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选修4-4 第二节


第二节 参 数 方 程

考纲 要求

1.了解参数方程,了解参数的意义
2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参 数方程

1.参数方程的概念 一般地,在取定的平面直角坐标系xOy中,如果一条曲线l上 任意一点 的坐标(x,y)的每个分量都是某个变量t的函数,即 _________
? ?x

? φ ? t ? , ? x ? φ ? t ? , 而且对于t的___________, 每个允许值 由方程组 确定的 ? ? ? ?y ? ψ ? t ?, ? y ? ψ(t) ?x ? φ ? t ? , 点(x,y)在l上,则称方程组 ? 是曲线l的参数方程,联系 ? y ? ψ(t)

参数 x,y之间关系的中介变量t称为参数方程的参变量,简称_____.

2.参数方程与普通方程的互化
(1)参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式,一般

地,可通过消去参数而从参数方程得到普通方程,常用代入、
加减等消元方法.熟悉一些常见恒等式,往往能从整体上把

握,简化消元过程,如:sin2α +cos2α =1,
2 1 2 1 2 2t 1 ? t 2 2 (t+ ) =(t- ) +4, ( =1等. ) ? ( ) 2 2 t t 1? t 1? t

(2)如果知道x,y中的一个与参数t的关系,如x=f(t),把其代 入普通方程,求出另一个与参数t的关系y=g(t),则 ? x ? f ? t ? , 就是曲线的参数方程.
? ? y ? g(t)

3.直线的参数方程 过xOy平面上定点M0(x0,y0),与x轴正向夹角为θ 的直线L的参
? x ? x 0 ? tcos θ, 数方程为 ? ? y ? y0 ? tsin θ θ? [0, π),t ? ? ??, ?? ?,t是参数 .

其中参数t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离.

4.圆锥曲线的参数方程 (1)圆的参数方程: 以M0(x0,y0)为圆心,以r>0为半径的圆的参数方程为
? x ? x 0 ? rcos θ, ? ? y ? y0 ? rsin θ θ? [0,2π) .

(2)椭圆的参数方程:
2 2 x y 椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的参数方程为 a b

? x ? acos φ, ? ? y ? bsin φ

φ? [0, 2π) .

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)过点M0(x0,y0),倾斜角为θ 的直线
? x ? x 0 ? tcos θ, (t为参数)的斜率为tan θ .( ? ? y ? y0 ? tsin θ

)

(2)直线的参数方程和圆的参数方程从形式上看是一样的,但 参数不同.( ) )

(3)普通方程化为参数方程,参数方程的形式是唯一的.( (4)椭圆的参数方程中,参数φ表示椭圆上任一点的离心 角.( )

【解析】(1)错误.当倾斜角θ≠ ? 时,直线的斜率k=tan θ; 当倾斜角θ= 时,直线的参数方程为 ? ? 2 此时直线的斜率不存在.
? 2

x ? x0 ,

? y ? y0 ? t

(t为参数),

(2)正确.从形式上相同,但直线的参数为t,圆的参数为θ.
(3)错误.不一定唯一,参数不同,所求的参数方程的形式也不

同.
(4)正确.由椭圆参数方程的概念可知是正确的 .

答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

考向1

参数方程与普通方程互化

典例1

(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,

? x ? t ? 1, 直线l的参数方程为 ? (t为参数),曲线C的参数方程为 ? y ? 2t 2 ? x ? 2tan ?, (θ 为参数).试求直线l和曲线C的普通方程, 并 ? ? y ? 2tan ?

求出它们的公共点的坐标. 【思路点拨】先把参数方程转化为普通方程,再利用普通方 程求解.

? x ? t ? 1, 【规范解答】因为直线l的参数方程为 ? (t为参数), y ? 2t ?

由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为
2x-y-2=0.

同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.
? ? y ? 2 ? x ? 1? , 联立方程组 ? 2 y ? ? ? 2x,

解得公共点的坐标为(2,2),( 1 , -1).
2

【拓展提升】

1.参数方程与普通方程互化的注意点
在参数方程与普通方程互化的过程中,要保持化简过程的同解

变形,避免改变变量x,y的取值范围而造成错误.
2.消除参数的常用方法

(1)代入消参法.(2)平方法.(3)根据参数方程的特征,采用特
殊的消参手段.

【变式备选】把下列参数方程化为普通方程,并指出曲线所表 示的图形. (1) ?
? x ? sin θ ? cos θ, ? y ? sin θcos θ.

? x ? 1, (2) ? ? 1 y ? t ? . ? t ?

3t ? x? , (3) ? 1? t2 ? ? 2 3t ?y ? . 2 ? 1 ? t ?

【解析】(1)x2=2(y+ 1 ),- 2 ≤x≤ 2 ,图形为一段抛物 2 线弧. (2)x=1,y≤-2或y≥2,图形为两条射线. (3)x2+y2-3y=0(y≠3),图形是一个圆,但是除去点(0,3).

考向 2

伸缩变换与参数方程的综合问题

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? 【典例2】已知直线l: ? ?y ? 3 t ? 2 ? 曲线C1: ? x ? cos θ,(θ 为参数). ? ? y ? sin θ

(t为参数),

(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|. (2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
2
1 倍,纵坐标压 2

缩为原来的 3 倍,得到曲线C2.设点P是曲线C2上的一个动
点,求它到直线l的距离的最小值.

【思路点拨】(1)将直线与曲线的普通方程联立方程组求出交 点坐标,再求|AB|;也可以用弦长公式求|AB|. (2)求出点P的坐标,进而得到距离,利用三角函数性质再求最 小值.

【规范解答】(1)方法一:直线l的普通方程为y= 3 (x-1),

曲线C1的普通方程为x2+y2=1,
? y ? 3 ? x ? 1? , 由? ?
2 2 x ? y ? 1, ? ?

解得l与C1的交点坐标为A(1,0),B(
∴|AB|=
1 3 2 =1. (1 ? ) 2 ? (0 ? ) 2 2

1 3 ,), 2 2

方法二:直线l的普通方程为 3 x-y- 3 =0, 曲线C1的普通方程为x2+y2=1. 由于圆心(0,0)到直线l的距离为 d=
? 3 ( 3) 2 ? ? ?1?
2

?

3 , 2

∴|AB|= 2 r 2 ? d 2 ? 2 1 ? ( 3 ) 2 =1.
2

? x? ? (2)曲线C2的参数方程为 ? ? ?y ? ? ?
2

1 cos θ, 2 (θ为参数) 3 sin θ 2

1 故点P的坐标为( cos θ, 3 sin θ).

2

从而点P到直线l的距离为:
3 3 cos θ ? sin θ ? 3 2 2 2

d=

=

? )+2]. 3[ sin(θ 2 4 4 4

∴当sin(θ- ? )=-1时, dmin= 6 ( 2 -1).
4

【拓展提升】参数方程及其应用 参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数 学对象发生联系的新变量(参数),其作用就是刻画事物的变化 状态,揭示变化因素之间的内在联系,参数法解题的关键是恰 到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参 数提供的信息,顺利地解答问题.当动点P的坐标x,y之间的直

接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示
? x ? f ? t ?, ? 动点P的坐标x,y,从而得到动点轨迹的参数方程 ? ? ? y ? g ? t ?,

消去参数t,便可得到动点P的轨迹的普通方程,但要注意 方程的等价性,即由t的范围确定出x,y的范围.

【变式训练】将圆C:x2+y2=1上的点的坐标按变换公式
?x? ? 6x, 变换后得到曲线C′. ? ? y? ? 2y,

(1)求曲线C′的方程. (2)设点M′(x′,y′)为曲线C′上的动点,求x′+2y′的取值 范围.

【解析】(1)设P为圆C:x2+y2=1上的任意一点, P′为曲线C′上的对应点.
? 由 ?x? ? 6x, ? y? ? 2y
? x? ? 得 ? ? ?y ? ? ? x? , 6 y? 2

代入x2+y2=1,
x?2 y?2 得 =1. ? 6 4 2 2 x y 则C′方程为 ? 6 4

=1.

(2)可设x′= 6 cos θ,y′=2sin θ代入x′+2y′,得:
x′+2y′= 6 cos θ+2×2sin θ= 22 sin(θ+φ),其中

tan φ=

6 , 4

因为-1≤sin(θ+φ)≤1,故- 22 ≤x′+2y′≤ 22 , 所以x′+2y′的取值范围是[- 22 , 22 ].

考向 3

极坐标方程与参数方程的综合应用

? x ? 2 ? t, 【典例3】已知直线l的参数方程为 ? (t为参数), ? y ? 3t,

曲线C的极坐标方程为ρ 2cos 2θ =1.

(1)求曲线C的普通方程.
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.

【思路点拨】利用直角坐标与极坐标之间的互化公式,求曲线
C的普通方程;再由直线标准参数方程中参数的几何意义,求

直线l被曲线C截得的弦长.

【规范解答】(1)由曲线C:ρ2cos2θ=ρ2(cos2θ-sin2θ) =1,化成普通方程为x2-y2=1.①
1 ? x ? 2 ? ? 2t ? , ? ? x ? 2 ? t, 2 (2)由 ? 得 ? 用t′代替2t得直线的标准参 ? ? y ? 3t, ? y ? 3 ? 2t ? , ? 2 ? t? ? x ? 2 ? , ? 2 (t′为参数).② 数方程 ? ? ? y ? 3 t?, ? 2 ?

把②代入①得(2+ t ? )2-( 3 t′)2=1,
2

2

整理得t′2-4t′-6=0.
设其两根为t′1,t′2,则t′1+t′2=4,t′1t′2=-6. 从而弦长为|t′1-t′2|= ? t?1 ? t?2 ?2 =

? t?1 ? t?2 ?

2

? 4t?1 t?2 ? 42 ? 4 ? ? ?6 ? ? 2 10.

【拓展提升】极坐标与参数方程综合应用的解题关键 有关极坐标与参数方程的综合应用,关键是通过公式,将条件 化归到直角坐标系中,再利用解析几何的基本方法求解 .

【变式训练】(2012·湖北高考改编)在直角坐标系xOy中,以

原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线
x ? t ?1 , ? ? ? θ = 与曲线 ? (t为参数)相交于A,B两点,求线段AB 2 4 ? ? y ? ? t ? 1?

的中点的直角坐标.

【解析】射线θ= ? 可化为y=x(x≥0),
4

x ? t ?1 , ? 2, ? 曲线 ? 可化为 y=(x-2) 2 y ? t ? 1 , ? ? ? ?

联立解得A,B坐标分别为(1,1)和(4,4),从而中点的直角坐 标为(
5 5 , ). 2 2


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