 17 2 1 17 P(ξ=0)=36,P(ξ=1)=36=18,P(ξ=2)=36. ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 17 36 1 1 18 2 17 36

17 1 17 ∴ξ 的数学期望 E(ξ)=0×36+1×18+2×36=1. (3)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 B, 25 11 则 P(B)=1-36=36. 6+1 7 P(A∩B)= 36 =36,

7 P?A∩B? 36 7 ∴P(A|B)= =11=11. P?B? 36 2.一个口袋中装有 n 个红球(n≥5 且 n∈N*)和 5 个白球,一次摸奖从中摸 两个球,两个球颜色不同则为中奖. (1)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p; (2)若 n=5,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 f(p). n 取多少时, 当 f(p)最大? 解析 (1)一次摸奖为从 n+5 个球中任选两个, Cn+5种, 有 2 它们等可能发生, C1C1种, 一次摸奖中奖的概率 n 5 C1C1 10n n 5 p= 2 = (n≥5 且 Cn+5 ?n+5??n+4?

其中两球不同色有 n∈N*).

(2)若 n=5,一次摸奖中奖的概率 p=

10×5 5 =9,三次摸奖是独立重复 ?5+5??5+4?

1 试验,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是 P3(1)=C3· (1-p)2= p·

80 . 243 (3)设每次摸奖中奖的概率为 p,则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖 的概率为 f(p)=C1· (1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1. 3 p· 1 1 由 f′(p)=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1)知,在(0,3]上 f(p)为增函数,在[3, 1 1)上 f(p)为减函数,则当 p=3时,f(p)取得最大值.即 p= n=20 或 n=1. 又∵n≥5 且 n∈N*, ∴当 n=20 时,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大. 10n 1 =3,解得 ?n+5??n+4?


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